定义 1^[1]  设m，n是取定的正整数.

(a)  如果环R的每个n-生成左理想是有限表现(投射)的，则称环R是左n-凝聚环(左n-半遗传环)；

(b)  如果左R-模R^m的每个n-生成子模都是有限表现的，则称环R是左(m，n)-凝聚环；

(c)  设M是左R-模. 如果M的每个n-生成子模都是有限表现(投射)的，则称M是n-凝聚(n-半遗传)左R-模.

定义 2^[7]  (a) 如果存在左R-模的正合序列0→K→R^m→M→0，其中K是n-生成的，则称M是(m，n)-表现左R-模；

(b)  如果每个从R^m的n-生成子模到M的左R-同态都可以扩张成从R^m到M的左R-同态，则称M是(m，n)-内射左R-模；

(c)  如果对于左R-模R^m的所有n-生成子模I，同态1_M⊗i_I：M⊗_RI→M⊗_RR^m是单的，则称右R-模M是(m，n)-平坦模.

定义 3^[8]  设$\mathscr{C}$是左R-模类，M是左R-模. 若C∈ $\mathscr{C}$且对任意C′∈ $\mathscr{C}$，Abel群同态Hom(φ，C′)：Hom(C，C′)→Hom(M，C′)是满的，则称同态φ：M→C是M的$\mathscr{C}$ -预包络. 如果满足φg=φ的每个同态g：C→C都是同构，则$\mathscr{C}$ -预包络φ：M→C称为$\mathscr{C}$ -包络. 对偶地有$\mathscr{C}$ -预覆盖和$\mathscr{C}$-覆盖的定义.

定义 4  设R是环，m，n是给定的正整数. 如果左R-模M^m的每个n-生成子模都是有限表现的，则称左R-模M是(m，n)-凝聚的.

注 1  (i)  若M是凝聚左R-模，则M是(1，n)-凝聚左R-模，其中n是正整数；

(ii)   由定义容易看出，(m，n)-凝聚模的子模仍是(m，n)-凝聚的.

与文献[7]的引理2.2的证明方法类似，我们有下面的引理：

引理 1  设R是环，M是左R-模. N=Rα₁+Rα₂+…+Rα_n是M的n-生成子模，α₁，α₂，…，α_n，α∈M^m. 令L=N+Rα，F是基为x₁，x₂，…，x_n，x_n+1的自由左R-模，f：F→L是左R-模同态，使得对i≤n有f(x_i)=α_i，f(x_i+1)=α. 令K=Ker f，F′=Rx₁+Rx₂+…+Rx_n⊆F，K′=K∩F′，则存在满同态g：K→(N∶α)，使得Ker g=K′，其中(N∶α)={r∈R|rα∈N}.

定理 1  设R是环，M是左R-模. 则下列结论等价：

(i)   M是(m，n)-凝聚左R-模；

(ii)   若N是M^m的(n-1)-生成子模，则对任意α∈M^m，(N∶α)是M的有限生成子模.

证  (i)⇒(ii)  设N是M^m的(n-1)-生成子模，α∈M^m，F是由x₁，x₂，…，x_n生成的自由模. 由引理1可得正合序列0→K→$F\underrightarrow{f}L$→0，其中L=N+Rα. 则由(i) 可知K是有限生成的. 因此再由引理1可知(N∶α)是有限生成的.

(ii) ⇒(i)  设N_n=Rα₁+Rα₂+…+Rα_n是M^m的n-生成子模，其中α_i∈M^m，i=1，2，…，n. 定义左R-模同态h_n：Rⁿ→N_n为h(r₁，r₂，…，r_n)=rα₁+rα₂+…+rα_n，其中(r₁，r₂，…，r_n)∈Rⁿ.

当n=1时，存在正合序列0→K₁→R→N₁→0，由(ii) 可知K₁=(0∶α₁)是有限生成的，从而N₁是有限生成的.

