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动力系统是微分方程与泛函分析等多个数学分支的融合. 吸引子可看作状态空间中具有吸引性和不变性的紧集，它很好地描述了动力系统的解的长时间渐近行为. 目前，国内外越来越多的学者从事吸引子这一领域的研究，关于这方面的研究可参考文献[1-4]. 目前，自治动力系统的整体吸引子已被广泛研究，然而关于非自治动力系统的拉回吸引子的研究已逐步受到国内外广大学者的关注[5-11].
由文献[6]可知非自治动力系统的拉回吸引子
$ \mathscr{A}$ ={$ \mathscr{A}$ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ 是一族具有紧性、拉回吸引性、不变性和最小性的集合，且该文献研究了∪s≤τ$ \mathscr{A}$ (s)在状态空间中的有界性. 最近，文献[8]研究了∪s≤τ$ \mathscr{A}$ (s)在状态空间中的紧性并建立了相关理论结果. 由该文献可知，若非自治动力系统在状态空间中有一个单调递增的拉回吸收集且是半一致拉回渐近紧的，则该非自治过程在状态空间中具有一个半一致紧的拉回吸引子.然而，该理论结果只对于确定性的吸引域成立，且该文献并没有研究拉回吸引子的半一致吸引性. 目前，对于变化吸引域情形的拉回吸引子的半一致吸引性的研究还是公开的. 本文的首要目的是研究变化吸引域情形下的非自治动力系统的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子的半一致吸引性与半一致紧性，这里$ \mathscr{D}$ 是一个变化的吸引域. 我们首先介绍半一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子与半一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子的定义. 此外，还证明，若非自治动力系统有一个半一致吸收的拉回$ \mathscr{D}$ -吸收集，则它具有一个唯一的半一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子$ \mathscr{A}$ ={$ \mathscr{A}$ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ 与一个唯一的半一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子U={U(τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ，且它们满足包含关系$ \mathscr{A}$ ⊆U，见定理1.本文的第二个目的是把该理论结果应用到定义在无界整数集上的非自治p-Laplacian格点系统：
且带有初始条件：
其中λ>0且p≥2. 格点动力系统是偏微分方程的空间离散化. 近些年来，关于格点动力系统及其相关动力学的研究在物理学、化学、生物学、力学、金融学等相关学科领域大量涌现[12].
考虑如下Banach空间：
且范数为‖u‖p=
$ {\left( {\sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {{{\left| {{u_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}$ . 若p=2，我们分别用‖·‖和(·，·)去表示Ɩ2的范数与内积. 在本文中，我们假设Fi∈C1($\mathbb{R} $ ，$\mathbb{R} $ )是一类局部Lipschitz连续(对i∈$\mathbb{Z} $ 是一致的)的非线性函数且满足Fi(s)s≥sp，∀i∈$\mathbb{Z} $ ，s∈$\mathbb{R} $ . 对于时间依赖的外力源g={gi}i∈$\mathbb{Z} $ ∈Lloc2($\mathbb{R} $ ，Ɩ2)，我们给出两种不同的假设：对于τ∈$\mathbb{R} $ ，若p=2，则p-Laplacian格点系统(1)退化为标准的反应扩散格点系统. 目前，关于反应扩散格点系统的渐近行为已被研究[3-4, 7, 13]. 本文主要研究p≥2的情形. 具体地，将在假设条件(3)，(4)下证明系统(1)具有唯一的半一致紧的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子与唯一的半一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 而实现这一目标的关键点是如何建立系统的解在Ɩ2中的半一致$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧性. 需要克服以下三个难点：1) 由于整数集
$ \mathbb{Z}$ 是无界的，因此Sobolev嵌入不是紧的.2) 由于很难半一致地控制系统(1)的解在时间无穷远处的极限行为，因此不太容易获得解的半一致估计.
3) 由于离散的p-Laplace算子在p≠2时是非线性的，因此后向一致尾部估计会比p=2时困难得多.
