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其中K是
$ \mathbb{R} $ m的一个非空闭凸子集，Ω≡[0，T]×$ \mathbb{R} $ n，(f，B，G)：Ω→$ \mathbb{R} $ n×$ \mathbb{R} $ n×m×$ \mathbb{R} $ m和S：$ \mathbb{R} $ m→$ \mathbb{R} $ m是两个函数.在某些条件下，文献[1]得到了不等式(1)的Caratheodory弱解的存在性.文献[9-10]将不等式(1)推广到了分数阶的情形，其数学表达式为
其中x(t)∈
$ \mathbb{R} $ n，u(t)∈K，0≤δ＜1，I1=[0，T]，CDtδ是分数阶导数的表示符号，F是一个从I1×$ \mathbb{R} $ n到Kv($ \mathbb{R} $ n)的满足一定条件的映射，Kv($ \mathbb{R} $ n)在文中有定义，B是一个从I1×$ \mathbb{R} $ n到$ \mathbb{R} $ n×m的满足一定条件的映射，G是从I1×$ \mathbb{R} $ n到$ \mathbb{R} $ m的满足一定条件的映射，Q是从K到$ \mathbb{R} $ m的满足一定条件的映射.本文把δ的研究范围改成(1，2]，再把(2)式中的变分不等式推广到更一般的混合变分不等式，得到的新的这类带有参数δ∈[1，2)的分数阶混合可微变分不等式为
其中x(t)∈
$ \mathbb{R} $ n，u(t)∈K，1≤δ＜2，I=[0，h]，CDtδ是分数阶导数的表示符号，F，B，G和Q这4个映射的定义与(2)式中的定义是相同的，φ是一个从$ \mathbb{R} $ m到(-∞，+∞]的真凸下半连续函数.
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设X是度量空间，E是Banach空间.
定义1 对于一个集值算子M：X→P(E)，
(a) 如果对E的任一闭子集V，M-1(V)={x∈X：M(x)∩V≠∅}是X的闭子集，则称M是上半连续的；
(b) 如果对E的任一弱闭子集V，M-1(V)={x∈X：M(x)∩V≠∅}是X的闭子集，则称M是弱上半连续的；
(c) 如果图ΓM={(y，z)：z∈M(y)}是X×E的闭子集，则称M是闭的；
(d) 如果M是上半连续的且对X里的每个有界集Ω，M(Ω)是E里的相对紧集，则称M是完备上半连续的；
(e) 如果对X的任一紧子集Ω，M(Ω)是E里的相对紧集，则称M是拟紧的.
引理1[3] 如果M：X→P(E)是一个闭的和拟紧的集值算子，则M是上半连续的.
引理2 设E是Banach空间，Ω是另外一个Banach空间的非空子集，如果N：Ω→P(E)是一个映射到弱紧且凸集的集值算子，则N是弱上半连续的当且仅当条件{xn}⊂Ω，xn→x0∈Ω和yn∈N(xn)能够推出{yn}存在一个子序列弱收敛于y0，其中y0∈N(x0).
引理3[3] 设Μ是E的有界闭凸子集，再设Τ：M→Kv(M)是一个完备的上半连续集值映射，则Fix(T)={x： x∈T(x)}是非空的紧子集.
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在这一部分，我们来分析和研究(3)式的解的存在性.
定义2[7] 对于一个函数x：[0，+∞)→
$ \mathbb{R} $ n，它的Caputo导数CDtδx(t)被定义成其中
$ \mathit{\Gamma}(2-\delta)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} t^{1-\delta} \mathrm{d} t$ ，符号Γ表示伽玛函数.定义3[9] 对于函数φ：
$ \mathbb{R} $ m→(-∞，+∞]，如果φ满足下面两个条件：(a)
$\forall x\in {{\mathbb{R}}^{m}}, \varphi (x)\le \underset{y\to x}{\mathop{\lim \inf }}\, \varphi (y)$ ；(b)
$\forall r\in \mathbb{R}, {{V}_{r}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{m}}:\varphi (x)>r \right\}$ 是$ \mathbb{R} $ m中的一个开子集.则称φ是下半连续的.
