有限群的<i>δ</i>-置换子群

高建玲; 毛月梅

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2021.10.014

摘要: 假定δ是有限群G的Sylow子群的完全集，即对每个|G|的素因子p，集合δ仅包含G的一个Sylow p-子群. 若群G的子群H置换δ中的所有元素，则称子群H在G中δ-置换. 利用准素数子群的δ-置换性研究了有限群的结构，得到了超可解群的若干新的判别准则.

关键词:

Abstract: Let δ be a complete set of Sylow subgroups of a finite group G. Then, δ contains exactly one Sylow p-subgroup of G for each prime p dividing the order of G. A subgroup H of G is said to be δ-permutable if H permutes with each member of δ. The structures of finite groups with δ-permutability of primary subgroups are investigated and some new determination criteria of supersolvable groups are obtained.

Key words:

开放科学（资源服务）标志码（OSID）：

本文所考虑的群皆为有限群. 用G表示群，p表示素数，π(G)表示|G|的所有素因子组成的集合，|G|_p表示G的Sylow p-子群的阶. 对群系 $\mathscr{F}$ ，用 $Z_\mathscr{F}$ (G)表示G的所有 $\mathscr{F}$ -超中心正规子群的积. 用 $\mathscr{U}$ 表示全体超可解群组成的群系. 所有未说明的符号与术语都是标准的，可参看文献[1-2].

有限群结构的确定是有限群研究的根本问题，这方面的研究已有许多结果，如文献[3-10]. 运用置换子群的性质是研究有限群结构的一个重要手段. 因此，置换子群的概念被很多学者多次推广. 其中，文献[6]引入了子群的δ-置换性：令集合δ是G的Sylow子群的完全集，即对每个p∈π(G)，集合δ仅包含G的一个Sylow p-子群，若群G的子群H置换δ中的所有元素，则称子群H在G中δ-置换. 并证明了：若 $\mathscr{F}$ 为包含全体超可解群 $\mathscr{U}$ 的饱和群系，下列两条等价：

1) G∈ $\mathscr{F}$ ；

2) 存在H $\trianglelefteq$ G使得G/H∈ $\mathscr{F}$ ，且对所有G_p∈ $\mathscr{F}$ ，有G_p∩H的极大子群在G中δ-置换.

文献[7]得出：若G_p的极大子群在G中δ-置换，其中G_p∈δ，p∈π(G)且p最小，那么G为p-幂零群. 文献[8]得出：设p∈π(G)，P∈Syl_p(G)且H为G的p^′-Hall子群，使得G=P·H，令集合δ是H的Sylow子群的完全集，如果G满足下列两条：

1) N_G(P)/C_G(P)是p-群；

2) P的所有极大子群在H中δ-置换.

那么G为p-幂零群.

文献[9]从G_p以及G_p∩F^*(G)的所有子群的δ-置换性两方面刻画了有限群的结构. 另外，文献[10]针对次正规δ-置换子群的嵌入性进行了研究，并针对δ-置换性对有限群结构的影响进行了研究. 本文将从子群的阶以及非Frattini p-主因子两方面讨论准素数子群的δ-置换性，进一步刻画有限群的结构，得到超可解群的新判别准则，并将以上结论推广.

1. 记号及引理

假定集合δ是G的Sylow子群的完全集，若N $\trianglelefteq$ G，我们记

$\delta N=\left\{G_{p} N: G_{p} \in \delta\right\} \quad \delta N / N=\left\{G_{p} N / N: G_{p} \in \delta\right\} \quad \delta \cap N=\left\{G_{p} \cap N: G_{p} \in \delta\right\}$

定义1^[6] 假定H≤G，集合δ是G的Sylow子群的完全集，若H置换δ中的所有元素，则称H在G中δ-置换.

引理1^[6] 假定集合δ是G的Sylow子群的完全集，U是G的δ-置换子群，N $\trianglelefteq$ G，总有

(ⅰ) δ∩N及δN/N分别是N及G/N的Sylow子群的完全集；

(ⅱ) UN/N在G/N中δN/N-置换；

(ⅲ) 若U≤N，则U在N中δ∩N-置换.

引理2^[11] 假定 $\mathscr{F}$ 是一个非空群系，H≤G且N $\trianglelefteq$ G，则 $Z_\mathscr{F}$ (G)N/N≤ $Z_\mathscr{F}$ (G/N).

