假定偏序线性代数(pola) A有乘法单位元1, 且1≥0.把具有Dedekind σ完备的偏序线性代数记作POLA, 即偏序线性代数A满足如下性质：若x_n∈A, 且x₁≥x₂≥…≥x_n≥…≥0, 则inf{x_n}存在.此外, POLA满足Archimedean性质：若x, y∈A, 且对于所有的正整数n都有nx≤y, 则x≤0.关于POLA中的序闭和序极限可以按照标准的方式定义^[9].设I={y∈A：y≥1且y^-1≥0}, 则I是一个序凸集, 即对于任意的y, z∈I, x∈A且y≤x≤z, 则x∈I.其证明可以参考文献[9]中的引理6.4.定义A₁=I-I, 称A₁是POLA A的函数部分或者对角部分, 关于POLA的对角部分A₁的主要性质概述如下：

定理1^[9]  集合A₁是交换、序闭和序凸的子POLA, 且A₁具有如下性质：

(ⅰ)对于任意的x∈A₁, 存在元素e∈A₁, 使得0≤e≤1, e²=e且ex≥0, (1-e)x≤0；

(ⅱ)对于任意的x∈A₁, 有x²≥0, 并且若x²=0, 则x=0, 即A₁不存在非零的幂零元；

(ⅲ)对于任意的u∈A₁且u²=u, 有0≤u≤1；

(ⅳ) A₁是一个子POLA, 并且关于乘法运算是连续的, 即：若x_n∈A₁且x₁≥x₂≥…≥x_n≥…≥0, 令x=inf{x_n}, 则对于任意的0≤a∈A₁, 都有ax=inf{ax_n}且xa=inf{x_na}.

关于POLA的例子可参考文献[9].对所有的元素x∈A₁, 若元素e满足如下性质：0≤e²=e≤1和ex≥0, (1-e)x≤0, 则称e为元素x的一个投影.

设A是一个函数POLA, 对于任意的x∈A, 存在元素x的投影u, v, 使得对于元素x的任意投影e, 都有v≤e≤u, 称u是元素x的极大投影, v是元素x的极小投影.下面证明极大、极小投影的存在性, 为此, 需如下引理：

引理1  对于任意的x∈A, 存在d∈A, 满足0≤d²=d≤1且dx=0.此外, 对于0≤b≤1, b²=b和bx=0, 还有b≤d.

证  由定理1可知x²≥0和1≤x²+1.因此, (1+x²)-1存在, 并且

定义

因为

可得0≤a≤1, 进而1≥a≥a²≥…≥0.定义d=inf{aⁿ}, 显然有0≤d≤1.由于乘法运算是连续的, 可知d²=d.此外,

这蕴含着x²d=0, 进而x²d=(xd)²=0, 由定理1可知xd=0.

最后, 若0≤b≤1, b²=b和bx=0, 则由定理1和ba=b可知

这样, 就有

因此d≥b.

定理2  对于任意的x∈A, 存在其极大投影u和极小投影v.

证  由定理1可知, 对于任意的x∈A, 存在e₀∈A使得：

事实上, e₀∈A是元素x的一个投影.此外, 由引理1可知, 存在d∈A使得0≤d²=d≤1且dx=0.

现定义v=e₀(1-d)和u=(1-d)e₀+d.显然, u和v都是元素x的投影.现假设e∈A是元素x的任意一个投影, 可知0≤e≤1, e²=e且ex≥0, (1-e)x≤0, 进一步, 由vx, ux≥0, (1-v)x≤0和(1-u)x≤0, 可得

则

类似地, 可得

由引理1可知

此外, 还有

进而：

所以v=u-d≤eu, 据此可得v≤eu≤e≤u.

定理2主要确定了函数POLA上极大、极小投影的存在性, 接下来, 给出极大投影的一些主要性质：

引理2  对于任意的x∈A, u是其极大投影, 若0≤w²=w≤1且wx≥0, 则u≥w.