为了克服以上困难，首先证明系统(1)在能量空间Ɩ2上具有一个半一致吸收的
$ \mathscr{D}$ 拉回吸收集，然后采用文献[13]中的一致尾部估计的方法来建立该系统的解的后向一致渐近紧性. 此外，本文将多次用到下面的两个不等式：对于任意的p≥2和a，b∈$ \mathbb{R}$ ，存在两个只依赖于p的正常数γ1和γ2使得
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本节简单介绍一些关于非自治动力系统的基本概念和一些新的定义. 关于非自治动力系统的详细介绍可参考文献[6]. 设(X，‖·‖X)是一个Banach空间，且X上两个集合A与B的Hausdorff半距离为：distX(A，B)=supa∈Ainfb∈B‖a-b‖X.
定义 1 设定义在X上的一族映射Φ={Φ(t，τ)：t∈
$ \mathbb{R}$ +，τ∈$ \mathbb{R}$ }满足：对于所有的t，s∈$ \mathbb{R}$ +和τ∈$ \mathbb{R}$ ，都有Φ(0，τ)=I和Φ(t+s，τ)=Φ(t，s+τ)。Φ(s，τ)成立，则称S(·，·)是X上的一个非自治动力系统.设D={D(τ)：τ∈
$ \mathbb{R}$ }是X中的某些非空有界集合所构成的集合族. 此外，记D是所有这种集合族构成的全体，且假设D是包含封闭的[14].下面介绍通常的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子和半一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子的概念.定义 2 [14]设Φ是定义在X上的一个非自治动力系统且
$\mathscr{A} $ ={$\mathscr{A} $ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ 是X上的一个非自治集，若$\mathscr{A} $ 满足如下条件：1) 对于任意的τ∈
$ \mathbb{R}$ ，$\mathscr{A} $ (τ)在X中是紧的；2)
$\mathscr{A} $ 是不变的：对于任意的t∈$ \mathbb{R}$ +和τ∈$ \mathbb{R}$ ，都有Φ(t，τ)$\mathscr{A} $ (τ)=$\mathscr{A} $ (t+τ)成立；3)
$\mathscr{A} $ 是$ \mathscr{D}$ -拉回吸引的：即对于任意的τ∈$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都有则称
$\mathscr{A} $ 是Φ的一个$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 此外，在本文中，若∪s≥τ$\mathscr{A} $ (s)X在X中是紧的，则称$\mathscr{A} $ 是Φ的一个前向一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 若∪s≤τ$\mathscr{A} $ (s)X在X中是紧的，则称$\mathscr{A} $ 是Φ的一个后向一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子.下面介绍半一致吸引的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子的概念.定义 3 设Φ是定义在X上的一个非自治动力系统且U={U(τ)}τ∈
$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ 是X上的一个非自治集. 若U满足如下条件：(i) 对于任意的τ∈
$ \mathbb{R}$ ，U(τ)在X中是紧的；(ii) U是前向一致
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引的：即对每一个τ∈$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都有(iii) U是所有满足条件(i)和(ii)的集合中最小的一个，则称U是Φ的一个前向一致吸引的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 此外，若U满足如下条件：1) 对于任意的τ∈
$ \mathbb{R}$ ，U(τ)在X中是紧的；2) U是后向一致
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引的：即对每一个τ∈$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都有3) U是所有满足条件(1)和(2)的集合中最小的一个，则称U是Φ的一个后向一致吸引的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子.定义 4 设Φ是一个定义在X上的一个非自治动力系统且
$\mathscr{K} $ ={$\mathscr{K} $ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ 是X中的一个非自治集.(i) 若对每一个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得则称
$\mathscr{K} $ 是关于Φ的一个$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集.(ii) 若对每一个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得则称
$\mathscr{K} $ 是一个关于Φ的一个前向一致吸收$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集.(iii) 若对每一个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，都存在一个时间T=：T(τ，D)>0使得则称
$\mathscr{K} $ 是关于Φ的一个后向一致吸收$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集.定义 5 设Φ是一个定义在X上的非自治动力系统.
