广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子作为一类具有高奇性的平方和退化椭圆算子^[10]，被越来越多的学者所关注，并得到了许多重要的成果^[11]. 其构成向量场(见下文)X_j，Y_j(j=1，2，…，n)在k＞1时不满足Hörmander有限秩条件，从而它的亚椭圆性无法由此导出，增加了研究的难度^[12-13]. 以下给出广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子的基本知识.

广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子形为

其中：$\nabla_{L}=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, \cdots, Y_{n}\right), \operatorname{div}_{L}\left(u_{1}, \cdots, u_{2 n}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(X_{j} u_{j}+Y_{j} u_{n+j}\right), p>1$，这里$X_{j}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}+2 k y_{j}|z|^{2 k-2} \frac{\partial}{\partial t}, Y_{j}=\frac{\partial}{\partial y_{j}}-2 k x_{j}|z|^{2 k-2} \frac{\partial}{\partial t}, z_{j}=x_{j}+\sqrt{-1} y_{j} \in \mathbb{C}$，j=1，2，…，n，t∈$\mathbb{R}$，k≥1. 注意到，当p=2，k=1时，$\mathscr{L}$p就成为Heisenberg群$\mathbb{H}$n上的Kohn Laplacian算子Δ$\mathbb{H}$n[14]. 当p=2，k=2，3，…时，$\mathscr{L}$p就成为Greiner算子[15]

设ξ=(z，t)=(x，y，t)∈$\mathbb{R}$²ⁿ⁺¹，相应于(2)式中$\mathscr{L}$_p的一个自然伸缩为

与伸缩(3)式相应的齐次维数是对应的齐次维数Q=2n+2k. 由(3)式诱导的一个拟距离为

通过(4)式直接计算知道

本文在证明最佳常数时，用到了文献[16]中关于广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子的极坐标变换(x，y，t)(ρ，θ，θ₁，…，θ_2n-1). 若u(ξ)=ψ_pv(d(ξ))，则

其中$s_{n, k}=\omega_{n} \int_{0}^{\pi}(\sin \theta)^{\frac{Q-2}{2 k}} \mathrm{~d} \theta$，ω_n是在$\mathbb{R}$²ⁿ中单位Euclidean球的2n-Lebesgue测度.

另外，定义中心在{0}⊂$\mathbb{R}$²ⁿ⁺¹，半径为R的拟开球为B_R(ξ)={ξ∈$\mathbb{R}$²ⁿ⁺¹|d(ξ)＜R}.

令Ω⊂$\mathbb{R}$²ⁿ⁺¹，Ω是开子集，C₀^k(Ω)表示C^k(Ω)中具有紧支集的函数构成的集合，D₀^1，p(Ω)(1＜p＜∞)是C₀^∞(Ω)在范数

下的完备化.

为证明(23)式中常数的最佳性，在这部分给出两个重要引理. 首先定义测试函数及相关函数.

对于一个任意小的δ＞0，定义测试函数φ(ξ)∈C₀^∞(Ω)满足0≤φ≤1，$\left|\nabla_{L} \varphi\right|<2 \frac{\left|\nabla_{L} d\right|}{d}$且

对于一个任意小的ε＞0，定义下列函数

其中$\eta(s)=-\frac{1}{\ln s}, s \in(0, 1)$. 容易知道当$\sup\limits_{\xi \in \varOmega} d(\xi)<R, \xi \in \varOmega$时，就会存在常数M＞0，使得

引理1  对于ε＞0，以下式子成立：

(ⅰ) cε^-1-γ≤J_γ(ε)≤Cε^-1-γ，γ＞-1；

(ⅱ) $J_{\gamma}(\varepsilon)=\frac{p \varepsilon}{\gamma+1} J_{\gamma+1}(\varepsilon)+O_{\varepsilon}(1), \gamma>-1$；

(ⅲ) J_γ(ε)=O_ε(1)，γ＜-1.

