Generalizations of Circuit Functions and Circuit Intervals in Closed Fuzzy Matroids

设E={x₁，x₂，…，x_N}是非空有限集合，则E上的模糊集μ是一个映射μ：E→[0, 1]. E上模糊集的全体记为F(E).文中使用的模糊数学的有关概念和符号主要参照文献[1].初等模糊集的概念使用较多，介绍如下：∀A⊆E，∀r∈(0，1]，称

为支撑集为A，高度为r的初等模糊集.

文献[11]通过独立集公理定义拟阵.文献[1]的定义1.2定义了模糊拟阵及其有关概念.

定理1^[1]  设M=(E，ℓ)是模糊拟阵，∀r∈(0，1)，令I_r={c_r(μ)|∀μ∈ℓ}，则M_r=(E，I_r)是E上的拟阵(称为由模糊拟阵M导出的r^-水平拟阵，简称导出拟阵).有有限实数列r₀＜r₁＜…＜r_n，使得：

(ⅰ) r₀=0，r_n≤1；

(ⅱ) 当0＜r≤r_n时，I_r≠{∅}；当r＞r_n时，I_r={∅}；

(ⅲ) ∀s，t∈(r_i，r_i+1)，I_s=I_t(0≤i≤n-1)；

(ⅳ) 若r_i＜s＜r_i+1＜t＜r_i+2，则I_s⊃I_t(0≤i≤n-2).

则称序列0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为M的基本序列.

对1≤i≤n，设$ \overline {{r_i}} $=(r_i+r_i-1)/2，称拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃M_r2=(E，I_r2)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)为M的导出拟阵序列.若M_r1=M_ri(i=1，2，…，n)，则称M是闭模糊拟阵^[1].

为了便于描述，我们统一规定M_r0=M₀=(E，I₀)，I₀={X|∀X⊆E}.当r_n＜1时，令r_n+1=1，M_rn+1=(E，I_rn+1)，I_rn+1={∅}.除特别说明外，我们的讨论主要针对r_n=1来进行，但同样适用于r_n＜1.有两种平凡的模糊拟阵，一种是I={∅}，另一种是I=F(E)(此种也称为自由模糊拟阵).以后的讨论中，不涉及这两种模糊拟阵.

文献[3]定义了模糊集截短μ_α^T、模糊拟阵的初等模糊圈、圈函数τ和针对闭模糊拟阵的圈区间，证明了一些模糊圈的结论.

设M=(E，ℓ)是模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为其基本序列，M_r1=(E，I_r1)⊃M_r2=(E，I_r2)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)为其导出拟阵序列.其中r_i=(r_i-1+r_i)/2，I_ri={C_ri(μ)|∀μ∈ℓ}i=1，2，…，n.

记ζ={μ∈F(E)|μ是M的模糊圈}，称ζ是模糊拟阵M的模糊圈集.记

$ \mathscr{C}$={C⊆E|存在r∈[0, 1]，使得C是M_r的圈}，称$\mathscr{C} $是模糊拟阵M的导出拟阵圈集.

定理2   设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，则M无非环模糊圈的充要条件是M有且只有一个模糊基.

证  首先证明必要性.

由M是闭模糊拟阵和文献[12]的定理1.10知，M存在模糊基，取其一个模糊基μ.令ν为M的任何一个模糊基，我们要证明μ=ν.

由文献[12]的定理1.9，有R⁺(μ)⊆{r₁，…，r_n}，R⁺(ν)⊆{r₁，…，r_n}.因此，由模糊集的分解定理^[13]得出

用文献[11]的定理2.1.1(增广定理)可以证明：对∀i(1≤i≤n)，C_ri(μ)都是C_ri-1(μ)在M_ri中的极大独立子集.

用文献[3]的定理2.2(ⅱ)和归纳法证明C_ri(μ)=C_ri(ν)(1≤i≤n).

所以，μ=ν.

再证充分性.如果M有且只有一个模糊基μ，则有

下面证明，M无非环模糊圈.

用文献[12]的定理1.10、文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明：对∀i(1≤i≤n)，C_ri(μ)都是M_ri的唯一基.

用文献[11]的定理2.1.1和归纳法可以证明：对∀i(1≤i≤n)，M_ri都没有非环圈.

最后证明M无非环模糊圈.反证，如果M有非环模糊圈μ，则C_m(μ)(μ)就是M_m(μ)的非环圈.

由I_m(μ)≠∅，存在i(1≤i≤n)，使得m(μ)∈(r_i-1，r_i]，则由定理1知M_m(μ)=M_ri.因此C_m(μ)(μ)是M_ri的非环圈，矛盾.

故M无非环模糊圈.

命题1(导出拟阵圈的连贯性)设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，取A∈ $\mathscr{C} $，如果A是M_ri和M_ri+2(假定i+2≤n)的圈，则A也是M_ri+1的圈.

证  由A是M_ri的圈，则A∉I_ri⊃I_ri+1，得出A是M_ri+1的相关集.又由A是M_ri+2的圈，则∀x∈A，都有A\{x}∈I_ri+2 I_ri+1.因此A是M_ri+1的圈.

