在群论中，常常借助子群的性质去研究大群的结构和性质，其中有一类问题就是根据群的非循环子群的共轭类个数去研究大群.

设G是有限群，δ(G)表示有限群G的非循环子群的共轭类个数.显然，当δ(G)=0时，G为循环群.文献[1-7]研究了满足δ(G)≤7的有限群.文献[5-7]给出了满足5≤δ(G)≤7的有限幂零群的分类，遗憾的是，这3篇论文都有一个错误，即证明方法是通过分类极大子群的个数，再考虑极大子群的非循环子群的共轭类个数来证明的，然而极大子群中的非循环子群在群G中可能共轭，这个错误似乎只能从证明方法上做修正.本文只对文献[7]的证明做出修改，给出非循环子群共轭类个数为7的有限p-群的完全分类，并且给出了不同的证明方法.为便于本文证明，下面给出相关的引理：

引理1^[8]  设G是pⁿ阶初等交换p-群，0≤m＜n，则G中p^m阶子群个数为

引理2^[8]  有限2-群G是极大类2-群当且仅当|G：G′|=4.

引理3^[8]  设G是有限p-群，若d(G)=2且|G′|=p，则G是内交换群，其中d(G)表示生成元个数.

引理4^[8](N/C定理)  设H≤G，则N_G(H)/C_G(H)同构于Aut(H)的一个子群.

引理5^[9]  设G是有限p-群，G存在指数是p的交换子群，则

引理6^[9]  设G是有限p-群，N是G的正规子群，若N中不存在G的正规子群N₁$ \cong $C_p×C_p.则N是循环群，或者p=2，N同构于下列3种群之一：

(1°)二面体群：〈a，b|a^2n-1=b²=1，a^b=a^-1〉，n≥3；

(2°)广义四元数群：〈a，b|a^2n-1=1，b²=a^2n-2，a^b=a^-1〉，n≥3；

(3°)半二面体群：〈a，b|a^2n-1=b²=1，a^b=a^-1+2n-2〉，n≥4.

定理1  设G是p-群，且δ(G)=7，则G同构于下列群之一：

(1°) G$ \cong $C_p⁷×C_p；

(2°) G$ \cong $〈a，b|a^p7=1，b^p=1，a^b=a^1+p6〉，p≠2；

(3°) G$ \cong $〈a，b|a²⁴=1，b²=1，a^b=a^-1〉=D_2⁵；

(4°) G$ \cong $〈a，b|a²⁵=1，b²=a²⁴，a^b=a^-1〉=Q_2⁶；

(5°) G$ \cong $〈a，b|a²⁷=1，b²=1，a^b=a¹⁺²⁶〉；

(6°) G$ \cong $〈a，b，c|a⁵=b⁵=c⁵=1，[a，b]=c，[a，c]=1，[b，c]=1〉；

(7°) G$ \cong $〈a，b|a³=b⁹=1，[b，a]=c，c³=1，[c，a]=b³，[b³，a]=[b，c]=1〉.

证  因为p-群的每个极大子群都正规，所以G的每个极大子群自成一个共轭类.

(Ⅰ)若G存在循环极大子群，且G不为循环群，由文献[6]知G只能同构于下列群之一：

(a) G$ \cong $C_p⁷×C_p；

(b) G$ \cong $〈a，b|a^p7=1，b^p=1，a^b=a^1+p6〉，p≥3；

(c) G$ \cong $〈a，b|a²⁵=1，b²=1，a^b=a^-1〉=D_2⁵；

(d) G$ \cong $〈a，b|a²⁵=1，b²=a²⁴，a^b=a^-1〉=Q_2⁶；

(e) G$ \cong $〈a，b|a²⁷=1，b²=1，a^b=a¹⁺²⁶〉.

(Ⅱ)若p-群G的极大子群均为非循环群，我们断言G是二元生成的p-群，否则|G/Φ(G)|=pⁿ≥p³.因为G/Φ(G)是pⁿ阶初等交换p-群，由引理1可得G/Φ(G)的极大子群个数大于或者等于7，矛盾.设M₁，M₂，…，M_s是G的所有极大非循环正规子群，则p-群G的极大子群的个数大于或者等于p+1，当p-群G是极大类群时，G的极大子群个数为p+1.又考虑到δ(G)=7，则只能是p=2，3，5.由引理6，G中存在正规子群N$ \cong $C_p×C_p.

情况1  若p=5，G的极大子群个数为6，易得N是群G的极大子群，此时|G|=5³.又因G没有极大子群是循环群，因此G的方次数是5，即对任意g∈G都满足g⁵=1.显然G不是交换群.故

情况2  若p=3，容易得到|G|≥3³.令特征子群

若Ω₁(G)=N，考虑商群G/N.当G/N循环时，即存在x∈G，使得G/N=〈xN〉.由Ω₁(G)=N可知〈x〉∩N≠1，因此〈x〉是群G的一个极大子群，这类情况前面已经讨论.因此设G/N不是循环子群.再由引理6，G/N存在阶是3²的正规初等交换子群.不妨设M$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\triangleleft } $—G，使得N≤M，且M/N是阶为3²的初等交换子群，显然M/N存在4个3阶子群，且有一个3阶子群正规于G/N.于是可得G的所有非循环的3³阶子群一定存在至少2个共轭类.从而可得M/N=G/N，即G=M且Φ(G)=N.此时可得G的非循环的共轭类是6，矛盾.

