本文所涉及的群都是有限群. 在有限群论中，利用具有某些性质的子群来研究有限群的结构是人们感兴趣的课题^[1-4]. 而素数幂阶子群相对于其他子群而言，结构简单、可控性强，于是许多学者通过对p-子群的研究，给出了有限群的p-幂零性的判别条件^[5-9]，例如Frobenius定理^[10]. 从Frobenius定理出发，人们希望运用较少的p-子群给出有限群的p-幂零性的判别条件，例如Glauberman-Thompson定理^[10].

为了方便起见，我们给出一些概念. 设H为群G的子群，如果H与G的每个Sylow子群置换，则称子群H为群G的S-置换子群^[11]. 文献[11]引入S-置换的概念之后，文献[12]进一步推广了S-置换性，提出了SS-置换的概念：设H为群G的子群，如果G中存在子群B使得G=HB，H与B的每个Sylow子群都置换，则称子群H在群G中SS-置换. 在此基础上，文献[13]提出了SS-半置换的概念：设H为群G的子群，如果G中存在子群B使得G=HB，H与B的所有Sylow p-子群置换，其中素数p满足(p，|H|)=1，则称H是SS-半置换的. 本文主要通过研究较少的素数幂阶子群的SS-半置换性对有限群的结构的影响，给出了有限群G是p-幂零群的两个充分条件.

引理1 ^[13]   设H是群G的SS-半置换子群，则：

(ⅰ) 如果H≤K≤G，则H是K的SS-半置换子群;

(ⅱ) 如果N是G的正规子群，H是p-子群，则HN/N是G/N的SS-半置换子群.

引理2 ^[14]   设有限群G是π-可分的. 如果O_π′(G)=1，则${C_G}\left( {{O_\pi }(G)} \right) \subseteq {O_\pi }(G)$.

引理3 ^[6]   设A，B是有限群G的真子群. 如果G=AB，则G=AB^x，G≠AA^x对任意x∈G成立.

引理4    设N是G的初等交换正规p-子群. 如果N中存在一个子群D，1 < |D| < |N|，使得N的所有|D|阶子群在N中SS-半置换，则N中存在一个极大子群正规于G.

证   令{M₁，M₂，…，M_s}是N在G中互不共轭的极大子群的集合. 由于N是初等交换p-群，则M_i是N中一些|D|阶子群的乘积. 因为N的|D|阶子群都在G中SS-半置换，则M_i在G中SS-半置换，即存在B，使得

其中Q是B的任一Sylow q-子群，q≠p. 由M_i是p-子群知Q∈Syl_q(G). 又由M_i < N≤O_p(G)知

从而Q≤N_G(M_i). 由q的任意性知$O^p(G) \leqslant N_G\left(M_i\right)$. 于是$\left|G: N_G\left(M_i\right)\right|=p^{f_i}$. 故在G中与M_i共轭的子群个数为$p^{f_i}$，由$N \unlhd G$知这些子群均在N中. 于是N中所有极大子群的个数为$\sum\limits_{i=1}^s\left|G: N_G\left(M_i\right)\right|$. 由p-群计数原理：

存在$t \in\{1, 2, \cdots, s\}$使得$f_t=0$. 从而$M_t \unlhd G$.

定理1    设G是有限群，P是G的Sylow p-子群，p是奇素数. 如果P的每个极大子群P₁在G中都是SS-半置换群，且N_G(P₁)是p-幂零的，则G是p-幂零的.

证    假设G是极小阶反例，则G是非p-幂零的.

步骤1    O_p′(G)=1.

假设$O_{p^{\prime}}(G) \neq 1$. 为了方便起见，记$\bar{G}=G / O_{p^{\prime}}(G)$，并且令$\bar{M}=M / O_{p^{\prime}}(G)$是$\bar{P}$的极大子群. 易知$\overline{P \cap M}$是P的极大子群，则根据引理1(ⅱ)可知$\overline{P \cap M}$在$\bar{G}$中也是SS-半置换的. 根据假设，我们可知$N_G(P \cap M)$是p-幂零的，进一步可知

是$p$-幂零的. 由此可见$\bar{G}$满足定理假设条件, 因此$\bar{G}$是$p$-幂零的, 从而$G$也是$p-$幂零的, 与题设矛盾. 因此$O_{p^{\prime}}(G)=1$.

步骤2    如果$P \leqslant Tx G$，则$T$是$p$-幂零的.

根据引理1(ⅰ)和$N_T\left(P_1\right) \leqslant N_G\left(P_1\right)$，我们容易看到T满足定理假设，因此根据G的极小性知T是p-幂零的.

步骤3    G/O_p(G)是p-幂零的，且C_G(O_p(G))≤O_p(G). 实际上，G是p-可解的.

设J(P)是P的Thompson子群，容易看到P≤N_G(Z(J(P))).