(i) 若τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，当tn→+∞和xn∈$\mathscr{D} $ (τ-tn)时，序列{Φ(tn，τ-tn)xn}n=1∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的.(ii) 若τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，当sn≥τ，tn→+∞和xn∈D(sn-tn)时，序列{Φ(tn，sn-tn)xn}n=1∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是前向一致$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的.(iii) 若τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，当sn≤τ，tn→+∞和xn∈$\mathscr{D} $ (sn-tn)时，序列{Φ(tn，sn-tn)xn}n=1∞在X中是预紧的，则称Φ在X中是后向一致$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的.
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本节研究半一致紧的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子与半一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子的存在性与唯一性. 此外，我们还研究了他们的结构和关系.定理 1 设Φ是X中的一个非自治动力系统，我们有如下两个结论：
(i) 若Φ在X中有一个闭的前向一致吸收的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集$\mathscr{K} $ ={$\mathscr{K} $ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ ，且Φ在X中是前向一致$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的，则Φ在X中有一个唯一的前向一致紧$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $ ={$\mathscr{A} $ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ 和一个唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子U={U(τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ . 此外，我们还有$\mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $ $\mathscr{A} $ (s)X⊆U(τ)，且A与U有如下结构：(ii) 若Φ在X中有一个闭的后向一致吸收的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集K={K(τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ ，且Φ在X中是后向一致$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的，则Φ在X中有一个唯一的后向一致紧$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $ ={$\mathscr{A} $ (τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ 和一个唯一的后向一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子U={U(τ)}τ∈$ \mathbb{R}$ ∈$\mathscr{D} $ . 此外，我们还有∪s≤τ$\mathscr{A} $ (s)X⊆U(τ)，且$\mathscr{A} $ (τ)与U(τ)有如下结构：证 由于(ii)的证明与(i)的类似，故只需证明(i)即可. 首先分三步证明(10)式中的U∈
$\mathscr{D} $ 且U是非自治动力系统Φ在X中的唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子.第一步：U∈
$\mathscr{D} $ . 由于$\mathscr{K} $ ∈$\mathscr{D} $ 且$\mathscr{K} $ 是Φ在X中的一个前向一致吸收的$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集，于是对于每一个τ∈$ \mathbb{R}$ ，存在T1 = T1(τ，$\mathscr{K} $ ) >0使得$ \mathop \cup \limits_{y \ge {T_1}} \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $ Φ(t，s-t)$\mathscr{K} $ (s-t)⊆$\mathscr{K} $ (τ). 由于$\mathscr{K} $ 是闭的，因此对于所有的r≥T1，再由U(τ)的定义可知
由于
$\mathscr{D} $ 是包含闭的且$\mathscr{K} $ ∈$\mathscr{D} $ ，因此U∈$\mathscr{D} $ .第二步：U在X中的紧性. 任取{yn}n=1∞⊆U(τ)，由U(τ)的定义可知存在sn≥τ，tn↑→+∞和xn∈
$\mathscr{K} $ (sn-tn)使得由于Φ在X中是前向一致
$\mathscr{D} $ 拉回渐近紧的，可知存在y0∈X和一个收敛子列使得对于r>0，由(13)式可知存在一个K∈
$\mathbb{N} $ ，使得当k≥K时，tnk≥r且由此可知y0∈U(τ). 另一方面，由(12)-(13)式可知，在X中，当k→∞时，ynk→y0. 故U(τ)在X中是紧的.