证  设$\rho=R \tau^{\frac{1}{\varepsilon}}$，有$\mathrm{d} \rho=\frac{1}{\varepsilon} R \tau^{\frac{1}{\varepsilon}-1} \mathrm{~d} \tau, \eta^{-\gamma}\left(\tau^{\frac{1}{\varepsilon}}\right)=\varepsilon^{-\gamma} \eta^{-\gamma}(\tau)$，由(6)式得

容易知道

通过(10)式可以知道(9)式中

是有限的，这样(ⅰ)右边不等式得到证明. 利用(5)式，由(7)式知道在$B_{\frac{\delta}{2}}(\xi)$上，φ=1，从而

同样在(11)式中，利用(10)式证得(ⅰ)左边不等式成立.

容易知道

设Ω_η={ξ∈Ω|d(ξ)＞η，η＞0}，有

再利用(12)式，得到

又由于

其中通过(6)式与(7)式知道

根据(ⅰ)得到

从而

因此，结合(13)式和(14)式有

这样(ⅱ)得到证明.

利用极坐标变换(6)式，有

当γ＜-1时，通过(10)式可以知道(15)式是有限的，从而在(15)式两边取ε→0，证得(ⅲ)成立.

引理2  对于ε→0，以下式子成立

(ⅰ) $I\left(V_{\varepsilon}\right) \leqslant \frac{\theta(p-1)}{2}|A|{ }^{p-2} J_{p \theta-2}(\varepsilon)+O_{\varepsilon}(1)$；

(ⅱ) $\int_{B_{\delta}(\xi)} \frac{\left|\nabla_{L} d\right|^{\beta-p}}{d^{\alpha-p}}\left|\nabla_{L} V_{\varepsilon}\right|^{p} \mathrm{~d} \xi \leqslant|A|^{p} J_{p \theta}(\varepsilon)+O_{\varepsilon}\left(\varepsilon^{1-p \theta}\right)$.

证  已知$\nabla_{L} V_{\varepsilon}(\xi)=\varphi(\xi) \nabla_{L} \omega_{\varepsilon}+\omega_{\varepsilon} \nabla_{L} \varphi$. 及

利用(16)式，有

利用

得到

由于$\left|A-\left(\varepsilon-\theta \eta\left(\frac{d}{R}\right)\right)\right|$是有界的，通过(8)式得到

利用引理1的(ⅱ)知道Π_A1，Π_A2=O_ε(1)，ε→0.

结合(17)式有

其中

设

有ζ＜A. 利用Taylor公式，得到

这样

其中

以下证明

在引理1的(ⅱ)中，取γ=-1+pθ得到

利用不等式

有

由1＜pθ＜2，结合引理1的(ⅰ)及(ⅲ)，得到Π_B3=O_ε(1). 在引理1的(ⅱ)中取γ=pθ-1＞-1后，再次取γ=pθ-2＞-1，有

结合(18)-(21)式，得到引理2的(ⅰ). 结合(18)，(21)式及引理2的(ⅰ)，有

因此，引理2的(ⅱ)成立.

定理1  若1＜p＜∞，α≠Q，β＞2-Q，a，b∈$\mathbb{R}$，则对于u∈C₀^∞(Ω\{0})，R≥R₀，有

特别地，在(22)式中取a=b=0，有下列带有余项的权Hardy不等式

(23) 式中的常数是最佳的，其中$A=\frac{Q-\alpha}{p}$.

证  (22)，(23)式的证明见文献[17]中第三部分定理1的证明.

以下证明(23)式中常数的最佳性.

1) 通过引理2的(ⅱ)，得到

已知当ε→0时有J_pθ(ε)→∞，所以当ε→0时，有

2) 通过引理2的(ⅰ)，得到

已知当ε→0时，有J_pθ-2(ε)→∞，所以由引理1的(ⅰ)，得到当ε→0时，$\frac{I\left(V_{\varepsilon}\right)}{J_{p \theta-2}(\varepsilon)} \longrightarrow \frac{\theta(p-1)}{2}|A|^{p-2}$. 于是当$\theta \rightarrow \frac{1}{p} \text { 时 }\left.\frac{I\left(V_{\varepsilon}\right)}{J_{p \theta-2}(\varepsilon)} \longrightarrow \frac{(p-1)}{2 p}|A|\right|^{p-2}$.

综合1)，2)，(23)式中常数的最佳性得证.

注1  在(23)式中，取k=1，α=p，β=p时，得到(1)式.