当n>1时，考虑交换图

其中第一列是正合的. 所以依次类推可得N_n=N_n-1+Rα_n是M^m的n-生成子模，且N_n是有限表现的，故M是(m，n)-凝聚的.

定义 5  设R是环，m，n是给定的正整数. 如果M^m的每个n-生成子模是投射的，那么称左R-模M是(m，n)-半遗传模.

命题 1  设R是环，m，n是给定的正整数. 则(m，n)-半遗传模关于直和封闭.

证  设{M_i}_i∈Λ是一簇(m，n)-半遗传左R-模，N是(⊕_i∈ΛM_i)^m的n-生成子模. 则存在正整数k，使得N是(⊕_i=1^kM_i)^m的n-生成子模.

当k=1，结论显然成立.

假设结论对k-1成立，即(⊕_i=1^k-1M_i)是(m，n)-半遗传的. 设π：(⊕_i=1^kM_i)^m (M_k)^m是标准投影. 定义左R-模同态α：N→(M_k)^m为α(x)=π(x)，其中x∈N. 则可得左R-模正合序列

因为Im(α)是(M_k)^m的n-生成子模，所以Im(α)是投射的，由此可知该序列是可裂的. 从而N∩(M₁⊕M₂⊕…⊕M_k-1)^m是N的直和项，因此N∩(M₁⊕M₂⊕…⊕M_k-1)^m是(M₁⊕M₂⊕…⊕M_k-1)^m的n-生成子模. 则由假设可知N∩(M₁⊕M₂⊕…⊕M_k-1)^m是投射的，所以N≅(N∩(M₁⊕M₂⊕…⊕M_k-1)^m)⊕Im(α)是投射的. 故⊕_i∈ΛM_i是(m，n)-半遗传的.

定理 2  给定正整数m，n. 对于左R-模M，下列结论成立：

(i)   若M是凝聚(半遗传)左R-模，则M是(m，n)-凝聚(半遗传)左R-模，且Mⁿ也是(m，n)-凝聚(半遗传)左R-模；

(ii)   若M是(m，n)-凝聚(半遗传)左R-模，且M^m的每个n-生成子模都平坦，则M是(m，n)-半遗传左R-模；

(iii)   (m，n)-凝聚(半遗传)左R-模的子模也是(m，n)-凝聚(半遗传)左R-模；

(iv)   若R是左Noether环，则每个左R-模都是(m，n)-凝聚的；

(v)  若R是半单Artin环，则每个左R-模都是(m，n)-半遗传的.

证  (i)  因为M是凝聚左R-模，所以M是n-凝聚左R-模. 则由文献[3]的命题2.3可知，M^m是n-凝聚左R-模. 故M是(m，n)-凝聚左R-模. 同理可证，对半遗传模，结论也成立.

(ii)   设K是M^m的n-生成子模，则K是有限表现的. 又因为K是平坦的，所以由文献[9]的定理3.56可知，K是投射的. 由K的任意性可知，M是(m，n)-半遗传左R-模.

(iii)   设M是(m，n)-凝聚左R-模. 任取M的子模N，设K是N^m的n-生成子模，易知K是M^m的n-生成子模，则K是有限表现的. 由K的任意性可知，N是(m，n)-凝聚左R-模. 同理可证，对(m，n)-半遗传模，结论也成立.

(iv)   因为环R是左Noether环，所以R上的有限生成模与有限表现模是等价的. 对任意左R-模M，设N=Rx₁+Rx₂+…+Rx_n是M^m的n-生成子模，其中x_i∈M^m，i=1，2，…，n. 则N是有限生成左R-模. 所以N是有限表现的，故M是(m，n)-凝聚模.

(v)   因为R是半单Artin环，当且当每个左R-模是内射的，当且当每个左R-模是投射的. 所以对环R上的任意左R-模M^m，它的n-生成子模是投射的，则M是(m，n)-半遗传左R-模.

定义 6  设m，n是任意的正整数，M是左R-模.

