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从子群的特性来讨论有限群的可解性是群论研究的重要课题. 例如，在群论研究中具有基础性作用的Hall定理[1]：有限群G可解的充分必要条件是G存在Sylow系；Schmidt定理[1]：若有限群G是内幂零群，则G可解；Huppert定理[2]：有限群G是超可解群当且仅当G的极大子群的指数均为素数.
学者们从各个方面继续研究有限群可解的条件. 文献[3-4]从非正规子群的共轭类个数出发，给出了有限群可解的若干充分条件. 文献[5]讨论了非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群. 文献[6]讨论了S-拟正规嵌入子群与有限群的p-幂零性. 文献[7]讨论了子群的弱s-可补性对有限群可解性的影响. 文献[8]从元素的阶讨论了有限群的可解性. 文献[9]通过同阶子群的个数讨论了有限群. 文献[10-11]使用非次正规子群的共轭类数讨论了有限群的可解性，其部分结果推广了文献[3-4]的结果. 最近，文献[12]讨论了有限特征单群被有限交换群或有限非交换单群的扩张的Coleman自同构.
本文沿着上述研究方向，继续讨论非正规子群的共轭类个数对有限群可解性的影响. 文献[3-4, 10-11]主要是使用有限群G的阶的素因子个数去限制非正规子群，或利用非次正规子群共轭类个数来讨论G的可解性. 本文使用有限群G的极大子群共轭类个数去限制非正规子群共轭类个数，讨论了G的可解性，得到了G可解的两个充分条件，即定理1和定理2.
文献[13]证明了：设p是取定的素数，如果有限群G的每一非幂零的极大子群的指数都为p的方幂，则G为可解群. 文献[14]证明了：如果有限群G的所有非幂零极大子群的指数都是素数，则G是可解群. 文献[15]证明了：如果有限群G的所有极大子群的指数都是素数或素数的平方，则G是可解群. 本文只考虑非幂零极大子群，把这一结果推广为定理3.
本文使用的符号都是标准的，参考文献[1].
引理 1 [16]若有限群G有交换的极大子群，则G是可解群.
引理 2 [1]若有限群G是内幂零群，则G可解.
引理 3 [1]奇数阶群必可解.
引理 4 [1]设G是有限群，P∈Sylp(G). 若H≥NG(P)，则NG(H)=H.
引理 5 [2]设G是有限群，P∈Sylp(G)非正规，p是|G|的最大素因子. 假设M是包含NG(P)的G的极大子群，则|G∶M|是一个合数.
设p是素数，P是p-群.Thompson子群J(P)是P的所有极大阶子群生成的子群. 由于J(P)是P的特征子群，Z(J(P))是J(P)的特征子群，故Z(J(P))是P的特征子群.
引理 6 [2]设G为有限群，p为奇素数，P∈Sylp(G). 若NG(Z(J(P)))有正规p-补，则G也有正规p-补.
定理 1 若有限群G的非正规非交换极大子群皆共轭，则G是可解群.
证 取P∈Sylp(G). 若P⊴ G，则G/P满足定理1的条件. 否则，G/P中存在非交换非正规的极大子群M1/P与M2/P，在G/P中不共轭. 从而M1和M2为G中非交换非正规的极大子群，且对任意g∈G有M1g≠M2，与已知条件矛盾. 故由归纳假设，G/P是可解群，从而G是可解群.
下设G的任意Sylow子群皆不正规. 令π(G)={p1，p2，…，pn}. 取Pi∈Sylpi(G)，以及G的包含NG(Pi)的极大子群Mi. 则有
由于G的任意Sylow子群皆不正规，故由引理4，M1，M2，…，Mn在G中不正规. 若M1，…，Mn全是非交换群，则由定理1的条件，可知M1，M2，…，Mn相互共轭. 特别地，| M1|=… =|Mn|. 而
由此可得|M1|=|G|，即有G=M1，与M1是极大子群矛盾. 故必有某个Mi是交换群，则由引理1知G是可解群.
定理 2 若有限群G中非正规子群的共轭类个数不超过极大子群共轭类个数，则G是可解群.
证 设M1，…，Mn为G的极大子群共轭类代表. 分3种情形进行讨论：
情形 1 M1，…，Mn都不是G的正规子群.
此时G已有n个不正规子群的共轭类. 于是每个Mi的真子群均是G的正规子群. 否则，G中的非正规子群的共轭类个数多于极大子群的共轭类个数，与定理2的条件矛盾. 从而Mi的真子群均是Mi的正规子群，Mi是幂零群. 因此，G是内幂零群，故由引理2知G是可解群.
情形 2 M1，…，Mn都是G的正规子群.
此时G已是幂零群，故G是可解群.
