本文主要考虑如下带有非局部边界条件及非局部源的非线性反应扩散方程组的初边值问题

其中: $\begin{matrix} D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} & \left( n\ge 2 \right) \\ \end{matrix}$是非空带有光滑边界$\partial D$的有界凸域, v是相对于$\partial D$的向外法向量, t^*为爆破发生时的爆破时间；f₁, f₂, g₁, g₂是属于C¹($\overline{{{\mathbb{R}}_{+}}}$)的非负函数；k₁, k₂, k₃, k₄是属于C¹($\overline{{{\mathbb{R}}_{+}}}$)的有界正函数；ρ₁, ρ₂是属于C¹($\overline{{{\mathbb{R}}_{+}}}$)的正函数, u₀(x), v₀(x), x∈D是C¹(D)上不恒为0的非负函数且满足兼容性条件. 由文献[13]可知(1)式的非负古典解.

近年来, 关于非线性抛物方程(方程组)的全局解的存在与非存在性、解的爆破情况、爆破时间上下界、解的渐近行为等的研究不断涌现^[7-12]. 带非局部边界条件的反应扩散问题基于众多物理意义, 如热弹性理论, 在该理论中, 解可描述为每一体积物质的熵. 所以, 目前研究者们开始了对这类问题的研究^[1-4]. 但目前还没有对于带非局部边界条件及非局部源的反应扩散方程组的爆破研究, 故本文将致力于研究此类方程组的爆破现象.

受上述工作的启发, 我们将在本文中研究方程(1)的爆破现象. 结合恰当的微分不等式技巧, 建立了在有限时间内解爆破的适当条件, 还得到了爆破时间的上界和下界估计.

定理1  若(u, v)是方程(1)的非负古典解, $\begin{matrix} D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} & \left( n\ge 2 \right) \\ \end{matrix}$, 设函数f₁, f₂, g₁, g₂, ρ₁, ρ₂, k₁, k₂满足

其中: ξ₁, ξ₂为非负常数；p₁, p₂, q₁, q₂, b₁, b₂为正常数且满足q₁>p₂>1, q₂>p₁>1. 现假设p₂≥ p₁且初始条件u₀满足

其中

则在某一t^*时刻, 解(u, v)在B(t)的测度下爆破.

证  现构造辅助函数如下

由散度定理及条件(2)得

考虑对Φ(t), Ψ(t)应用Hölder不等式, 可进一步得

再次应用Hölder不等式得

将(6), (7)式带入到(5)式中, 得

这表明对所有t∈(0, t^*), B(t), Φ(t), Ψ(t)均为非减函数. 由(4)式知Φ(t)≥Φ(0)>0, Ψ(t)≥Ψ(0)>0. 由q₁>p₂>1, q₂>p₁>1可推出Φ^q₁(t)≥Φ^p₂(t)Φ^q₁-p₂(0), Ψ^q₂(t)≥Ψ^p₁(t)Ψ^q₂-p₁(0), 再代入(8)式中, 结合M的定义知

现分两步完成证明.

第一步, 当p₁=p₂时, 由不等式d₁^a+d₂^a≥2^1-a(d₁+d₂)^a, d₁, d₂>0, a>1得B′(t)≥C₁B(t)+2^1-p₁MB^p₁(t), 再结合常微分方程的知识对其由0到t积分, 即有

结合(3)式, 容易发现$\phi \left( T \right) = 0$且$\phi \left( T \right) < 0$, t>T, 进而得到

第二步, 当p₂>p₁, 运用Young不等式可得

将(12)式代入(9)式中, 结合d₁^a+d₂^a≥2^1-a(d₁+d₂)^a, d₁, d₂>0, a>1得

注意到(3)式表明ψ(B(t))>0, t≥0, 易知

因此易得当t≥0, 有ψ′(B(t))>0成立, 即ψ(B(t)) 是关于B(t)递增的函数. 故由(3)-(13)式可得ψ(B(t))>ψ(B(0))>0.又由(13)式得解(u, v)在t^*时, 在B(t)的测度下爆破. 若${\lim _{t \to {t^*}}}B\left( t \right) = \infty $, 对式(13)式两边关于时间t在[0, t^*]上积分, 则有

至此, 定理1证明完毕.