(a)  如果对M^m的任意n-生成子模K，都存在正合序列0→N⊗K→N⊗M^m，则称右R-模N为(m，n)-M-平坦模；

(b)  如果对M^m的任意n-生成子模K，都存在正合序列Hom(M^m，L)→Hom(K，L)→0，则称左R-模L为(m，n)-M-内射模.

注 2  (i)  由文献[7]可知，右R-模N是(m，n)-R-平坦模当且仅当N是(m，n)-平坦模；左R-模L是(m，n)-R-内射模当且仅当L是(m，n)-内射模.

(ii)   由定义可知，(m，n)-M-平坦模类关于直和项有限直和封闭；(m，n)-M-内射模类关于有限直积封闭.

引理 2  设M是左R-模. 则下列结论成立：

(i)   右R-模N是(m，n)-M-平坦的当且仅当N⁺是(m，n)-M-内射的；

(ii)   (m，n)-M-内射模类关于直和、直积和直和项封闭；

(iii)   (m，n)-M-平坦模类关于纯子模、纯商模、直和项、正向极限和直和封闭，并且每个右R-模有(m，n)-M-平坦覆盖.

证  (i)  设N是(m，n)-M-平坦的，K是M^m的n-生成子模. 由定义可得正合序列0→N⊗K→N⊗M^m. 则(N⊗M^m)⁺→(N⊗K)⁺→0是正合的当且仅当Hom(M^m，n⁺)→Hom(K，n⁺)→0是正合的. 故N是(m，n)-M-平坦的当且仅当N⁺是(m，n)-M-内射的.

(ii)   设{L_i}_i∈I是一簇(m，n)-M-内射模，K是M^m的n-生成子模. 则有正合序列⊕_i∈IHom(M^m，L_i)→⊕_i∈IHom(K，L_i)→0. 我们可以得到交换图

即θ_Kα=β θ_M. 因为K是有限生成的，所以θ_K是同构的. 又因为α，θ_K是满的，所以β是满的. 因此Hom(M^m，⊕_i∈IL_i)→Hom(K，⊕_i∈IL_i)→0是正合的，所以⊕_i∈IL_i是(m，n)-M-内射模. 由此证得(m，n)-M-内射模类对直和封闭，同理可证对直和项封闭. 由定义易证对直积封闭.

(iii)   (m，n)-M-平坦模类关于直和项、正向极限和直和封闭是显然的，下面只证关于纯子模和纯商模封闭.

设0→A→B→B/A→0是右R-模纯正合序列，其中B是(m，n)-M-平坦的. 则有可裂正合列0→(B/A)⁺→B⁺→A⁺→0. 由(i) 知，B⁺是(m，n)-M-内射的. 又因为B⁺=A⁺⊕(B/A)⁺，故(B/A)⁺和A⁺是(m，n)-M-内射的，所以A和B/A是(m，n)-M-平坦的. 从而可知(m，n)-M-平坦模对纯子模和纯商模封闭.

因为(m，n)-M-平坦模类关于正向极限和纯商模封闭，所以根据文献[10]的定理2.7可知，每个右R-模有(m，n)-M-平坦覆盖.

引理 3  设M是(m，n)-凝聚左R-模. 则(m，n)-M-平坦模类关于直积封闭，且每个右R-模有(m，n)-M-平坦预包络.

证  设{N_i}_i∈Λ是一簇(m，n)-M-平坦右R-模，K是M^m的n-生成子模. 则可得交换图

因为K是有限表现的，所以由文献[8]的定理3.2.22可知，α是同构的. 又因为βα=φγ且β是单的，所以γ是单的. 则0→(Π_i∈ΛN_i)⊗K→(Π_i∈ΛN_i)⊗M^m是正合的. 故Π_i∈ΛN_i是(m，n)-M-平坦的，即(m，n)-M-平坦模类关于直积封闭.

由引理2知，(m，n)-M-平坦模类关于纯子模封闭. 由文献[10]的定理4.1知，每个右R-模有(m，n)-M-平坦预包络.