定理3  设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，取A∈ $ \mathscr{C}$，则有两个整数j，k(j，k=0，1，2，…，n；j＜k)，使得：

(ⅰ)∀λ∈(r_j，r_k]，A都是M_λ的圈；

(ⅱ)∀λ∈[0, 1]\(r_j，r_k]，A都不是M_λ的圈.

证  根据$ \mathscr{C}$的定义知，必有r∈(0，1]，使得A是M_r的圈.也存在i(1≤i≤n或n+1，r_n＜1时，令r_n+1=1)，使得r∈(r_i-1，r_i].因此A是M_ri的圈.

令I₀=I_r0={X|X⊆E}(自由拟阵^[11]).

(ⅰ)我们先找j.考察A是否为M_ri-1(i-1＞0时)的圈.如果A不是M_ri-1的圈，则终止.如果A是M_ri-1的圈，则继续考察A是否为M_ri-2(i-2＞0时)的圈，以此继续.由于M_r0=(E，I_r0)无圈，因此，这个过程结束时，会找到j(j=0，1，2，…，i-1)，使得A是M_rj+1的圈，但不是M_rj的圈.

再找k.考察A是否为M_ri+1(i+1≤n时)的圈.如果A不是M_ri+1的圈，则终止.如果A是M_ri+1的圈，则继续考察A是否为M_ri+2(i+2≤n时)的圈，以此继续.由于n的有限性，会找到k(k=i，i+1，…，n)，使得A是M_rk的圈.如果k＜n，则A不是M_rk+1的圈.

根据前面的证明知，A是M_rj+1，…，M_ri，…，M_rk的圈.而且，∀λ∈(r_j，r_k]，必有l(l=j，…，k-1)，使得λ∈(r_l，r_l+1].根据导出拟阵的性质知，M_λ=M_rl+1.因此，A是M_λ的圈.

(ⅱ)∀λ∈[0，r_n]\(r_j，r_k]，我们采用反证法.如果存在λ，使得A是M_λ的圈，存在l，使得λ∈(r_l，r_l+1].根据λ的取法，必有l+1≤j＜k，或l≥k＞j且l≤n-1.又由于M_λ=M_rl+1，因此A是M_rl+1的圈.

当l+1≤j＜k时，A是M_rl+1和M_rk的圈.因此，由命题1，A也是M_rj的圈.这与j的选取矛盾.

当l≥k＞j且l≤n-1时，A是M_rk和M_rl+1的圈，而且l+1＞k.因此，由命题1，A是M_rk+1的圈.这与k的选取矛盾.即∀λ∈[0，r_n]\(r_j，r_k]，A都不是M_λ的圈.

如果r_n=1，前面已经说明∀λ∈[0, 1]\(r_j，r_k]，A都不是M_λ的圈.

如果r_n＜1，对∀λ∈(r_n，1]，由定理1，都有I_λ={∅}.所以，∀x∈E，{x}都是M_λ的圈(环).而且M_λ没有非环圈.

若|A|＞1，∀λ∈(r_n，1]\(r_j，r_k]，A不是M_λ的圈.

若|A|=1，A是M₁的圈(环).因此，与A对应的j≤n＜k，r_k=1(k=n+1). (r_n，1]\(r_j，r_k]=(r_n，1]\(r_j，1]=∅.没有λ使得λ∈(r_n，1]\(r_j，r_k].

定义1   设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为其基本序列，M_r1⊃M_r2⊃…⊃M_rn为其导出拟阵序列.设F(E)是E上的全体模糊集.构造映射π：F(E)→{r₀，r₁，…，r_n}×{r₀，r₁，…，r_n}如下：

∀μ∈F(E)，如果supp μ∉$ \mathscr{C}$，则定义π(μ)=(r₀，r₀)；如果supp μ∈ $\mathscr{C} $，根据定理3，可找到与之对应的唯一一对整数j，k(j，k=0，1，2，…，n；j＜k)，则定义π(μ)=(r_j，r_k).

我们称此映射π为广义圈函数.如果μ∈ζ，令(μ)=(r_j，r_k]，称之为μ的圈范围.

如果r_n＜1，令r_n+1=1，此时π的像集有稍微改变，π：F(E){r₀，r₁，…，r_n}×{r₀，r₁，…，r_n+1}.

从定义1可以看出，映射π的像取决于模糊圈的支撑集，而与其模糊隶属度没有本质联系.

由定理3和定义1，可以扩展文献[3]的定理3.4，得出如下定理：

定理4  设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为其基本序列，M_r1⊃M_r2⊃…⊃M_rn为其导出拟阵序列，∀μ∈ζ，圈范围为(μ)=(r_j，r_k]，都有：

(ⅰ)∀λ∈(μ)，supp μ都是M_λ的圈；

(ⅱ)∀λ∈[0, 1]\(μ)，supp μ都不是M_λ的圈；

(ⅲ) ∀λ∈[0，r_j]，supp μ∈I_λ；∀λ∈(r_k，1](如果r_k＜1)，supp μ∉I_λ；

(ⅳ) ∀r_i∈{r₁，…，r_n}，存在μ∈ζ，使得π(μ)=(r_i，β)或π(μ)=(α，r_i).