第三步：U的前向一致吸引性. 用反证法证明，对于每一个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，U满足(8)式. 若不成立，则存在η>0，τ0∈$\mathbb{R} $ ，sn≥τ0，tn→+∞和xn∈$\mathscr{D} $ (sn-tn)使得由第二步的证明过程可知，存在y0∈X和一个收敛子列使得在X中当k→∞时，Φ(tnk，snk-tnk)xnk→y0且y0∈U(τ0). 这与(14)式矛盾. 故U具有前向一致
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引性.第四步：U的最小性. 设B∈
$\mathscr{D} $ 在X中是紧的且是Φ的一个前向一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引集. 我们将证明U⊆B. 对于每一个τ∈$ \mathbb{R}$ ，设x∈U(τ). 由U(τ)的定义可知，存在sn≥τ，tn→+∞，xn∈$\mathscr{K} $ (sn-tn)使得当n→∞时，Φ(tn，sn-tn)xn→x. 另一方面，由B，$\mathscr{K} $ ∈$\mathscr{D} $ 和B的前向一致$ \mathscr{D}$ -拉回吸引性可知，当n→∞时，再由B(τ)的紧性可知x∈B(τ)，故U(τ)⊆B(τ)，从而证明了U的最小性和唯一性.
由以上4个步骤可知U∈
$\mathscr{D} $ 是Φ的唯一的前向一致吸引的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 此外，由本定理的条件和文献[14]的定理2.23可知，非自治动力系统Φ在X中有一个唯一的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $ ∈$\mathscr{D} $ ，且$\mathscr{A} $ 由(10)式给出. 由$\mathscr{A} $ 与U的结构可知，对于任意的τ∈$ \mathbb{R}$ ，有$ \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $ $\mathscr{A} $ (s)X⊆U(τ). 这与U(τ)在X中的紧性可推得$ \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $ $\mathscr{A} $ (s)X在X中的紧性. 于是$\mathscr{A} $ ∈$\mathscr{D} $ 是Φ的唯一的前向一致紧的$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子. 证毕.
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为了把系统(1)-(2)转化为一个定义在Ɩ2上的抽象系统，定义两个由Ɩ2到Ɩ2的有界线性算子B和B*：(Bu)i=ui+1-ui和(B*u)i=ui-1-ui，∀u=(ui)i∈
$\mathbb{Z} $ ∈Ɩ2. 容易证明，对于任意的u，v∈ Ɩ2，都有‖Bu‖≤2‖u‖，BB*=B*B和(B*u，v)=(u，Bv). 对于p≥2，定义离散的p-Laplace算子Ap：Ɩ2→Ɩ2由(6)式和(15)式可知，对于任意的u，v∈ Ɩ2，
于是Ap：Ɩ2Ɩ2是局部Lipschitz连续的，也即是，对于每一个Ɩ2上的有界集E，存在一个常数c1=c1(E)>0使得
此外，由(5)式和(15)式可知，对于任意的u，v∈Ɩ2，
于是Ap：Ɩ2→Ɩ2是单调的，也即是
为了处理方程中的非线性函数，定义算子F(u)=(Fi(ui))i∈
$\mathbb{Z} $ ，∀u=(ui)i∈$\mathbb{Z} $ ∈Ɩ2. 由于Fi∈ C1($\mathbb{R} $ ，$\mathbb{R} $ )是局部Lipschitz连续的，于是对于每一个Ɩ2上的有界集E，存在一个常数c2=c2(E)>0使得此外，还有(F(u)，u)≥‖u‖pp，∀u∈Ɩ2. 最后，把系统(1)-(2)重写Ɩ2上的抽象的系统：
且具有初始条件：
由(16)-(18)式可知，对于每一个g∈Lloc2(
$\mathbb{R} $ ，Ɩ2)和(τ，u0)∈$ \mathbb{R}$ ×Ɩ2，系统(19)-(20)有一个唯一的解u(·，τ，u0)∈C([τ，+∞)，Ɩ2). 基于此，对于t∈$ \mathbb{R}$ +和τ∈$ \mathbb{R}$ ，我们定义一个非自治动力系统Φ(t，τ)：Ɩ2Ɩ2，Φ(t，τ)u0=u(t+τ，τ，u0)，∀u0∈Ɩ2. 为了获得解的一致估计，我们介绍3个吸引域：D，B和C，它们分别是满足如下条件的集合族D={D(τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }，B={B(τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }和C={C(τ)：τ∈$ \mathbb{R}$ }所构成的全体：
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首先建立系统(19)-(20)的解在Ɩ2上的一致估计.
