考虑如下的非局部问题：

其中a＞0，b＞0，$ \mathit{\Omega } \subset {{\mathbb{R}}^N} $是有界开集，0＜p＜2^*，$ g \in {L^{\frac{{{2^*}}}{{{2^*} - p}}}}\left( \mathit{\Omega } \right) $.当N≥1时，$ {2^ * }{\rm{ = }}\frac{{2N}}{{N - 2}} $；当N=1，2时，2^*=+∞.

近几年来，一些学者对问题(1)进行了的研究.当g(x)=1，2＜p＜2^*时，文献[1]得到了问题(1)的正解和负解.文献[2]考虑了g(x)=g_λ(x)，其中g_λ∈L^∞(Ω)，g_λ=λg₊+g_-，λ＞0，$ {g_ \pm } = \pm \max \left\{ { \pm g, 0} \right\} ≢ 0 $，1＜p＜2的情形，当λ＞0很小时，得到了2个正解.文献[3]考虑了g(x)=λ，其中λ＞0，0＜p＜1的情形，当λ＞0很小时，得到了2个正解.文献[4]则考虑了1≤p＜2^*的情形，得到了正解的存在性与多重性.当b＜0时的有关研究参见文献[5-8]及其参考文献.受上述结论的启发，我们将考虑

其中a＞0，b＞0，$ \mathit{\Omega } \subset {{\mathbb{R}}^N} $是有界开集，λ＞0且g∈H^-1(Ω)\{0}，这里H^-1(Ω)是Sobolev空间H₀¹(Ω)的对偶空间.本文的主要结果是：

定理1  假设a＞0，b＞0且条件g∈H^-1(Ω)\{0}成立.则存在λ_*＞0，使得：

(ⅰ)当λ∈(0，λ_*)时，问题(2)至少有3个不同的解；

(ⅱ)当λ=λ_*时，问题(2)至少有2个不同的解；

(ⅲ)当λ＞λ_*时，问题(2)至少有1个解.

注1  与文献[1-4]的结果比较，我们的参数λ不必很小，而且我们可以得到3个不同的解.

记H₀¹(Ω)是按C₀¹(Ω)范数

的完备化，它是具有内积

的Hilbert空间.众所周知，问题(2)的解对应如下泛函I的临界点：

易知，对任意u，v∈H₀¹(Ω)，有

为了证明定理1，我们需要如下引理：

引理1  假设a＞0，b＞0且条件g∈H^-1(Ω)成立.若$ c \ne \frac{{{a^2}}}{{4b}} $，则泛函I满足(PS)_c条件.

证  假定{u_n}是I的(PS)_c序列，即当n→∞时，

假定{u_n}无界.则存在{u_n}的子列，仍记为{u_n}，使得

由I(u_n)→c，得

矛盾，由此可知{u_n}有界.因此存在u₀∈H₀¹(Ω)，使得当n→∞时，有

由{u_n}的有界性，存在{u_n}的子列，仍记为{u_n}，使得‖u_n‖²收敛，不妨设

根据I'(u_n)→0及{u_n}的有界性，

从而

再由〈I'(u_n)，u₀〉→0知

由(5)和(6)式可知

若k≠‖u₀‖²，则$ k = \frac{a}{b} $，从而依据(5)式，得

进一步根据I(u_n)→c，我们有

与假设条件$ c \ne \frac{{{a^2}}}{{4b}} $矛盾，因此

于是

这样{u_n}在H₀¹(Ω)中强收敛于u₀.

定理1的证明  令：

因g≠0，故存在u₀∈H₀¹(Ω)，使得〈g，u₀〉≠0，从而不妨设〈g，u₀〉＞0且$ {\left\| {{u_0}} \right\|^2} = \frac{{2a}}{b} $.

令

则M＜+∞，于是

对-I(u)在全空间H₀¹(Ω)上用Ekeland变分原理，存在-I(u)的(PS)_-M序列，从而存在I(u)的(PS)_M序列.易知

根据引理1，M是泛函I的临界值.

令

则m＞-∞.事实上，当0＜λ≤λ_*，‖u‖＜r时，有

而当0＜λ≤λ_*，‖u‖=r时，有

易知

因此

而

在H₀¹(Ω)的闭球B_r(0)中用Ekeland变分原理，存在(PS)_m序列，由于m＜0，根据引理1，m是泛函I的临界值.

易知

因此泛函I有山路结构.令：

则

由引理1，泛函I满足(PS)_c条件.根据山路引理^[9]，c是泛函I的临界值.

注意到$ m < 0 \le c < \frac{{{a^2}}}{{4b}} < M $，则当λ∈(0，λ_*)时，泛函I至少有3个不同的临界值m，c，M；当λ=λ_*时，泛函I至少有2个不同的临界值m，M；当λ＞λ_*时，泛函I至少有1个临界值M.