为了得到系统(1)的任意快速能稳性，我们需要选取一个恰当的变换，将系统(1)转化为L² Mittag-Leffler稳定的目标系统，从而得到控制律，这样，闭环系统的稳定性就可以通过该变换及其逆变换建立起来.为此考虑如下变换

其中k(x，y)，r(x，y)为待定的核函数.

选取目标系统

其中c>0为任意的常数.

设系统(1)在变换(2)下变为目标系统(3)，对变换(2)两边同时对t求α阶导数，再对x求二阶偏导数化简并结合(3)式可得

其中

从而选取核函数满足

方程组(4)的求解困难主要原因在于该方程组是定义在三角区域上带积分的非常规耦合方程组.当c=0时，方程组(4)可通过k(x，y)=f(x+y)+g(x-y)表示出来，而后再对r(x，y)采用分离变量法证明其解的存在唯一性^[6].而当c≠0时，此求解过程不再有效.为此，引入如下过渡系统

来降低核方程的求解难度，接下来我们通过两步将原系统(1)转化到目标系统(3).

1) 用如下变换将系统(1)转化为系统(5).

通过类似的计算得到相应核函数满足

由文献[6]可知方程(7)解为

其中

从而控制

2) 将过渡系统(5)转化为目标系统(3)，为此引入另一个变换

可以得到核函数l(x，y)满足

从而

其中I₁(·)是修正的Bessel函数.再根据w(1，t)=0得到控制为

故

为了证明闭环系统(1)在控制(10)下是稳定的，需要证明目标系统(3)是稳定的，而且变换(6)和(8)是可逆的.设变换(8)的逆变换形式为

其中h(x，y)为待定核函数，并且该变换将目标系统转换到过渡系统.类似l(x，y)求解的思路和方法可得

其中J₁(·)是修正的Bessel函数.设变换(6)的逆变换形式为

其中λ(x，y)，q(x，y)为待定的核函数，该变换将过渡系统(5)变为原系统(1)，由文献[6]可知核函数的解为

在证明闭环系统稳定性之前，我们先引入下面的引理.

引理^[9]  设x(·)是[0，∞)→ $\mathbb{R}$上的连续函数，则对任意t>0，有

定理1  对任意c>0，u₀∈L²(0，1)，闭环系统(1)在控制(10)下是任意L² Mittag-Leffler稳定的.即存在M>0，使得

其中

E_α(t)是单参数Mittag-Leffler函数，它是指数函数的自然推广.

证  易知，变换(6)和(8)定义了一个从L²(0，1) L²(0，1)的有界线性算子，即

又因为h(x，y)，λ(x，y)，q(x，y)都是[0, 1]上的有界函数，所以K^-1，K₁^-1也是L²(0，1) L²(0，1)上的有界线性算子，故存在m>0使得

对目标系统(3)，考虑Lyapunov函数

对(14)式关于时间t求α阶导数，结合(12)式有

再结合Poincaré不等式，可得

其中c₁是Poincaré常数.记

则M(t)是[0，∞)上的非负函数.对(15)式两边作Laplace变换，有

其中：$W\left( 0 \right)=\frac{1}{2}\int{_{0}^{1}w_{0}^{2}\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{2}\left\| {{w}_{0}}\left( \cdot \right) \right\|_{{{L}^{2}}\left( 0, 1 \right)}^{2}};\hat{M}\left( s \right), \hat{W}\left( s \right)$分别表示其对应的Laplace变换.因而

再对(16)式作逆Laplace变换^[10]得到(15)式的解为

其中*表示卷积，即

由此可得

故

再结合(13)式，并记M：=m²，有

从而闭环系统(1)在控制(10)下是任意L² Mittag-Leffler稳定的.