定理 3  对于有限表现左R-模M，下列条件等价：

(i)   M是(m，n)-凝聚左R-模；

(ii)   (m，n)-M-平坦右R-模关于直积封闭；

(iii)   R_R的任意拷贝直积是(m，n)-M-平坦的；

(iv)   每个右R-模有(m，n)-M-平坦预包络；

(v)   左R-模N是(m，n)-M-内射模当且仅当N⁺是(m，n)-M-平坦模；

(vi)   左R-模N是(m，n)-M-内射模当且仅当N⁺⁺是(m，n)-M-内射模；

(vii)   右R-模N是(m，n)-M-平坦模当且仅当N⁺⁺是(m，n)-M-平坦模；

(viii)   (m，n)-M-内射模类关于纯商模封闭；

(ix)   (m，n)-M-内射模类关于正向极限封闭.

证  (i)⇒(ii) ，(i)⇒(iv) 由引理3已证.

(ii) ⇒(iii) 显然.

(iii) ⇒(i)  设K是M^m的任意n-生成子模. 则有交换图

由(iii)知ΠR_R是(m，n)-M-平坦的，所以γ是单的. 又因为M是有限表现模，则由文献[8]的定理3.2.22知β是同构的. 由φα=βγ可知α是单的. 因为K是有限生成的，所以由文献[8]的定理3.2.21知α是满的，从而α是同构的. 又由文献[8]的定理3.2.22知，K是有限表现的. 故由K的任意性可知，M是(m，n)-凝聚模.

(iv) ⇒(ii)  由引理2知(m，n)-M-平坦模是关于直和封闭的，又因为每个右R-模都有(m，n)-M-平坦预包络，则由文献[11]的引理1知，结论是成立的.

(i) ⇒(v)  设K是M^m的n-生成子模，则可得交换图

因为M是有限表现的，所以M^m是有限表现的. 又由(i)知K是有限表现的，所以α，β是同构的. 又因为φα=βγ，所以若N⁺是(m，n)-M-平坦的，则γ是单的，当且当φ是单的，当且当Hom(M^m，N)→Hom(K，N)→0是正合的. 则N是(m，n)-M-内射模. 结论成立.

(v) ⇒(vi) 设K是M^m的n-生成子模，N是(m，n)-M-内射模. 由(v)知，0→N⁺⊗K→N⁺⊗M^m正合等价于(N⁺⊗M^m)⁺→(N⁺⊗K)⁺→0，即Hom(M^m，N⁺⁺)→Hom(K，N⁺⁺)→0正合，所以N⁺⁺是(m，n)-M-内射模.

(vi) ⇒(vii) 由引理2和(vi)知，右R-模N是(m，n)-M-平坦模，等价于N⁺是(m，n)-M-内射模，等价于N⁺⁺⁺是(m，n)-M-内射模，又等价于N⁺⁺是(m，n)-M-平坦模.

(vii) ⇒(iii) 因为对M^m的任意n-生成子模K，存在正合列0→(⊕R_R)⊗K→(⊕R_R)⊗M^m. 所以⊕R_R是(m，n)-M-平坦的. 由(vii)知，(⊕R_R)⁺⁺≅(ΠR⁺)⁺是(m，n)-M-平坦的. 由文献[12]的引理1(1)知，⊕R_R⁺是ΠR_R⁺的纯子模. 则存在可裂正合列(ΠR_R⁺)⁺→(⊕R_R⁺)⁺→0，使得(⊕R_R⁺)⁺≅(ΠR⁺⁺)是(m，n)-M-平坦模. 又由文献[12]的引理1(2)知，ΠR_R是ΠR_R⁺⁺的纯子模，则由引理2知，ΠR_R是(m，n)-M-平坦模.

(v) ⇒(viii) 设0→A→B→C→0是左R-模纯正合列，其中B是(m，n)-M-内射模，由此可得可裂正合列0→C⁺→B⁺→A⁺→0，由(v) 知，B⁺是(m，n)-M-平坦模，并且有B⁺≅A⁺⊕C⁺，则由引理2知A⁺，C⁺是(m，n)-M-平坦的，因此C是(m，n)-M-内射模. 故(m，n)-M-平坦模类关于纯商模封闭.