证  令v是x的极小投影, 由定理2可知, 极大投影u=v+d.显然有

所以

由引理1可知

此外, 还有

则

引理3  对于任意的x, y∈A, u_x, u_y分别是元素x, y的极大投影, 若x≥y, 则u_x≥u_y且u_xu_y=u_y.

证  因为

和u_yy≥0, 所以u_yx≥0, 进而, 由引理2可知u_x≥u_y.进一步, 有

此外,

这意味着

综上可得

对于任意的λ∈$ \mathbb{R}$和x∈A, 用e_λ^x表示λ1-x的极大投影, 其中1表示函数POLA A的乘法单位元.接下来, 讨论e_λ^x的性质, 并由此性质证明Freudenthal谱定理.

引理4  设λ, μ∈$ \mathbb{R}$, 对于任意的x∈A, λ1-x和μ1-x的极大投影e_λ^x和e_μ^x具有如下性质：

(ⅰ)若λ≥μ, 则e_λ^x≥e_μ^x, e_λ^xe_μ^x=e_μ^x且e_λ^x(1-e_μ^x)=e_λ^x-e_μ^x；

(ⅱ) sup_λ{e_λ^x}=1, inf_λ{e_λ^x}=0；

(ⅲ)若λ₁≥λ₂≥μ₁≥μ₂, 则e_λ1^x-e_λ2^x≥e_μ1^x-e_μ2^x；

(ⅳ)若λ≥μ, 则μ(e_λ^x-e_μ^x)≤(e_λ^x-e_μ^x)x≤λ(e_λ^x-e_μ^x).

证  (ⅰ)  因为λ≥μ, 所以λ1-x≥μ1-x, 由引理3直接得到结论.

(ⅱ)  由(ⅰ)的结论可知, 集合{e_λ^x：λ∈$ \mathbb{R}$}是一个全序集, 其上界为1下界为0.接下来证明sup_λ{e_λ^x}=1, 为此, 设e^'=sup_λ{e_λ^x}, 下证e^'=1.首先, 因为0≤e^'≤1和e^'≥e_λ^x, 所以, 对于任意的x∈A, 都有

此外, 由定理1可知

这意味着λ(1-e_λ^x)≤(1-e_λ^x)x.设e是元素x的一个投影, 则有：

则x-ex≤0, 即x≤ex.进一步, 由1-e_λ^x≥0, 则对于任意的实数λ≥0, 可以得到

最后, 由于函数POLA A具有Archmedian性质, 可知1-e^'≤0, 所以1-e^'=0, 即e^'=1.

现在证明inf{e_λ^x}=0.对于任意λ∈$ \mathbb{R}$, 都有(λ1-x)e_λ^x≥0, 即λe_λ^x≥e_λ^xx, 这意味着-λe_λ^x≤-e_λ^xx.此外, 我们还有-x≤(e-1)x, 则

现在取λ→-∞, 由Archmedian性质, 我们有e_λ^x→0, 所以inf_λ{e_λ^x}=0.

(ⅲ)  由(ⅰ)可知：

所以

(ⅳ)  由定理1(ⅰ), 可知(1-e_μ^x)(μ1-x)≤0.由引理4(ⅰ), 可知e_λ^xe_μ^x=e_μ^x和e_λ^x≥0.则

则

再次利用定理1(ⅰ), 可知e_λ^x(λ1-x)≥0.此外, 还有e_λ^xe_μ^x=e_μ^x, 可得

则有

定理3  设A是一个函数POLA.对于实轴(-∞, +∞)的任意一个划分

任意选取l_n∈[λ_n-1, λ_n], 令

则任意的元素x∈A可以表示成Stieltjes类型的积分形式, 即

证  令σ_p=e_λp^x-e_λ-p-1^x, 由引理4(ⅰ), 可知：

则

则有σ_p+1≥σ_p.这样, 部分和

是一个正的单调递增序列, 且1=sup_p{s_p}.其上确界可以表示为$1 = \mathop \sum \limits_{n = - \infty }^\infty (e_{{\lambda _n}}^x - e_{{\lambda _{n - 1}}}^x) $.因为在函数POLA A中关于乘法运算连续, 所以