如果$N_G(Z(J(P))) < G$，则根据步骤2可知N_G(Z(J(P)))是p-幂零的. 进一步根据Glauberman-Thompson定理知G是p-幂零的，与题设矛盾. 因此N_G(Z(J(P)))=G.

进一步，我们可知O_p(G)≠1. 假设N为G的极小正规p-子群. 注意到N≤O_p(G)≤P. 如果N=P，则G/O_p(G)=G/P是p-幂零的. 因此可设N < P. 当N是P的极大子群时，则由假设知G=N_G(N)是p-幂零的，与题设矛盾.

进一步我们假设|P∶N|≥p²，根据引理1(ⅱ)可知G/N满足定理假设条件，再由G的极小性可知G/N是p-幂零的，从而G/O_p(G)是p-幂零的. 进一步可知，G是p-可解的. 再根据O_p′(G)=1和引理2可知C_G(O_p(G))≤O_p(G).

步骤4    G=PQ，Q∈Syl_q(G)，p≠q.

设q≠p是|G|的素因子. 由于G是p-可解的，因此根据文献[15]的定理6.3.5可知，存在Q∈Syl_q(G)使得PQ≤G. 如果PQ < G，则由步骤2知PQ是p-幂零的，从而$Q \unlhd P Q$. 于是

再根据步骤3可知

矛盾. 因此$G=P Q$.

步骤5    G有唯一的极小正规子群N，并且$\varPhi(G)=1$. 实际上，$N=O_p(G)$.

如果极小正规子群N不唯一，则存在另一个G的极小正规子群$N_1 \neq N$. 由于$G$是p-可解的并且$O_{p^{\prime}}(G)=1$，那么$N_1$和N都包含在P中. 运用步骤3的方法，我们可知G/$N_1$和G/N都是p-幂零的. 因此$G \lesssim G / N_1 \times G / N$是p-幂零的，与题设矛盾. 因此N是唯一的.

如果$\varPhi(G) \neq 1$，则$N \leqslant \varPhi(G)$. 然而G/N是p-幂零的，所以$G / \varPhi(G)$是p-幂零的. 进一步可知，G是p-幂零的，矛盾. 因此$\varPhi(G)=1$. 再根据文献[16]的定理4.5可知$O_p(G)=N$.

步骤6    |N|=p，且存在G的极大子群M，使得P∩M是P的极大子群.

因为$\varPhi(G)=1$，所以存在G的极大子群M₁，使得$N \nsubseteq M_1$. 故$G=N M_1$. 设$M_p^{\prime}$为$M_1$的Sylow $p$-子群, 则$N M_p^{\prime}$是$G$的Sylow $p$-子群. 根据Sylow定理可知, 存在$g \in G$使得

不妨取$M=M_1^g$. 由引理3可得$G=N M$，并且$M_p=P \cap M$是M的Sylow p-子群. 由于$G$是$p-$可解的, 且$N$是$G$的极小正规$p$-子群, 所以$N$是初等交换$p$-群. 又由于$N \cap M \unlhd M$, 因此$N \cap M \unlhd G$. 进一步, 根据$N$的极小性可知$N \cap M=1$. 因为$N$为$p$-群, 所以$P \cap M$是$P$的真子群. 进一步可知, 存在$P$的极大子群$P_1$使得$P \cap M \leqslant P_1$. 显然

由于$P_1$是$P$的极大子群, 所以$P_1$是$S S$-半置换的. 再根据$S S$-半置换的定义可知, $P_1 M_q=M_q P_1$对任意的素数$q \neq p$成立. 因为$M_p \leqslant P$, 所以$P_1 M=M P_1$. 由$M$的极大性, 我们可知$P_1 M=G$或者$P_1 \leqslant M$. 若$P_1 M=G$, 则

矛盾. 故$P_1 \leqslant M$. 因此我们可以得到$|N|=p$.

步骤7    最后的矛盾.

因为$G$是$p-$可解的, 并且$O_{p^{\prime}}(G)=1$，所以根据引理2及N的极小性可知

又由于$N=O_p(G)$是交换群，因此$N=C_G(N)$. 再根据文献[16]的定理5.7可得

又因为N是p阶循环群，因此Aut(N)也是循环群. 进一步，我们可知M也是循环群. 故

因为$P \cap M$是$P$的极大子群，所以

进一步，根据题设可以得到$G=N M \leqslant N_G(P \cap M)$是p-幂零的，矛盾.

定理2    设G是有限群，P是G的Sylow $p$-子群, $p$是奇素数. 如果$P$存在一子群$D, 1 < |D| < $ $|P|$, 使得$P$中所有$|D|$阶的子群$H$在$P$中$S S$-半置换, 且$N_G(H)$是$p$-幂零的, 则$G$是$p-$幂零的.

证    假设定理2不成立，设G是极小阶反例.

步骤1    O_p′(G)=1.