引理 1 (i) 若(3)式或(4)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，存在T：=T(τ，D)>0使得(ii) 若(3)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和B∈$\mathscr{B} $ ，存在T：=T(τ，$\mathscr{B} $ )>0使得(iii) 若(4)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和C∈$\mathscr{C} $ ，存在T：=T(τ，C)>0使得证 由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，故只证明(ii). 由(19)-(20)式可知
于是由(17)式和(F(u)，u)≥‖u‖pp可知
对于τ∈
$ \mathbb{R}$ 和B∈$\mathscr{B} $ ，由Gronwall不等式可知，对于任意的s≥τ和t≥0，于是由
$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to + \infty } $ e-λt$ \mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } $ ‖B(s-t)‖2=0可知，存在T：=T(τ，B)>0使得当t≥T时，证毕.
接下来运用文献[13]中的截断方法获取解的后向一致尾部估计. 定义一个光滑函数ξ：
$\mathbb{R} $ →[0, 1]使得当|s|≤1时ξ(s)=0，且当|s|≥2时ξ(s)=1.引理 2 (i) 若(3)式或(4)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，有(ii) 若(3)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和B∈$\mathscr{B} $ ，有(iii) 若(4)式成立，则对于每个τ∈
$ \mathbb{R}$ 和C∈$\mathscr{C} $ ，有证 由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，故只证明(ii).
对于任意的n∈
$\mathbb{N} $ ，记ξn=$ \left( {\xi \left( {\frac{i}{n}} \right)} \right)$ i∈$\mathbb{Z} $ 和ξnu=$ \left( {\xi \left( {\frac{i}{n}} \right){u_i}} \right)$ i∈$\mathbb{Z} $ . 由(19)-(20)式可知由光滑函数ξ的性质和Ɩ2⊆lp可知，(25)式左边的第三项满足
其中c3，c4和c5都是不依赖于n的正常数. 最后由(25)-(26)式和(F(u)，u)≥0可知
对于τ∈
$ \mathbb{R}$ 和B∈$\mathscr{B} $ ，我们由Gronwall不等式和(24)式可知，存在T：=T(τ，B)>0使得当t≥T时，对于任意的s≥τ都有由(28)式和(3)式可知，当t→+∞和n→∞时，
由此可知(ii)得证. 证毕.
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本节证明非自治p-Laplacian格点系统(19)-(20)在能量空间Ɩ2上分别有一个唯一的半一致紧的拉回吸引子和一个唯一的半一致吸引的拉回吸引子. 首先证明非自治动力系统Φ具有一个半一致吸收的拉回吸收集.
引理 3 (i) 若(3)式或(4)式成立，则Φ具有一个
$ \mathscr{D}$ -拉回吸收集$\mathscr{K} $ $\mathscr{D} $ ={$\mathscr{K} $ $\mathscr{D} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{D} $ 且$\mathscr{K} $ $\mathscr{D} $ (τ)={u∈ Ɩ2：‖u‖2≤$\frac{2}{\lambda }\int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $ λ(r-τ)‖g(r)‖2dr}.(ii) 若(3)式成立，则Φ具有一个前向一致吸收的
$\mathscr{B} $ -拉回吸收集$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ ={$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{B} $ 且$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ (τ)={u∈Ɩ2：‖u‖2≤$\frac{2}{\lambda }\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } \int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $ λ(r-s)‖g(r)‖2dr}.(iii) 若(4)式成立，则Φ具有一个后向一致吸收的
$\mathscr{C} $ -拉回吸收集$\mathscr{K} $ $\mathscr{C} $ ={$\mathscr{K} $ $\mathscr{C} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{C} $ 且$\mathscr{K} $ $\mathscr{C} $ (τ)={u∈ Ɩ2：‖u‖2≤$ \frac{2}{\lambda }\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{s \ge \tau } \int_{ - \infty }^\tau {\rm{e}} $ λ(r-s)‖g(r)‖2dr}.证 由于(i)与(iii)的证明与(ii)的证明是类似的，只证明(ii). 由引理1可知存在T：=T(τ，B)>0使得
$ \mathop \cup \limits_{t \ge T} \mathop \cup \limits_{s \ge \tau } $ Φ(t，s-t)B(s-t) ⊆$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ (τ). 另一方面，当t→+∞时，由此可知
$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ ∈$\mathscr{B} $ . 故$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ 是Φ的一个前向一致吸收的$\mathscr{B} $ -拉回吸收集. 证毕.下面证明Φ在能量空间Ɩ2上分别有一个唯一的半一致紧的拉回吸引子和一个唯一的半一致吸引的拉回吸引子.