为了得到(3)式解的存在性，我们需要下面6个假设成立：
(F1) F：I×
$ \mathbb{R} $ n→Kv($ \mathbb{R} $ n)是上半Carathéodory集值映射，等价于说对∀v∈$ \mathbb{R} $ n，集值映射F(·，v)：I→Kv($ \mathbb{R} $ n)确定了一个可测选择，且对几乎处处t∈I，集值映射F(t，·)：$ \mathbb{R} $ n→Kv($ \mathbb{R} $ n)是上半连续的；(F2) 对于函数F：I×
$ \mathbb{R} $ n→Kv($ \mathbb{R} $ n)，存在非减的连续函数ΨF：$ \mathbb{R} $ →$ \mathbb{R} $ 和函数ηF∈Lp(I，$ \mathbb{R} $ )，使得其中p是大于
$ \frac{1}{\delta}$ 的正整数；(B) B：I×
$ \mathbb{R} $ n→$ \mathbb{R} $ n×m是连续函数，满足其中ηB是正数；
(G) 对于连续函数G：I×
$ \mathbb{R} $ n→$ \mathbb{R} $ m，存在非减的连续函数ΨG：$ \mathbb{R} $ →$ \mathbb{R} $ 和函数ηG∈Lp(I，$ \mathbb{R} $ )，使得(Q) Q：K→
$ \mathbb{R} $ m是满足下面两个条件的连续函数：(Q1) Q在K上是单调的，也即是说
(Q2) 存在v0∈K，使得
(Φ)函数φ：
$ \mathbb{R} $ m→(-∞，+∞]是真凸下半连续函数.从条件(F1)和(F2)，我们可以推出从C(I，
$ \mathbb{R} $ n)映射到P(Lp(I，$ \mathbb{R} $ n))的集值映射是闭的，其中P(Lp(I，
$ \mathbb{R} $ n))表示Lp(I，$ \mathbb{R} $ n)的所有子集组成的集合.定义4 (3)式的一个解x∈C(I，
$ \mathbb{R} $ n)是指存在一个可积函数u：I→K和函数f∈PFp(x)，满足对于一个函数Q：K→
$ \mathbb{R} $ m，我们定义SOL(K，Q，φ)为引理4[9] 如果条件(Q)和条件(Φ)满足，则对于每一个z∈
$ \mathbb{R} $ m，解集SOL(K，z+Q(·)，φ)是非空的闭凸集，且存在正数ηQ满足为了解决(3)式，设
再定义Φ：I×
$ \mathbb{R} $ n→P($ \mathbb{R} $ n)为则可以把上面的(3)式转化为
为了解决(7)式，引入集值映射Σ：C(I，
$ \mathbb{R} $ n)→P(C(I，$ \mathbb{R} $ n))为则x∈C(I，
$ \mathbb{R} $ n)是(7)式的解等价于说x是集值映射Σ的不动点.引理5 在条件(F1)，(F2)，(B)，(G)，(Q)和(Φ)的假设下，PFp和PΦp是弱上半连续的.
证 当条件(Q)和条件(Φ)满足时，不等式(5)成立，剩下的证明过程与文献[2]中引理3.5的证明过程是一样的.
设从Lp(I，
$ \mathbb{R} $ n)到C(I，$ \mathbb{R} $ n)的映射W为定理1 映射W是完备连续的.
证 证明与文献[2]中相应结论的证明过程类似.
定理2 (8)式的算子Σ是完备上半连续的.
证 证明与文献[2]中相应结论的证明过程类似.
定理3 假设(F1)，(F2)，(B)，(G)，(Q)和(Φ)这6个条件成立.如果
其中I=[0，h]，则(7)式至少有一个解.
证 依据定理2，Σ是完备上半连续的.为了利用引理3，我们还需证明集合C(I，
$ \mathbb{R} $ n)中任意一个以原点为圆心，$ \mathbb{R} $ ($ \mathbb{R} $ ＞0)为半径的球B$ \mathbb{R} $ 都满足Σ(B$ \mathbb{R} $ )⊂B$ \mathbb{R} $ .利用反证法，假设在C(I，$ \mathbb{R} $ n)里存在一个序列{xk}满足‖xk‖C≤k，yk∈Σ(xk)，‖yk‖C＞k对∀k∈$ \mathbb{N} $ +都成立，此时根据集值映射Σ的定义，可知存在fk∈PFp(xk)和gk∈PΦp(xk)，满足
对∀t∈I，因为
所以
所以
所以依据(10)式，我们有
这与前面的假设是矛盾的.定理3得证.
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