假设P是一个p-群. 若P不是非交换2-群，记Ω(P)= ${{\mho }_{1}}$ (P)，否则记Ω(P)= ${{\mho }_{2}}$ (P).

引理3^[12] 假定 $\mathscr{F}$ 是一个可解饱和群系，P是G的正规p-子群，且C是P的Thompson临界子群^[13]，若P/Φ(P)≤ $Z_\mathscr{F}$ (G/Φ(P))或Ω(C)≤ $Z_\mathscr{F}$ (G)，则P≤ $Z_\mathscr{F}$ (G).

引理4^[12] 假设C是非平凡p-子群P的Thompson临界子群，则

(ⅰ) 若p是奇素数，则 ${{\mho }_{1}}$ (C)的方次数是p；

(ⅱ) 若P是交换2-群，则 ${{\mho }_{1}}$ (C)的方次数是2；

(ⅲ) 若p=2，则 ${{\mho }_{2}}$ (C)的方次数至多是4.

引理5^[14] 若群G的广义Fitting子群F^*(G)是可解的，则F^*(G)=F(G).

引理6^[15] 假定 $\mathscr{F}$ 是任一群系，E $\trianglelefteq$ G，若F^*(E)≤ $Z_\mathscr{F}$ (G)，则E≤ $Z_\mathscr{F}$ (G).

引理7^[16] 假定 $\mathscr{F}$ 是包含全体超可解群 $\mathscr{U}$ 的饱和群系，E $\trianglelefteq$ G且G/E∈ $\mathscr{F}$ ，若E≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，则G∈ $\mathscr{F}$ .

2. 主要结果

定理1 设P是G的正规p-子群，集合δ是G的Sylow子群的完全集. 假定P有一个子群D，满足1＜|D|＜|P|，且P的每个阶是|D|的子群H在G中δ-置换. 进一步，当P是非交换2-群且|P∶D|＞2时，假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换，则P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G).

证假设结论不成立，令(G，P)是使得|G|+|P|为最小的反例. 假定N是G的极小正规子群且包含于P. 按以下步骤导出矛盾：

步骤1 若|N|＜|D|，则N是G的包含于P的唯一的极小正规子群，满足P/N≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/N)并且|N|＞p.

设H/N是P/N的子群，满足|H/N|=|D|/|N|或|H/N|=2|D|/|N|(若P/N是非交换2-群，|P/N∶D/N|＞2且exp(H/N)＞2)，则H是P的子群，满足|H|=|D|或|H|=2|D|(若P是非交换2-群，|P∶D|＞2且exp(H)＞2). 由假设知，H在G中δ-置换. 因此由引理1知H/N在G/N中δN/N-置换. 由G的选取可知P/N≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/N). 若|N|=p，则P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以|N|＞p. 假定R是G的包含于P且不同于N的极小正规子群. 因为NR/N≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/N)，又因NR/N是G/N的极小正规子群，故|R|=|NR/N|=p，这可推得|R|≤|N|＜|D|. 类似前面的讨论有P/R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/R)，因此有P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以N是G的包含于P的唯一的极小正规子群.

步骤2 |N|=|D|.

如果|N|＞|D|，假定N₁是N的子群，满足|N₁|=|D|，N₁在G的某个Sylow p-子群G_p中正规，不失一般性可设G_p∈δ. 由假设知N₁在G中δ-置换，即对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Syl_q(G)且Q∈δ，有N₁Q=QN₁. 因为N₁=N∩N₁Q $\trianglelefteq$ N₁Q，故Q≤N_G(N₁)，显然G_p≤N_G(N₁). 假定q₁，q₂，…，q_t是π(G)的所有与p不同的元素，Q_i∈Syl_{q_i}(G)且Q_i∈δ，则

$N_{1} \unlhd\left\langle G_{p}, Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t}\right\rangle=G$

再由N的极小性易知N₁=1或N₁=N，而1＜|D|＜|N|，矛盾.