定理 2 (i) 若(3)式或(4)式成立，则Φ具有一个唯一的
$ \mathscr{D}$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ ={$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{D} $ ，且(ii) 若(3)式成立则Φ具有一个唯一的前向一致紧的
$\mathscr{B} $ -拉回吸引子$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ ={$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ (τ)：τ∈$ \mathbb{R}$ }∈$\mathscr{B} $ 和一个唯一的前向一致吸引的$\mathscr{B} $ -拉回吸引子U$\mathscr{B} $ ={U$\mathscr{B} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{B} $ ，且(iii) 若(4)式成立，则Φ具有一个唯一的后向一致紧的C-拉回吸引子
$\mathscr{A} $ $\mathscr{C} $ ={$\mathscr{A} $ $\mathscr{C} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{C} $ 和一个唯一的前向一致吸引的$\mathscr{C} $ -拉回吸引子U$\mathscr{C} $ ={U$\mathscr{C} $ (τ)：τ∈$\mathbb{R} $ }∈$\mathscr{C} $ ，且(iv) 若(3)式成立，则
$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ =$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ ⊆U$\mathscr{B} $ . 若(4)式成立，则$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ =$\mathscr{A} $ $\mathscr{C} $ ⊆U$\mathscr{C} $ .证 对于τ∈
$ \mathbb{R}$ 和D∈$\mathscr{D} $ ，设sn≥τ，tn→+∞且xn∈$\mathscr{D} $ (sn-tn). 我们将证明序列在Ɩ2的拓扑下有一个收敛子列. 对于任意的ε∈(0，1)，由引理2可知，存在k1，n1∈
$\mathbb{N} $ 使得又由引理1可知序列{Zn}n=1∞在Ɩ2中是有界的. 于是序列{(Zin)|i| < k1}n=1∞在
$\mathbb{R} $ 2k1-1中是有界的. 于是{(Zin)|i| < k1}n=1∞在$\mathbb{R} $ 2k1-1中有收敛子列(记为它本身). 由此可知存在n2≥n1使得由(29)式和(30)式可知，当n，m≥n2时，
因此，{Zn}n=1∞是Ɩ2中的一个柯西列. 又因为Ɩ2是一个希尔伯特空间，故它在Ɩ2中有一个收敛子列. 于是Φ在Ɩ2中是前向一致
$ \mathscr{D}$ -拉回渐近紧的. 基于此和引理3，由定理1可知(ii)成立. 同理可证(i)和(iii).下面证明(iv). 由
$\mathscr{K} $ $\mathscr{D} $ (τ)⊆$\mathscr{K} $ $\mathscr{B} $ (τ)可知$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ (τ)⊆$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ (τ). 另一方面，由$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ ∈$\mathscr{B} $ ⊆$ \mathscr{D}$ ，$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ 的不变性和$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ 的$ \mathscr{D}$ - 拉回吸引性可知，当t→+∞时，于是
$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ (τ)⊆$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ (τ)Ɩ2=$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ (τ). 因此$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ =$\mathscr{A} $ $\mathscr{B} $ ⊆U$\mathscr{B} $ . 同理可证$\mathscr{A} $ $\mathscr{D} $ =$\mathscr{A} $ $\mathscr{C} $ ⊆U$\mathscr{C} $ . 证毕.
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