本文所讨论的群均为有限群. π_e(G)表示群G中元素阶的集合，k是π_e(G)中的最大值，n为G中k阶循环子群的个数. 对一个自然数t，π(t)表示t的素因子集合，特别地，π(G)=π(|G|). M_t(G)是G的t阶元素的集合，特别地，M(G)=M_k(G). 设p是素数，pⁿ‖|G|表示pⁿ||G|，但pⁿ⁺¹|G|. φ(x)为x的欧拉函数. 文中其他未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1]).

众所周知，群的数量刻画是群论研究中十分重要的课题. 文献[2]讨论了与最高阶元素有关的几个数量条件对Conway单群和Fischer单群的结构的影响. 文献[3]用群的阶与群的不可约特征标维数刻画了单群A₈和L₃(4). 文献[4]用不可补子群的个数刻画了单群A₅. 文献[5]用交换子群的个数刻画了单群A₅和S₅. 本文的研究与下面的Thompson猜想有关：

Thompson猜想  设G₁与G₂为同阶型群. 如果G₁可解，则G₂可解.

目前该猜想依然没有被证明. 因此，许多研究者考虑在减弱猜想条件的基础上继续研究. 文献[6]证明了最高阶元的个数分别为2p(p为素数)、奇数、不大于4或为φ(k)时，G可解. 文献[7]证明了|M(G)|=4p时，G要么可解，要么同构于S₅. 文献[8]证明了|M(G)|=10p时，G可解. 文献[9]证明了|M(G)|=18p时，G可解. 文献[10]证明了|M(G)|=30时，G可解. 以上结果显然有助于Thompson猜想的解决. 本文继续了这一问题的研究，得到：

定理1  设G是有限群，若|M(G)|=6p²q，其中p，q为素数，且q>p>13，则群G可解.

引理1  设|M(G)|=6p²q，则n，φ(k)和k的关系如表 1所示.

定理1的证明

由表 1，将定理1的证明分为以下7种情形讨论：

情形1  如果n=1，则φ(k)=6p²q. 由文献[6]的定理1.1可知G超可解.

情形2  如果n=3，则φ(k)=2p²q. 由表 1知k=r，2r，其中r=2p²q+1为素数，或k=q²，且q=2p²+1为素数. 令a是k阶元，且A=〈a〉，则

假设G不可解，由文献[11]的引理2.7可知k=2r. 令|C_G(A)|=2^α·3^β，α，β为非负整数. 显然C_G(A)可解. 事实上N_G(A)/C_G(A)≤Aut(A)，即|N_G(A)/C_G(A)||φ(k)，因此N_G(A)/C_G(A)可解，从而N_G(A)可解. 考虑G在N_G(A)上的陪集置换表示η，则G/Kerη＜~S₃. 因为Kerη≤N_G(A)可解，则G可解，矛盾.

情形3  如果n=p，则φ(k)=6pq. 由表 1知k=r，2r，其中r=6pq+1为素数或k=q²，且q=6p+1为素数. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=2r. 和情形2同样的讨论知N_G(A)可解. 由文献[11]的引理2.9有i≥2，所以存在i，使得pn_i. 因此由(1)式知G是{2，3，q，r}-群. 令|C_G(A)|=2^α·3^β，α，β为非负整数. 从而C_G(A)没有2²和r²阶元. 如果β≥2，则C_G(A)至少有r²-1个2r阶元，由于q>p，有

矛盾. 因此β=1. 令R是C_G(A)的Sylow r-子群，如果R$\ntriangleleft $C_G(A)，则C_G(A)至少有r+1个Sylow r-子群，所以C_G(A)至少有(r+1)(r-1)=r²-1个2r阶元，矛盾. 所以R$\trianglelefteq $C_G(A). 因此RcharC_G(A)$\trianglelefteq $N_G(A)，则N_G(A)≤N_G(R). 因为

由Sylow定理可知|G∶N_G(A)|=1，所以R$\trianglelefteq $G. 因此G/R是{2，3，q}-群. 因为q>p>13，由文献[12]知G/R可解，从而G可解，矛盾.

情形4  如果n=3p，则φ(k)=2pq. 由表 1知k=r，2r，其中r=2pq+1为素数或k=q²，且q=2p+1为素数. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=2r. 和情形2同样的讨论知N_G(A)可解，且π(G)⊆{2，3，p，q，r}. 由文献[11]的引理2.9有i≥2. 如果3 (n₁，n₂，…，n_s)，则存在i使得3 n_i. 由于

所以G是{2，p，q，r}-群. 但p，q是素数且q>p>13，由文献[13]的定理1知G可解，矛盾. 如果3|(n₁，n₂，…，n_s)，因n₁+n₂+…+n_s=3p，则3‖(n₁，n₂，…，n_s). 令n_i=2^α_i·3^β_i·p^γ_i·q^θ_i·r^λ_i，其中α_i，β_i，γ_i，θ_i，λ_i为非负整数. 由于

则存在i使得β_i=1，γ_i=θ_i=λ_i=0. 从而G是{2，3，q，r}-群，且3‖|G|. 因为G不可解，且q>p>13，可知不存在G的单截断同构于K₃-单群，故存在G的某截断W同构于文献[13]中定理2的K₄-单群之一. 通过简单的计算可知这是不可能的，矛盾.

同理可证，n∈{q，3q，p²，3p²，pq，3pq}时，G可解.

情形5  如果n=p²q，则φ(k)=6. 由表 1知k=7，9，14，18. 假设G不可解，由文献[11]的引理2.7知k=14，18. 若k=14，由于n₁+n₂+…+n_s=p²q，则存在i使得3 n_i，所以3² |G|. 因为p，q为素数，且q>p>13，从而G是{2，3，7}-群. 由文献[11]的引理2.7知G$\cong $E×L₂(7)，E为初等交换2-群，故G有(2^a-1)×48个14阶元. 显然(2^a-1)×48≠6p²q，矛盾. 若k=18，则G为{2，3，p}-群或{2，3，q}-群. 因为G不可解，且q>p>13，由文献[12]知G是{2，3，p}-群且p=7. 此时G有一截断W同构于L₂(17)，从而8∈π_e(L₂(17))，矛盾.

情形6  如果n=3p²q，则φ(k)=2. 由表 1知k=3，4，6. 令a为k阶元，则C_G(〈a〉)为2-群或{2，3}-群. 因为

k≤6且q>p>13，所以G是2-群或{2，3}-群. 因此G可解.

情形7  如果n=6p²q，则φ(k)=1. 此时G是初等交换2-群，|M(G)|=2^m-1为奇数，其中m为某正整数，矛盾.

由情形1至情形7的证明可知定理1的结论成立.