因此Ω₁(G)≠N.必存在3阶元x∈Ω₁(G)-N，若不然，则有Ω₁(G)=N，矛盾.取

由N正规可得N与N₁=〈x，y〉=〈x〉×〈y〉不在同一个共轭类里面.显然非循环子群〈N，x〉的阶为3³.此时易得子群〈N，x〉是群G的一个极大子群.因此|G|=3⁴，且G存在一个极大子群M₁是交换群.由N/C定理知|G：C_G(N)|≤3.当|G：C_G(N)|=1时，结论显然成立；当|G：C_G(N)|=3时，C_G(N)是群G的交换极大子群.又由于M₁非循环，则

或者

若M₁$ \cong $C₃×C₃×C₃，则M₁中的3²阶子群有13个，且一定存在一个3²阶子群正规.对任意H≤M₁，有|G：C_G(H)|≤3，于是可得M₁中的3²阶子群包含了至少5个共轭类，这与题设矛盾.因此

取3阶元a∈Ω₁(G)-M₁，则G=M₁×|〈a〉.易得此时G的幂零类是3，若不然，即G的幂零类为2时，则|G′|=3，由引理3，G为内交换群，与G中存在真子群C₂×C₂×|C₂矛盾.此时G是极大类3-群，且

情况3  若p=2，G的极大子群个数为3.考虑正规子群列

且满足

其中N_k是极大子群.则易得k≤3.

若k=3，则|G|=2⁶.如果

那么存在2阶元x∈Ω₁(G)-N，取1≠y∈N∩Z(G)，则子群K₁=〈x，y〉=〈x〉×〈y〉与N不是同一个共轭类，于是可得δ(G)≥8，矛盾.因此

若商群G/N中的2阶子群个数大于1，同理可得G的阶为2³的且包含N的子群至少含有2个共轭类，于是又可得δ(G)≥8，矛盾.因此G/N是循环群或者同构于Q₁₆.若G/N是循环群，则由Ω₁(G)=N可得G存在一个极大循环子群，这类群已经讨论.若G/N$ \cong $Q₁₆，由于Q₁₆中4阶子群共轭类至少2类，因此G中含有N的阶是2⁴的子群至少有2个共轭类.从而可得δ(G)≥8，矛盾.即k=3不成立.

若k=2，则|G|=2⁵，断言G为非极大类2-群.若不然，则G为2⁵阶二面体群、广义四元数群或者半二面体群，显然这3种群都有循环的极大子群，与G不存在循环的极大子群矛盾.由引理2，|G：G′|≥2³，此时|G′|=1，2，2².

若|G′|=1，G为交换群.又由d(G)=2，因此G$ \cong $C₄×C₈，此时易得δ(G)＞7.

若|G′|=2.由引理3知G为内交换群.当|Ω₁(G)|≥2³时，存在2阶元z∈Ω₁(G)-N，不然，则有Ω₁(G)=N，矛盾.从而易得G存在正规子群

类似N₀中的4阶子群个数是7，对任意4阶子群K≤N₀，有|G：C_G(K)|≤2.于是G中2²阶子群的共轭类个数大于或者等于3，可得δ(G)＞7，矛盾.因此|Ω₁(G)|=2²，此时G是亚循环群且G′≤N=Ω₁(G).同时G/N中存在子群同构于C₂×C₂，类似前面G中含有N的阶是2³的子群有3个共轭类，从而得到δ(G)＞7.

若|G′|=2²，由d(G)=2，故G/G′$ \cong $C₄×C₂.

若G′$ \cong $C₂×C₂，由于G/G′为8阶交换群，则可得G/G′存在子群同构于C₂×C₂，类似于前面讨论可证得矛盾.

若G′$ \cong $C₄，注意|G/N|=2³，且G/N无子群同构于C₂×C₂，由N=C₂×C₂，则G/N$ \cong $Q₈.又因|G：C_G(N)|≤2，且C_G(N)中不存在子群同构于C₂×C₂×C₂，即对任意的x∈C_G(N)-N都有〈x〉∩N≠1，于是可得C_G(N)$ \cong $C₈×C₂或者C_G(N)=G.若C_G(N)$ \cong $C₈×C₂，即G有指数为2的交换子群，由引理5可得Z(G)≤C_G(N)是阶为4的子群.显然Z(G)≠N，因此Z(G)=G′=ひ₁(C_G(N))是循环群.又因G/G′$ \cong $C₄×C₂，即G=〈a，b〉，b²∈Z(G)，这与G′是4阶循环群相矛盾.因此N≤Z(G)，此时同样易得满足G′是4阶循环群的群G是不存在的.

若k=1，则|G|=2⁴，易得Φ(G)=N，于是可得δ(G)=6.

综上所述，满足δ(G)=7且所有极大子群皆为非循环群的2-群不存在.

故定理1得证.