以下假设|N|＜|D|. 由步骤1知P/N≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/N). 若N≤Φ(P)，则由引理2有

$P/\mathit{\Phi }(P)\le {{Z}_{\mathscr{U}}}(G/\mathit{\Phi }(P))$

再由引理3知P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 故N $\nleqslant$ Φ(P). 由步骤1可知Φ(P)=1. 假设U是N在P中的补，N₁是N的极大子群，满足：N₁在G的某个Sylow p-子群G_p中正规. 不失一般性，可设G_p∈δ. 因为

$|D| \lt |P|=p|U|\left|N_{1}\right|$

故|U|≥|D|/|N₁|. 不妨取U的阶是|D|/|N₁|的子群V. 令T=N₁V，则|T|=|N₁V|=|D|，由假设知T在G中δ-置换，因此对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Syl_q(G)且Q∈δ，有TQ=QT. 因为

$N_{1}=N \cap T=N \cap T Q \unlhd T Q$

故Q≤N_G(N₁)，显然G_p≤N_G(N₁). 假定q₁，q₂，…，q_t是π(G)的所有与p不同的元素，Q_i∈Syl_{q_i}(G)且Q_i∈δ，则

$N_{1} \unlhd\left\langle G_{p}, Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t}\right\rangle=G$

从而|N|=p，与步骤1的结果矛盾. 因此|N|=|D|.

步骤3 |D|=p.

令G_p是G的Sylow p-子群且G_p∈δ，N/M是G_p的主因子，则|N/M|=p. 假设L/N是包含于P/N的G_p/N的p阶正规子群，则|L/M|=p². 首先考虑L/M是初等交换p-群，假设L/M=N/M×T/M，其中|N/M|=|T/M|=p，则|T|=|N|=|D|. 由假设知T在G中δ-置换，显然M=T∩N. 类似于步骤2的讨论有M $\trianglelefteq$ G，所以|N|=p. 以下假设L/M是p²阶循环群，则存在元素a∈L\M且L=M〈a〉. 可推得N=M(N∩〈a〉). 易知a∉N且|N∩〈a〉|=p，所以M∩〈a〉=1，从而|〈a〉|=p². 记 ${{\mho }_{1}}$ (L)=〈l^p：l∈L〉，显然 ${{\mho }_{1}}$ (L)≤Φ(L)＜N. 取N₁是N的极大子群，满足 ${{\mho }_{1}}$ (L)≤N₁且N₁ $\trianglelefteq$ G_p. 又因M∩〈a〉=1，故N₁≠M，所以〈a^p〉≤N₁且|N₁〈a〉|=|N|=|D|. 由假设知N₁〈a〉在G中δ-置换. 因为N₁=N∩N₁〈a〉，类似于步骤2的证明，可得N₁ $\trianglelefteq$ G，从而|N|=p.

步骤4 最后矛盾.

当P是非交换2-群时，由步骤3及定理假设知P的所有素数阶或者4阶循环子群在G中δ-置换. 首先证明G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)并且|P/R|＞p.

令P/R是G的主因子. 显然，(G，R)满足定理假设. 再由(G，P)的选择有R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G). 若|P/R|=p，则P/R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G/R)，因此P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 故|P/R|＞p. 假设P/L是G的主因子，且满足P/R≠P/L. 类似前面的讨论有L≤ $Z_\mathscr{U}$ (G). 由引理2有

$P / R=R L / R \leqslant R Z_{\mathscr{U}}(G) / R \leqslant Z_{\mathscr{U}}(G / R)$

在此情况下，可得出与上面相同的矛盾. 因此G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)并且|P/R|＞p.

假定C是P的一个Thompson临界子群. 若Ω(C)＜P，则Ω(C)≤R≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，由引理3有P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以P=C=Ω(C)，再由引理4知，当P是非交换2-群时，P的方次数是p或者4.

因P/R∩Z(G_p/R)＞1，取

$L / R \leqslant P / R \cap Z\left(G_{p} / R\right) \quad|L / R|=p$

其中G_p是G的Sylow p-子群，且G_p∈δ. 记x∈L\R，H=〈x〉，则L=HR且|H|=p，4. 由假设知H在G中δ-置换，再由引理1有HR/R=L/R在G/R中δR/R-置换，即对任一q∈π(G/R)且p≠q，取Q/R∈Syl_q(G/R)且Q/R∈δR/R，有L/R·Q/R=Q/R·L/R. 类似于步骤2的讨论有L/R $\trianglelefteq$ G/R. 从而|L/R|=|P/R|=p.

