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近年来，关于微分方程的研究已经引起了广泛的关注(参见文献[1-2]).其中一个分支是关于复线性微分方程
解的性质的研究，主要关注的是方程(1)的解的增长性，其中Aj∈
$ \mathscr{H} $ (D)(j=0，1，…，k)，$\mathscr{ H} $ (D)={f：f在D上是解析的}，D={z∈$ \mathbb{C} $ ：|z|＜1}.通过Nevanlinna理论，文献[3-4]得到了一些关于解的快速增长的结果.文献[5-7]得到了一些关于解的慢速增长结果.文献[8-9]研究了非线性复微分方程解的增长性质，其中Aj∈
$ \mathscr{H} $ (D)(j=0，1，…，k)，给出了方程(2)的所有解析解属于给定空间(例如Qk空间、Hardy空间等)的一些充分条件.在研究方程(1)的解的慢速增长性中，常用Herold比较定理[10]和一些其它基于Carleson测度的方法[7].本文与以上方法不同，主要基于直接的积分估计.文献[11]给出了一些使得方程(1)的所有解和它们的导数属于Hω∞空间的充分条件，其中
ω是一个权重函数，满足ω：D→(0，∞)是有界可测的.如果对于所有的z∈D，有ω(z)=ω(|z|)，则称ω是径向的.若对于所有的p∈(0，∞)，有ω(z)=(1-|z|)p，则Hω∞=Hp∞.令
其中
$ \mathbb{N} $ 为自然数集，$ {{\omega }_{a}}(z)={{\left( \text{log}\left( \frac{\text{e}}{1-\left| z \right|} \right) \right)}^{-1}}, {{\omega }_{b}}(z)=1-\left| z \right| $ .在本文中，总假设径向权重ω：D→(0，∞)满足下面两个条件：
(f1)存在M=M(ω)∈(0，∞)，使得
(f2)存在常数ε∈(0，∞)，m=m(ω，ε)∈(0，∞)，使得
由(3)式知，存在Mj=Mj(ω，j)∈(0，M]和M0=M0(ω)∈(0，∞)，使得
和
为方便描述，特作以下记号：
j=0时，
记号中的ω，ωa，ωb，ωp，
$ \dot{\omega } $ h(1，2)，n(k，j)，$ \widetilde{\omega } $ h(1，2)，n(k，j)均为径向权重，其中n0=1，nj≥1(j=1，2，…，k)，nj≤nk(j=1，2，…，k-1).值得注意的是，若方程(2)是线性的，即nk=nj=1(j=0，…，k)，则类似Hω∞的定义，我们定义如下函数空间：
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引理 1[12] 设n=1，2，…，N，an≥0，则：
引理 2[11] 设ω：Δ→(0，∞)是一个径向权重且满足(3)式，则对于f∈
$ \mathscr{H} $ (D)有其中C∈[0，∞)为不依赖于z的常数，
$ {Q_k} = \mathop {\mathop \prod \limits^k }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {M_j} $ ，Mj为(5)式所定义.引理 3[11] 设ω：D→(0，∞)是一个径向权重，且存在常数ε∈(0，∞)，m=m(ω，ε)∈(0，∞)满足(4)式，则对于f∈
$ \mathscr{H} $ (D)有其中
$ \rho =\rho (\varepsilon , \left| z \right|)=\frac{1+\varepsilon \left| z \right|}{1+\varepsilon } $ ，C≥0为不依赖于z的常数.定义如下扩张函数：设f∈
$ \mathscr{H} $ (D)，令fr(z)=f(rz)，其中z∈D，r∈[0，1).引理 4[11] 设ω：D→(0，∞)是一个径向权重，且存在常数ε∈(0，∞)，m=m(ω，ε)∈(0，∞)满足(4)式.如果
$\underset{r\in \left[ 0, 1 \right)}{\mathop{\text{sup}}}\, {{\left\| {{f}_{r}} \right\|}_{H_{\omega }^{\infty }}}<\infty $ ，则f∈Hω∞且$ {{\left\| {{f}_{r}} \right\|}_{H_{\omega }^{\infty }}}=\underset{r\in \left[ 0, \text{ }1 \right)}{\mathop{\text{sup}}}\, {{\left\| {{f}_{r}} \right\|}_{H_{\omega }^{\infty }}} $ .引理 5 设径向权重ω(z)=ωah1(z)ωbh2(z)，则ω(z)满足(3)式和(4)式.
证 设s∈[0，1)，h1，h2∈
$ \mathbb{N} $ ，则由：得
做辅助函数F(s)=(log(1-s))h1(1-s)-h2，则
两边求积分，得
两边同乘-(log(1-r))-h1(1-r)h2，得
重复以上过程h1次，得
由(7)式得
于是径向权重ω满足(3)式和(4)式.
本文的主要目的是研究方程(2)的解析解，以及它们的导数属于空间Hω∞时系数需要满足的条件，主要证明了下面的结果：
定理 1 设径向权重ω在单位圆区域D上满足(3)式和(4)式.如果
$ {{A}_{j}}\in H_{{{{\dot{\omega }}}_{h\left( 1, 2 \right), n\left( k, j \right)}}}^{\infty }\left( j=0, 1, \cdots , k \right)$ ，且其中
$ {Q_k} = \mathop {\mathop \prod \limits^k }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {M_j} $ ，Mj为(5)式所定义，m和ε为(4)式所定义，则方程(2)的所有解析解属于Hω∞.定理 2 设径向权重ω在单位圆区域D上满足(3)式和(4)式.如果
${{A}_{j}}\in H_{{{\widetilde{\omega }}_{n, k, j}}}^{\infty }\left( j=0, 1, \cdots , k \right) $ ，且其中
$ {Q_k} = \mathop {\mathop \prod \limits^k }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {M_j}$ ，Mj为(5)式所定义，m和ε为(4)式所定义，则方程(2)的每个解析解的导数属于Hω∞.
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定理1的证明 设f是方程(2)的解析解，则
其中Bj(z)=Bj(z，r)=rknk-jnjAj(r z)，r∈[0，1).由引理5知，ω满足(3)式和(4)式.再由(8)式和引理2，有
运用引理1，有
再运用引理3，得
其中Cj，Ct1∈(0，∞)为不依赖于z的常数(j=1，…，k-1).若‖fr‖Hω∞≤1，则结论显然成立.因此设‖fr‖Hω∞＞1，由(9)式得
故
由引理4有f∈Hω∞.
定理2的证明 设f是方程(2)的解析解，由
得
运用引理2把f和k分别替换成f′和k-1，则有
由引理5，ω满足(3)式和(4)式，结合引理1、引理3、(8)，(10)和(11)式，得
其中
$ {{C}_{{{t}_{21}}}}=\left\| {{B}_{0}}\left( \xi \right) \right\|_{H_{{{\widetilde{\omega }}_{h\left( 1, 2 \right), n\left( k, 0 \right)}}}^{\infty }}^{\frac{1}{{{n}_{k}}}}{{\left| f\left( 0 \right) \right|}^{\frac{1}{{{n}_{k}}}}}\omega {{\left( \xi \right)}^{\frac{1}{{{n}_{k}}}}}, {{C}_{j}}, {{C}_{{{t}_{2}}}}\in \left( 0, \infty \right) $ 为不依赖于z的常数，j=0，…，k-1.若‖fr′‖Hω∞≤1，则结论显然成立.因此设‖fr′‖Hω∞＞1，由(12)式得故
由引理4有f′∈Hω∞.
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