(viii) ⇒(ix) 设{N_i}_i∈I是一簇(m，n)-M-内射模，其中I是有向集. 由文献[13]的33.9可得纯正合列0→N_i→⊕_i∈IN_i→$\underset{\to }{\mathop{\lim }}\, \ {{N}_{i}}$→0，所以⊕_i∈IN_i是(m，n)-M-内射模. 故由(viii)可知$\mathop {\lim }\limits_ \to \;{N_i}$是(m，n)-M-内射模.

(ix) ⇒(i)  设K是M^m的n-生成子模，{N_i}_i∈I是一簇(m，n)-M-内射模，其中I是有向集. 则由(ix)知$\mathop {\lim }\limits_ \to \;{N_i}$是(m，n)-M-内射的. 因此可得交换图

因为M是有限表现的，所以M^m是有限表现的. 由文献[13]的25.4知α是同构的. 又因为$\underset{\to }{\mathop{\lim }}\, \ {{N}_{i}}$是(m，n)-M-内射的，所以φ是满的，因此β是满的. 又因为K是有限生成的，则由文献[13]的24.9可知，β是单射，故β是同构的. 从而由文献[13]的25.4知K是有限表现的. 因此M是(m，n)-凝聚左R-模.

命题 2  若M是有限表现的(m，n)-凝聚左R-模，则每个左R-模有(m，n)-M-内射预包络和(m，n)-M-内射覆盖.

证  设0→A→B→C→0是左R-模纯正和序列，其中B是(m，n)-M-内射模，由此可得可裂正合列0→C⁺→B⁺→A⁺→0，并且B⁺，A⁺是(m，n)-M-平坦的，所以A是(m，n)-M-内射的. 因此(m，n)-M-内射模类关于纯子模封闭，且由引理2知，(m，n)-M-内射模类关于直积封闭. 则由文献[10]的定理4.1知，每个左R-模有(m，n)-M-内射预包络. 再由定理3和引理2知，(m，n)-M-内射模类关于纯商模和直和封闭，则由文献[10]的定理2.7知每个左R-模有(m，n)-M-内射覆盖.

定理 4  对于平坦(m，n)-凝聚左R-模M，下列条件等价：

(i)   M是(m，n)-半遗传左R-模；

(ii)   (m，n)-M-平坦右R-模关于子模封闭；

(iii)   每个右R-模有满的(m，n)-M-平坦预包络；

(iv)   (m，n)-M-内射左R-模关于商封闭.

证  (i)⇒(ii)  设B是(m，n)-M-平坦右R-模，A是B的子模，K是M^m的n-生成子模，则可以得到交换图

因为K投射，且B是(m，n)-M-平坦的，所以α，φ是单的. 则由φα=βγ知γ是单的. 因此A是(m，n)-M-平坦的.

(ii) ⇒(iii)  对任意右R-模N，由引理3知N有(m，n)-M-平坦预包络，设为f：N→F. 由(ii)知Im(f)是(m，n)-M-平坦的，所以g：N→Im(f)是满的(m，n)-M-平坦预包络.

(i) ⇒(iv)  设X是(m，n)-M-内射模，N是X的子模. 下证X/N是(m，n)-M-内射模.

设K是M^m的n-生成子模，i：K→M^m是包含映射，π：X→X/N是标准映射. 对任意的同态f：K→X/N，因为K是投射的，所以存在g：K→X使得πg=f. 因此存在l：M^m→X使得li=g. 又因为X是(m，n)-M-内射的，所以有(πl)i=f. 故X/N是(m，n)-M-内射的，

(iv) ⇒(ii)  设A是(m，n)-M-平坦右R-模B的子模，由引理2，B⁺是(m，n)-M-内射的，因为A⁺是B⁺的商，则由(iv) 知，A⁺是(m，n)-M-内射模. 所以A是(m，n)-M-平坦模.