设$O_{p^{\prime}}(G) \neq 1$. 令$\bar{G}=G / O_{p^{\prime}}(G)$. 容易看到$\bar{G}$满足定理2的假设条件, 因此根据$G$的极小性可知$\bar{G}$是$p$-幂零的. 进一步可知$G$是$p-$幂零的, 矛盾. 因此$O_{p^{\prime}}(G)=1$.

步骤2    P≤T < G，则T是p-幂零的.

由于N_T(H)≤N_G(H)，且N_G(H)是p-幂零的，因此N_T(H)也是p-幂零的. 再根据引理1(ⅰ)可知T满足定理中的假设条件，故由G的极小性可知T是p-幂零的.

步骤3    G/O_p(G)是p-幂零的，且C_G(O_p(G))≤O_p(G).

设$J(P)$是$P$的Thompson子群, 容易得到$P \leqslant N_G(Z(J(P)))$. 如果$N_G(Z(J(P))) < G$, 那么根据步骤2可知$N_G(Z(J(P)))$是$p$-幂零的. 进一步根据Glauberman-Thompson定理可得$G$是$p$-幂零的, 与题设矛盾. 因此$N_G(Z(J(P)))=G$, 即$Z(J(P)) \unlhd G$. 故$O_p(G) \neq 1$. 为了方便起见, 我们设$\bar{G}=$ $G / O_p(G)$, 并且令

如果$G_1=G$，那么$P_1 \unlhd G$. 容易看出$P_1>O_p(G)$，则与$O_p(G)$是$G$中最大的正规$p$-子群矛盾. 故$G_1 < G$. 进一步，根据步骤2可知$G_1$是p-幂零的，因此$N_{\bar{G}}(Z(J(\bar{P})))$也是p-幂零的. 再根据Glauberman-Thompson定理可知G/O_p(G)是p-幂零的. 显然可得G是p-可解的. 再根据O_p′(G)=1和引理2可得C_G(O_p(G))≤O_p(G).

步骤4    $ G=P Q, Q \in \operatorname{Syl}_q(G), p \neq q$.

设$q \neq p, q \in \pi(G)$. 由于$G$是$p-$可解的，因此根据文献[15]的定理6.3.5可知，存在$Q \in \mathrm{Syl}_q(G)$使得$P Q \leqslant G$. 如果$P Q < G$, 则由步骤2知$P Q$是$p$-幂零的, 从而$Q \unlhd P Q$. 于是

再根据步骤3可知

矛盾. 因此$G=P Q$.

步骤5    G中存在唯一的极小正规子群N，且G/N是p-幂零的. 实际上，$\varPhi(G)=1$，$N=O_p(G)$.

因为G是p-可解的，且$O_{p^{\prime}}(G)=1$，所以N是初等交换p-群.

首先我们断言$|N| < |D|$. 如果$|N|=|D|$, 则根据定理假设可知$G=N_G(N)$是$p$-幂零的, 与题设矛盾.

现在我们假设$|N|>|D|$, 则$N$的所有$|D|$阶子群在$G$中$S S$-半置换. 再根据引理4可知, $N$中存在的极大子群$N_2$正规于$G$, 与$N$的极小性矛盾. 因此$|N| < |D|$.

如果$|P: D|=p$, 则$D$是$P$的极大子群. 进一步根据定理1可得$G$是$p$-幂零的, 与题设矛盾. 因此$|D|>p$. 容易验证$G / N$满足定理假设, 则根据$G$的极小性可得$G / N$是$p$-幂零的.

若存在另外一个极小正规子群$N_1 \neq N$, 则$G \simeq G /\left(N \cap N_1\right) \lesssim G / N \times G / N_1$是p-幂零的，与题设矛盾. 因此N是唯一的. 在这里容易验证$\varPhi(G)=1$. 再根据文献[16]V的定理4.5可得N=O_p(G).

步骤6    最后的矛盾.

根据步骤4和Burnside $p^a q^b$定理可得G可解. 进一步根据文献[16]Ⅲ的定理1.7可得，G中存在极大子群M，使得$M \unlhd G$，且|G∶M|是素数. 如果|G∶M|=q，则P≤M. 再根据步骤2可知M是p-幂零的. 设M的正规p-补为K，则K char $M \unlhd G$，由步骤1，K≤O_p′(G)=1，从而

进一步，根据引理$M \unlhd G$M _G，那么根据文献[16]Ⅱ的命题2.3(6)可得${P \cap M}$∈Syl_p(M). 进一步可得${P \cap M}$是P的极大子群. 再根据引理1(ⅰ)可知${P \cap M}$的每个|D|阶子群H₁在M中SS-半置换，N_M(H₁)≤N_G(H₁)是p-幂零的，从而M满足定理假设，由G的极小性知M是p-幂零的，M=(${P \cap M}$)×O^p(M)，其中

从而$O^p(M) \unlhd G$. 于是

故G是p-幂零的，矛盾.