An Alternative Theorem for a Class of Cone Constrained Multiobjective Optimization Problems

无特别说明，本文总假设 $\mathbb{R}$ 为实数集， ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 为n维欧氏空间，X⊆ ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 为非空闭凸子集，C，D分别为 ${{\mathbb{R}}^{m}}$ 与 ${{\mathbb{R}}^{l}}$ 的闭凸点锥且具有非空内部intC≠∅，intD≠∅，映像f： ${{\mathbb{R}}^{n}}$ → ${{\mathbb{R}}^{m}}$ ，g： ${{\mathbb{R}}^{n}}$ → ${{\mathbb{R}}^{l}}$ 为向量值映射.设M为 ${{\mathbb{R}}^{m}}$ 的任意非空凸锥，则M的对偶锥定义为

对于函数ψ：X→ $\mathbb{R}$ ∪{±∞}，α∈ $\mathbb{R}$ ，集合

分别称为ψ的非负水平集与正水平集.

考虑如下约束多目标优化问题(简记为M OP)

记M OP的可行域为 $\mathscr{F}$ ={x∈X：g(x)∈D}.

下面介绍M OP的像及相关符号：设x∈X.定义映像 $\mathscr{A}$ _x： ${{\mathbb{R}}^{n}}$ → ${{\mathbb{R}}^{m}}$ × ${{\mathbb{R}}^{l}}$ 为

定义集合：

称集合 $\mathscr{K}$ _x为M OP在点x的像，如果空间 ${{\mathbb{R}}^{m}}$ × ${{\mathbb{R}}^{l}}$ 为M OP的像空间.

定义1 x ∈ $\mathscr{F}$ 称为M OP的弱有效解，如果

记M OP的弱有效解集为 $\mathscr{F}$ ^w.

定义2^[5] 若函数ω： ${{\mathbb{R}}^{m}}$ × ${{\mathbb{R}}^{l}}$ ×∏→ $\mathbb{R}$ 满足：

则称ω为正则弱分离函数，其中∏为参数集合.记所有正则弱分离函数的集合为 $\mathscr{W}$ _{$\mathscr{R}$} (∏).

定义3^[12] 设 $\mathscr{M}$ ∉Y.函数Δ _{$\mathscr{M}$} ：Y→ $\mathbb{R}$ ∪{±∞}，

称为定向距离函数，其中 ${d_{\mathscr{M}}}\left( y \right) = \mathop {\inf }\limits_{m \in {\cal \mathscr{M}}} {\mkern 1mu} \left\| {y - m} \right\|$ 为y∈Y到 $\mathscr{M}$ 的距离.

引理1^[13] 设 $\mathscr{M}$ 为Y的非空子集且 $\mathscr{M}$ ≠Y，则有：

（ⅰ）Δ _{$\mathscr{M}$} 为1-李普希兹实值函数，即对任意y₁，y₂∈Y，|Δ _{$\mathscr{M}$} (y₁)-Δ _{$\mathscr{M}$} (y₂)|≤‖y₁-y₂ ‖；

（ⅱ）对任意y ∈int $\mathscr{M}$ ，Δ _{$\mathscr{M}$} (y)＜0；

（ⅲ）对任意y ∈∂ $\mathscr{M}$ ，Δ _{$\mathscr{M}$} (y)=0，其中∂ $\mathscr{M}$ 为 $\mathscr{M}$ 的边界；

（ⅳ）对任意y ∈int(Y\ $\mathscr{M}$ )，Δ _{$\mathscr{M}$} (y)＞0；

（ⅴ） $\mathscr{M}$ ={y：Δ _{$\mathscr{M}$} (y)≤0}当 $\mathscr{M}$ 为闭集；

（ⅵ）Δ _{$\mathscr{M}$} 为凸的，若 $\mathscr{M}$ 为凸集；

（ⅶ）Δ _{$\mathscr{M}$} 为正齐次的，若 $\mathscr{M}$ 为锥；

（ⅷ）如果 $\mathscr{M}$ 为闭凸锥，则对任意y₁，y₂∈Y，y₁-y₂∈ $\mathscr{M}$ ⇒Δ _{$\mathscr{M}$} (y₁)≤Δ _{$\mathscr{M}$} (y₂)；

特别地，若int $\mathscr{M}$ ≠∅，y₁-y₂∈int $\mathscr{M}$ ⇒Δ _{$\mathscr{M}$} (y₁)＜Δ _{$\mathscr{M}$} (y₂).