定理2 设 $\mathscr{F}$ 是包含所有超可解群的可解饱和群系，集合δ是G的Sylow子群的完全集，E $\trianglelefteq$ G满足G/E∈ $\mathscr{F}$ ，并且F^*(E)是可解的. 若对F^*(E)的所有非循环的Sylow p-子群P，假定P有一个子群D满足1＜|D|＜|P|，且P的每个阶是|D|的子群H在G中的δ-置换. 进一步，当P是非交换2-群且|P∶D|＞2时，假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换，则G∈ $\mathscr{F}$ .

证因F^*(E)可解，由引理5有F^*(E)=F(E). 设P是F(E)的Sylow p-子群，其中p∈π(F(E)). 显然P $\trianglelefteq$ G. 若P非循环，则P满足定理1的假设，因此P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G). 若P循环，假设L/K是G的任意包含于P的主因子，则|L/K|=p，故L/K在G中是 $\mathscr{F}$ -中心的，因此P≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，从而F^*(E)≤ $Z_\mathscr{U}$ (G). 由引理6有E≤ $Z_\mathscr{U}$ (G)，再由引理7有G∈ $\mathscr{F}$ .

定理3 假设G是p-可解群，集合δ是G的Sylow子群的完全集，P∈Syl_p(G)且P∈δ. 若对G的任一非Frattini p-主因子H/K，都存在P的一个极大子群P₁，使得P₁在G中δ-置换，且H/K $\nleqslant$ P₁K/K，则G是p-超可解群.

证假设结论不成立，令G为极小阶反例.

假设N是G的极小正规子群. 下证G/N满足定理条件. 设(H/N)/(K/N)是G/N的非Frattini p-主因子，则

$H/K\cong (H/N)/(K/N)\nleqslant \mathit{\Phi }((G/N)/(K/N))\cong \mathit{\Phi }(G/K)$

且H/K是G的p-主因子. 由假设知，存在P的一个极大子群P₁在G中δ-置换且H/K $\nleqslant$ P₁K/K. 若N是p^′-子群，则P₁N/N是PN/N的极大子群. 若N是p-子群且N $\nleqslant$ P₁，则P=NP₁. 因为G的每个Sylow p-子群覆盖G的所有p-主因子，故H≤PK=P₁K，与H/K $\nleqslant$ P₁K/K矛盾. 所以N≤P₁，因此P₁/N是P/N的极大子群. 由引理1可知，P₁N/N在G/N中δN/N-置换. 显然有

$(H/N)/(K/N)\nleqslant \left( {{P}_{1}}N/N \right)/(K/N)$

由G的极小性可知，G/N是p-超可解群. 若N≤O_p′(G)，则G是p-超可解群，矛盾. 故N是交换p-子群. 易知N是G的非Frattini p-主因子，由假设得，存在P的一个极大子群P₂在G中δ-置换且N $\nleqslant$ P₂. 所以P=NP₂. 由假设知，对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Syl_q(G)且Q∈δ，有P₂Q=QP₂. 又因

$N \cap P_{2} Q=N \cap P_{2} \unlhd P_{2} Q$

故Q≤N_G(N∩P₂)，显然P≤N_G(N∩P₂). 假设q₁，q₂，…，q_t是π(G)的所有与p不同的元素，Q_i∈Syl_{q_i}(G)且Q_i∈δ，可得

$N \cap P_{2} \unlhd\left\langle P, Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{t}\right\rangle=G$

因此N∩P₂=1或N≤P₂，这两种情形都不可能.

因此，结论成立.

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有限群的δ-置换子群

山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009

作者简介:
高建玲，硕士，讲师，主要从事群论的研究 .

通讯作者: 毛月梅，博士，副教授

On δ-Permutable Subgroups of Finite Groups

School of Mathematics and Statistics, Shanxi Datong University, Datong Shanxi 037009, China

1. 记号及引理

2. 主要结果

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有限群的δ-置换子群

通讯作者: 毛月梅，博士，副教授

作者简介: 高建玲，硕士，讲师，主要从事群论的研究
山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009

English Abstract

On δ-Permutable Subgroups of Finite Groups

Corresponding author: MAO Yuemei

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通讯作者: 毛月梅，博士，副教授

作者简介: 高建玲，硕士，讲师，主要从事群论的研究 山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009

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On δ-Permutable Subgroups of Finite Groups

Corresponding author: MAO Yuemei

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山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009

作者简介:
高建玲，硕士，讲师，主要从事群论的研究 .

作者简介: 高建玲，硕士，讲师，主要从事群论的研究
山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009