证  令A=supp μ.

(ⅰ)和(ⅱ)都可从定理3获知.

再来证明(ⅲ).若存在λ∈[0，r_j]，使得supp μ∉I_λ，则存在M_λ的圈C，使得C⊆supp μ.则ω(C，λ)，ω(supp μ，r_k)都是初等模糊圈，而且ω(C，λ)≤ω(supp μ，r_k).由文献[3]的定理2.8知，必有C=supp μ，即supp μ也是M_λ的圈.这与π(μ)的定义矛盾.所以supp μ∈I_λ.

∀λ∈(r_k，1](如果r_k＜1)，r_k＜λ，如果supp μ∈I_λ，则由supp μ∈I_λ⊆I_rk知，与supp μ是M_rk的圈矛盾.因此supp μ∉I_λ.

最后证明(ⅳ).当i＜n时，考察导出拟阵M_ri和M_ri+1.由于M_ri⊃M_ri+1，因此两个拟阵的圈集(分别为C_ri，C_ri+1)不能相同，而且M_ri+1必定有圈.

取M_ri+1的一个圈C，使其不是M_ri的圈，则取μ=ω(C，r_i+1)∈ζ.根据定义1，存在β∈{r₁，…，r_n}，使得π(μ)=(r_i，β).

如果没有这样的圈，则C_ri⊇C_ri+1.再取C∈C_ri\C_ri+1，则C是M_ri的圈，而非M_ri+1圈.取μ=ω(C，r_i)∈ζ，则由定义1，存在α∈{r₀，r₁，…，r_n-1}，使得π(μ)=(α，r_i).

当i=n时，考察导出拟阵M_rn.由于前面已经排除了自由模糊拟阵的情况，因此，M_rn必定有圈C.取初等模糊圈μ=ω(C，r_n)∈ζ.如果r_n=1，则有α∈{r₀，r₁，…，r_n-1}，使得π(μ)=(α，1)=(α，r_n).如果r_n＜1，由I_rn⊃{∅}知，必有x∈E，使得{x}不是M_rn的环，而是M₁=(E，{∅})的环.取μ=ω({x}，1)∈ζ，则π(μ)=(r_n，1).

下面，讨论广义圈函数、圈范围，与圈函数、圈区间的关系(圈函数与圈区间的符号来自文献[3]).

定理5   设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵，0=r₀＜r₁＜…＜r_n≤1为其基本序列，M_r1⊃M_r2⊃…⊃M_rn为其导出拟阵序列.∀μ∈ζ，有π(μ)=(r_j，r_k)，则τ(μ)=r_j且(μ)⊆(μ).

定理5可以通过定理4和定理2给予证明.

由此可以看出，广义圈函数和圈范围是圈函数和圈区间的推广.

下面，我们用广义圈函数来描述精细模糊拟阵^[2]和准模糊图拟阵^[14].

定理6  设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵.则M是精细模糊拟阵的充要条件是：∀μ∈ζ，都存在r_j(j=1，2，…，n)，使得π(μ)=(r_j，1).

文献[5]的定理11给出了准模糊图拟阵的充要条件.现在，我们使用推广圈函数和圈区间的概念，再给出一个充要条件：

定理7  设M=(E，ℓ)是闭模糊拟阵.则M是准模糊图拟阵的充要条件是：∀μ∈ζ，只要|supp μ|＞1，都存在r_k(k=1，2，…，n)，使得π(μ)=(0，r_k).

证  由广义圈函数的定义知：∀μ∈ζ，都存在r_j，r_k，r_j＜r_k，使得π(μ)=(r_j，r_k).因此，只需要证明：M是准模糊图拟阵⇔∀μ∈ζ且|supp μ|＞1，则r_j=0.

先证必要性.存在i(i=1，2，…，n)，使得m(μ)∈(r_i-1，r_i].由文献[3]的定理2.5，C_m(μ)=supp μ是M_m(μ)=M_ri的非环圈.再由准模糊图拟阵的定义知，supp μ也是M_r1的非环圈.因此，由定理3及其证明知，r_j＜r₁.即r_j=r₀=0.

再证充分性.任取M_ri(i=2，…，n)的非环圈C，构造模糊集ν=ω(C，r_i).则由文献[3]的定理2.5知，ν是M的模糊圈且|supp ν|＞1.由已知，存在r_k≥r_i＞r₁＞0，使得π(ν)=(0，r_k)，显然r₁∈(0，r_k].由定理4(ⅰ)知，C也是M_r1的非环圈.所以，M是准模糊图拟阵.

利用推广的圈函数和圈区间，可以研究模糊拟阵的许多问题.比如，使用现在的概念去讨论文献[15]的模糊圈的秩，可以得到更好的结论.