引理2^[14] 设C⊆Y为闭凸点锥，且intC≠∅.则有：

（ⅰ）y∈C⇔y^*(y)≥0，∀y^*∈C^*；

（ⅱ）y∈intC⇔y^*(y)＞0，∀y^*∈C^*\{0}.

由MOP弱有效解及其像的定义，我们有如下结论：

引理3 x∈ $\mathscr{F}$ ^w当且仅当 $\mathscr{K}$ _x∩ $\mathscr{H}$ =∅，即不存在x∈X满足 $\mathscr{A}$ _x(x)∈ $\mathscr{H}$ .

在本节中，我们用定向距离函数Δ引入一类不同于文献[11]的正则弱分离函数，借助该类正则弱分离函数建立了一个择一定理.最后，通过择一定理在不涉及函数凸性的条件下得到了锥约束多目标优化问题弱有效解的充分和必要最优性条件.首先，定义如下非线性函数：

下面引理说明函数ω(u，v；λ)为一类正则弱分离函数.

引理4 ω∈ $\mathscr{W}$ _{$\mathscr{R}$} (∏)，其中∏=D^*.

证 对任意(u，v)∈ $\mathscr{H}$ 与λ∈D^*，u∈intC，v∈D，进而，由引理1与引理2，可得

故

于是有

反之，假设存在 $\left( \hat{u},\hat{v} \right)$ ∈ ${{\mathbb{R}}^{m}}$ × ${{\mathbb{R}}^{l}}$ \ $\mathscr{H}$ , 使得

由于 $\left( \hat{u},\hat{v} \right)$ ∈ ${{\mathbb{R}}^{m}}$ × ${{\mathbb{R}}^{l}}$ \ $\mathscr{H}$ ，则 ${\hat{u}}$ ∉intC或 ${\hat{v}}$ ∉D.

若 ${\hat{u}}$ ∉intC，由引理1(ⅲ)，(ⅳ)可得-Δ_C( ${\hat{u}}$ )≤0.取λ=0_Z^*，从而

与(1) 式矛盾!

若 ${\hat{v}}$ ∉D，则存在 ${\hat{\lambda }}$ ∈D^*且 ${\hat{\lambda }}$ ≠0使得 ${{{\hat{\lambda }}}^{\top}}\hat{v}$ ＜0.因为D^*为锥，则对任意4＞0，c ${\hat{\lambda }}$ ∈D^*，进而

与(1) 式矛盾!

综上所述，

从而

由定义2知，ω∈ $\mathscr{W}$ _{$\mathscr{R}$} (∏)，其中∏=D^*.

引理5 系统 $\mathscr{A}$ _x(x)∈ $\mathscr{H}$ ，x∈X与系统：

不可能同时成立.

证 若系统 $\mathscr{A}$ _x(x)∈ $\mathscr{H}$ , x∈X成立，则存在 ${\hat{x}}$ ∈X使得g( ${\hat{x}}$ )∈D且

由引理1与引理2，对任意μ∈D^*，有

于是有

故系统(2) 不成立.

反之，若系统(2) 成立.由引理4，有

故系统 $\mathscr{A}$ _x(x)∈ $\mathscr{H}$ ，x∈X不成立.

下面我们通过引理5研究约束多目标优化问题MOP弱有效解的充分和必要条件.

定理1 设x∈X.若存在 ${\hat{\mu }}$ ∈D^*，使得

则有x∈ $\mathscr{F}$ ^w.

证 由命题3可得结论.

定理2 设x∈X.则x∈ $\mathscr{F}$ ^w的充要条件为

证 充分性若(4) 式成立.于是有

假设x∉ $\mathscr{F}$ ^w，则存在 ${\tilde{x}}$ ∈ $\mathscr{F}$ ，使得

由引理1(ⅱ)，有

与(5) 式矛盾!故x∈ $\mathscr{F}$ ^w.

必要性 若x∈ $\mathscr{F}$ ^w，则

由于

所以

易知(6) 式等价于

故系统 $\mathscr{A}$ _x(x)=(f(x)-f(x)，g(x))∈ $\mathscr{H}$ ，x∈X不成立.由命题3， $\mathscr{K}$ _x∩ $\mathscr{H}$ =∅.联合引理4，对每一x∈X，存在μ∈D^*，使得

于是有

故由(7)，(8) 式，有

成立.