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近年来，Navier-Stokes方程的相关研究已经引起了广泛的关注[1-2].文献[3]考虑了不可压缩粘性流体在高Reynolds数下的运动方程(不可压缩Navier-Stokes方程)：
其中流体域Ωt={x∈
$\mathbb{R} $ 3，x3 < h(t，x1，x2)}.文中通过一个微分型同胚映射Φ(t，·)将运动域上的问题简化到固定域S上，其中
这里产生的η函数是h的延拓，即
$\hat{\eta }(\xi, z)=\chi (z\xi)+\hat{h}(\xi)$ ，其中$\hat{\centerdot }$ 表示关于变量y的Fourier变换，χ是一个光滑的紧支集函数，使得在B(0，1)上χ=1.另外常数A>0，这使得∂zφ>0.文献[4-9]都研究了这个η函数.文献[3]中多次对φ进行求导，因此不可避免地必须对η函数进行求导，而η函数的求导过程较为繁琐，并且文献[3]并没有给出具体的计算过程，但是必须有η函数的求导结果才有后续的证明结果.因此本文专门讨论了η函数的一阶偏导和二阶偏导.
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设
$F(t)=\int_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{t}^{2}}}{f}(x, y)\text{d}x\text{d}y$ ，首先计算F′(t)，F″(t).为此作变换$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ \end{array}, 0\le r\le |t|, 0\le \theta \le2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right.$ ，则有一般地，我们定义
$G(r)=\int_{0}^{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{f}(r\cos \theta, r\sin \theta)r\text{d}\theta $ .1) 当t>0时，r≤t，则
$F(t)=\int_{0}^{t}{G}(r)\text{d}r$ ，所以2) 类似地，当t < 0时，r≤-t，则
$F(t)=\int_{0}^{-t}{G}(r)\text{d}r$ ，所以3) 因为当t=0时，F(0)=0，所以当t→0+时，
类似地，当t→0_时，易得F′_(0)=0.
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下面引入Fourier变换和Fourier逆变换的定义：
其中：y=(y1，y2)，ξ=(ξ1，ξ2).这里
$\hat{\centerdot }$ 表示关于变量y的Fourier变换，R表示圆域的半径，χ是一个光滑的紧支集函数，使得在B(0，1)上χ=1.下面讨论Ψ(t，y，z).由于1≤|zξ|≤R，所以1≤z2ξ12+z2ξ22≤R2，则
$\frac{1}{{{z}^{2}}}\le \xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}\le \frac{{{R}^{2}}}{{{z}^{2}}}$ .因此作变换$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\xi }_{1}}=r\cos \theta \\ {{\xi }_{2}}=r\sin \theta \\ \end{array}, \frac{1}{|z|}\le r\le \frac{R}{|z|}, 0\le \theta \le 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right.$ .为了方便记：则有
其中
$f(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z, r)=\int_{0}^{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\chi }(zr\cos \theta, zr\sin \theta)\hat{h}(t, r\cos \theta, r\sin \theta){{\text{e}}^{2\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }r\left({{y}_{1}}\cos \theta +{{y}_{2}}\sin \theta \right)}}r\text{d}\theta $ .命题1 当z>0时，
证 当z>0时，
$\frac{1}{z}\le r\le \frac{R}{z}$ ，则$\mathit{\Psi} (t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\int_{\frac{1}{z}}^{\frac{R}{z}}{f}(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z, r)\text{d}r$ .所以，由文献[10]的Newton-Leibniz公式可得：进一步求导得：
由此容易得到(8)式.同理可得方程(9)和(10).下面计算Ψzz″(t，y，z)，
由此容易得到(11)式.
下面讨论当z < 0时的情形，为了方便记：
命题2 当z < 0时，
证 当z < 0时，
$-\frac{1}{z}\le r\le -\frac{R}{z}$ ，则$\mathit{\Psi} (t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\int_{-\frac{1}{z}}^{-\frac{R}{z}}{f}(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z, r)\text{d}r$ .所以易得进一步，采用命题1的方法进行计算，很容易得到方程(13)-(16).
其次，讨论Φ(t，y，z).由于|zξ|≤1，所以z2ξ12+z2ξ22≤1，则
$\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}\le \frac{1}{{{z}^{2}}}=\frac{1}{|z{{|}^{2}}}$ .因此作变换$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\xi }_{1}}=r\cos \theta \\ {{\xi }_{2}}=r\sin \theta \\ \end{array}, 0\le r\le \frac{1}{|z|}, 0\le \theta \le 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right.$ ，则有其中
$G(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, r)=\int_{0}^{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{{\hat{h}}}(t, r\cos \theta, r\sin \theta){{\text{e}}^{2\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\ r\left({{y}_{1}}\cos \theta +{{y}_{2}}\sin \theta \right)}}r\text{d}\theta $ .当z→0时，$\mathit{\Phi} (t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\int_{{{\mathbb{R}}^{2}}}{{\hat{h}}}(t, {\mathit{\boldsymbol{ }}}\!\!\xi\!\!\text{ }){{\text{e}}^{2\text{i }\pi \text{ }\mathbf{y}\times \text{ }\xi \text{ }}}\text{d}\xi \text{ }$ ，容易计算各阶偏导数.下面分别讨论z>0和z < 0的情形.为了方便，记$\hat{h}(t, z\cos \theta, z\sin \theta):=\hat{h}, \ {{\text{e}}^{2\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\ z\left({{y}_{1}}\cos \theta +{{y}_{2}}\sin \theta \right)}}:={\tilde{\rm e}}$ .命题3 1)当z < 0时，
2) 当z < 0时，
证 当z>0时，
$\mathit{\Phi} (t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\int_{0}^{\frac{1}{z}}{G}(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, r)\text{d}r$ ，则$\mathit{\Phi} _{z}^{\prime }(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=-\frac{1}{{{z}^{2}}}G(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)$ .又因为所以
$\Phi _{z}^{\prime }(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=-\frac{1}{z}\int_{0}^{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{{\hat{h}}}{\tilde{\rm e}d}\theta $ .进一步求导可得方程(19)-(22).当z < 0时，
$\mathit{\Phi} (t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\int_{0}^{-\frac{1}{z}}{G}(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, r)\text{d}r$ ，则$\mathit{\Phi} _{z}^{\prime }(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)=\frac{1}{{{z}^{2}}}G(t, {\mathit{\boldsymbol{y}}}, z)$ .同理可得方程(23)-(26).
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