接下来, 设

由引理3可知

和

(1) 式和(2)式相加可得

其中δ=max(λ_n-λ_n-1).则

令p→∞和δ→0, 可得

因此, $o - \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \mathop \sum \limits_{n = - p}^p {u_n} $存在并且其序极限为x, 即

本节给出一个POLA的例子, 它们不是格, 自然也不是Riesz空间, 但是Freudenthal谱定理依然成立.该类POLA的研究可以参考文献[10], 其在算子代数中的应用可以参考文献[11].值得注意的是, Banach代数可以看作是POLA的子代数, 可以用POLA中的序结构研究Banach代数^[12], 或许也可以进一步应用此来讨论Banach空间中广义方程的性质^[13].

例1  设H是一个Hilbert空间, 其上所有的线性算子构成一个算子代数.在H上定义偏序关系, 即对于任意的v∈H和H上的线性算子T, T≥0等价于(Tv, v)≥0.事实上, 正的线性算子也是自伴随算子, 其证明可以参考文献[14].该算子代数是满足Dedekind σ完备的偏序向量空间, 但不是格.事实上, 若算子T≥0和T^'≥0, 则TT^'不一定是正算子, 除非T和T^'可交换.现在, 任意给定H上的非平凡自伴随算子S, 考虑S的第二换位子空间C^″(S), 则C^″(S)是一个Banach代数, 事实上也是一个POLA, 乘法单位元是其单位算子, 记作I^'.现在, 我们将C^″(S)嵌入到集合A={x=(T, a)}, 其中T表示C^″(S)中的任意一个自伴随算子, a是一个实数.定义集合A中元素的运算为点态运算, 偏序定义如下：0=(0, 0)≤x=(T, a)等价于aI^'≥T≥0, 或者说对任意的v∈H, 都有

则偏序集A具有如下性质：

(ⅰ) (A, ≤)是一个POLA且具有乘法单位元I=(I^', 1)；

(ⅱ) A满足性质：若I≤x=(T, a), 则x的逆元存在, 并且-(0, 1)≤x^-1≤I, 即A不是一个函数POLA；

(ⅲ) A不是格；

(ⅳ) A中的元素满足Freudenthal谱定理.

证  (ⅰ)和(ⅱ)  根据定义容易验证, 这里证明略.

(ⅲ)  设e₁, e₂和e₃是Hilbert空间H的3个单位正交元, L_i是元素e_i所生成的子空间(i=1, 2, 3), 这样可以得到

定义Hilbert空间H上的3个正交投影E_i：H→H, 对任意的v∈H, 定义E_i(v)=(e_i, v)e_i (i=1, 2, 3).容易验证E_i正交(i=1, 2, 3), 即

令

和

则x, y≥0.接下来, 我们来证明inf{x, y}不存在.

若存在, 可设

则有x≥z和y≥z, 进而由A中偏序的定义可知：

则：

对于任意的v∈H, 由伴随算子的偏序的定义可得

和

特别地, 选取v∈L₂且v≠0, 则可得

和

这样, 由(5)式和(6)式可得

此外, 由0≤E₁+E₃-T, 对于任意的v∈L₂, 我们有

由(7)式可得

这意味着a≤0.另一方面, 因为z=(T, a)=inf{x, y}和x, y≥0, 所以(0, 0)是x和y的下界, 所以z≥0.由A上的偏序的定义可知, T≤aI^'.则对于任意的v∈H, 都有(Tv, v)≤a(v, v), 所以||T||≤a≤0, 这意味着||T||=0和a=0, 这样可知

容易验证(E₁, 0)≤x, y, 然而(E₁, 0)与(0, 0)不可比较, 这与z=inf{x, y}矛盾, 所以A不是格.

(ⅳ)  容易验证.