定理2  若(u, v)是方程(1)的非负古典解, 为得到t^*下界, 现限制$\begin{matrix} D\subset {{\mathbb{R}}^{n}} & \left( n\ge 3 \right) \\ \end{matrix}$, 并假设函数f₁, f₂, g₁, g₂, ρ₁, ρ₂和k₁, k₂满足

其中: s, t为非负常数；α₁, α₂是非负函数；p₁, p₂, q₁, q₂, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, l₁, l₂为正常数, 满足q₁, q₂>1, l₁, l₂>1且

若u在某t^*时刻, 在测度G(t)下无界, 则t^*的下界为${t^*} \ge \int_{G\left( 0 \right)}^{ + \infty } {\frac{{{\rm{d}}\tau }}{{{M_1}\tau + {M_2}{\tau ^3} + {M_3}}}} $, 其中

证  首先构造辅助函数如下:

其中p=max{p₁, p₂}, 由文献[6]可得Sobolev不等式

其中C=C(n, D)是依赖n和D的Sobolev嵌入常量. 对G(t)求导, 由散度定理和条件(16)得到

接下来分四步完成证明.

第一步, 估计(20)式右端的第二和第七项, 对第二项使用散度定理, 有下列不等式^[5]

其中: ${\rho _0} = {\min _{x \in \partial D}}\left( {x \cdot v} \right), d = {\max _{x \in \overline D }}\left| x \right|$. 现对(21)右端两项分别应用Hölder不等式, 再回代其中. 由(16), (17)式可得$0 < \frac{{{q_1}}}{{n\left( {{p_1} - 1} \right)}} < 1$, 再次运用Hölder不等式, 得到

由(21), (22)式以及Young不等式, 可分别得到

其中${\varepsilon _1} = \frac{{{b_1}{\rho _0}}}{{{b_2}nd\left( {p - 1} \right){{\left| D \right|}^{1 + \frac{{1 - {q_1}}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}{k_1}\frac{{1 - {q_1}}}{{p - 1}}\left( t \right){k_3}\left( t \right)}}$, ${\theta _1} = \frac{{{c_1}{\rho _0}}}{{{c_2}nd\left( {p - 1} \right){{\left| D \right|}^{1 + \frac{{1 - {q_2}}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}{k_2}\frac{{1 - {q_2}}}{{p - 1}}\left( t \right){k_4}\left( t \right)}}$.

第二步, 考虑(20)式右侧第四和第九项. 由散度定理, Hölder不等式及Young不等式, 得

又由(16), (17)式得$0 < \frac{{\left( {n - 2} \right)\left( {{l_1} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}} < 1$, $0 < \frac{{\left( {n - 2} \right)\left( {{l_2} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}} < 1$和$0 < \frac{{\left( {{l_1} - 1} \right)}}{{\left( {p - 1} \right)}} < 1$, $0 < \frac{{\left( {{l_2} - 1} \right)}}{{\left( {p - 1} \right)}} < 1$, 结合Hölder不等式, Sobolev不等式(19)以及不等式(a+b)^μ≤a^μ+b^μ, a≥0, b≥0, 0 < μ≤1, 进而将(25)式右侧第二项化为与Φ(t)相关的式子, 再结合(22)式推导出

类似可得

其中

第三步, 估计(20)式右侧第三项和第八项. 首先, 对第三项运用Hölder不等式和Young不等式得到

再对(28)式右端两项分别使用Hölder不等式, 而后回代入(28)式中. 对于第八项, 采取类似的估计方法, 再联立两项所得估计结果推出

现对(29)式右端第一、二项运用Hölder不等式, Sobolev不等式(19)及Young不等式, 进而得

其中

第四步, 将(23), (24), (26), (27), (30), (31)式分别回代入(20)式中, 并令

而后结合M₃的定义, 可以得到

又由Young不等式可知下述不等式成立

将(33)式分别应用于(32)式的${\Phi ^{1 + \frac{{{q_1} - 1}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{{{q_2} - 1}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\Phi ^{1 + \frac{{2\left( {{q_1} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{{2\left( {{q_2} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\Phi ^{1 + \frac{{2\left( {{l_1} + {q_1} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{{2\left( {{l_2} + {q_2} - 1} \right)}}{{n\left( {p - 1} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\Phi ^{1 + \frac{{2\left( {{l_1} + {q_1} - 1} \right)}}{{n\left( {p - {l_1}} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{{2\left( {{l_2} + {q_2} - 1} \right)}}{{n\left( {p - {l_2}} \right)}}}}\left( t \right)$, ${\Phi ^{1 + \frac{1}{n}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{1}{n}}}\left( t \right)$, ${\Phi ^{1 + \frac{2}{n}}}\left( t \right)$, ${\psi ^{1 + \frac{2}{n}}}\left( t \right)$中可得

其中:

由不等式Φ³(t)+Ψ³(t)≤(Φ(t)+Ψ(t))³, t≥ 0及M₁, M₂, M₃的定义, 我们有

现对(35)式由0到t积分, 通过极限t趋于t^*即得

定理2证明完毕.