情形 3 M1，…，Ms是G的正规子群，而Ms+1，…，Mn为G的非正规极大子群，其中1 < s < n.
此时已有n-s个非正规子群的共轭类.
现假设M1，…，Ms都是非可解群. 则对M2，…，Ms而言，M2，…，Ms分别存在非正规的极大子群H2，…，Hs. 首先，我们知道H2，…，Hs也是G的非正规子群. 其次，我们有H2，…，Hs互不相等. 否则，不妨假设H2=Hs. 则由H2的极大性，有
这H2的选取矛盾. 进一步，我们有H2，…，Hs互不共轭. 否则，不妨假设H2与Hs共轭. 则存在g∈G，使得H2g=Hs，从而
因此，由H2的极大性，有〈H2，Hs〉=M2. 类似地，有〈H2，Hs〉=Ms. 因此，M2=Ms，矛盾.
对M1而言，令P∈Syl2(M1). 则P不是G的正规子群. 否则，则有P⊴ G. 由于奇阶群可解，故M1/P可解，从而得出M1可解，矛盾. 又因存在素数q，使得Q∈Sylq(M1)，则Q不是G的正规子群. 否则，M1具有正规2-补K. 由归纳法知G/K是可解群. 注意到K是奇数阶群，故由引理3知K是可解群. 从而，G是可解群.
现在我们知道P，Q，H2，…，Hs，Ms+1，…，Mn都是G的非正规子群，且它们互不共轭. 这里只需验证Hi与Mj不共轭，其中1≤i≤s，s+1≤j≤n. 否则，存在g∈G，使得Hig=Mj，从而
矛盾. 类似地，也有P，Q与Mj不共轭. 因此，我们找到了n+1个非正规子群的共轭类，与定理2的假设矛盾. 故必有某个Mi可解(i≤s). 考虑G/Mi. 由Mi的极大性，可知G/Mi没有平凡子群. 由归纳法知，G/Mi是可解群，从而，G是可解群.
定理 3 设G是有限群，若G的非幂零极大子群的指数为素数或素数的平方，则G是可解群.
证 假设结论不成立，设G为极小阶反例.
令N为G的极小正规子群. 取M/N是G/N的非幂零极大子群，则
于是G/N的非幂零极大子群的指数也是素数或素数的平方. 用归纳法，可设G/N可解. 如果N亦可解，则G可解，这与假设矛盾. 所以N是非可解群.
令p为|N|的最大素因子，假设P∈Sylp(G). 考虑G的子群NG(Z(J(P)))，其中J(P)为G的Thompson子群. 由于Z(J(P)) char P⊴ NG(P)，易知
令M为G的包含NG(Z(J(P)))的极大子群. 由Frattini论断我们可以得到
若M是幂零群，则NG(Z(J(P)))是幂零群，特别地NN(Z(J(P)))是p-幂零的. 由引理6知N是p-幂零的，矛盾.
设M是非幂零群，则由假设可得|G∶M|是素数或素数的平方. 于是
特别地，q | |N|. 由于p是|N|的最大素因子，所以有q≤p. 若|G∶M|=q，从引理5可以知道P⊴ N，从而P⊴ G. 由N的极小性，易得P=N，即N是可解群，这与N是非可解群矛盾.
若|G∶M|=q2，由Sylow定理知
由于
故
由于P是N的Sylow p-子群，故P是M∩N的Sylow p-子群. 由Sylow定理知
因此，由初等数论得|G∶M|≡1(mod p)，即q2≡1(mod p). 这推出
因此p=3，q =2，|N∶(N∩M)|=4.
考虑N在N∩M上的右陪集集合上的右乘变换，于是把N映到S4的一个非平凡子群，这推出N′ < N. 由N的极小性，有N′=1. 于是N是可解群，这与假设矛盾. 定理3得证.
Some Sufficient Conditions on Solvability of Finite Groups
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摘要: 证明了有限可解群的若干性质：若有限群G的非正规非交换极大子群皆共轭，则G是可解群；若有限群G中非正规子群的共轭类个数不超过极大子群的共轭类个数，则G是可解群；设G是有限群，若G的非幂零极大子群的指数为素数或素数的平方，则G是可解群.Abstract: In this paper, some sufficient conditions on solvability of finite groups obtained: If all non-normal non-abelian subgroups of a finite group G are conjugate, then G is solvable; If the number of conjugacy classes of non-normal subgroups of a finite group G is no more than thenumber of conjugacy classes of maximal subgroups of G, then G is solvable; If the indexs of its non-nilpotent maximal subgroups of G are prime or the square of prime, then G is solvable.
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Key words:
- solvable group /
- maximal subgroup /
- non-normal subgroup /
- non-abelian subgroup .
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