New Exact Solutions of Double Sine-Gordon Equation and Their Application

试探函数法^{[11-12, 14]}的核心思想是巧妙地运用某些初等函数作为非线性偏微分方程解的试探函数，从而可以获得这些方程的显式精确解. 假设u(x，t)=f(ξ)，ξ=x-αt，$\alpha \in \mathbb{R} $是方程(1)的解，则函数f=f(ξ)满足方程

利用试探函数法假设方程(2)的精确解的表达式为

通过计算可得

于是约化方程(2)变成

依据试探函数法的基本思想，假设方程(3)的显式精确解可写成

通过计算可得

把v，v^′，v^″的表达式代入方程(3)，计算整理得关于w的多项式函数方程，分别令w^j(j=0，1，…，8)的系数为零，得到关于待定参数v₀，a，b，c，d，α，k的非线性代数方程组

利用软件Matlab结合吴消元法，可求得方程组(4)的一组解为v₀=0，c=0，$\alpha=-\frac{1}{k^{2}}, d=\pm 2 \sqrt{a b} $，ab＞0. 因此，方程(3)的精确解可写成

所以方程(1)的行波解和方程(2)的精确解为

特别地若取a=b=1，则方程(1)的行波解和方程(2)的精确解的表达式为

类似地，利用试探函数法可求得方程(3)的精确解为

因此，方程(1)的行波解和方程(2)的精确解为

特别地若取a=-1，b=1，则方程(1)的行波解和方程(2)的精确解的表达式为

文献[3-8]没有给出方程(1)的显式行波解(5)-(8).

若令变换f=2ω，即$\omega=\frac{1}{2} f(\xi) $，ξ=x-αt，α为常数，则约化方程(2)转化成

在方程(9)两边同时乘以2ω^′，可得

然后两边同时关于ξ积分一次，记积分常数为c，于是有

1) 若取c=1， α＜0，ε=±1，则方程(10)变成

取$ \alpha=-\frac{1}{k^{2}}$，易验证方程(11)的精确解为

其中f=f(ξ)见(5)式.

2) 若取c=0，α＜0，ε=±1，则方程(10)变成

取$\alpha=-\frac{3}{k^{2}} $，易验证方程(13)的精确解为

其中f=f(ξ)见(7)式.

3) 若取$ c=\frac{9}{8}$，α＞0，ε=±1，则方程(10)变成

作三角函数代换，若令$\tilde{\omega}=\tan \frac{\omega}{2} $，即$\omega=2 \arctan \tilde{\omega}, \sin \omega=\frac{2 \tilde{\omega}}{1+\tilde{\omega}^{2}} $，则通过分离变量可求出方程(15)的一般解为

其中：$\tilde{\omega}_{1}=\frac{\varphi+1+2 \sqrt{\varphi^{2}-\varphi+1}}{\sqrt{3}(\varphi-1)}, \tilde{\omega}_{2}=\frac{\varphi+1-2 \sqrt{\varphi^{2}-\varphi+1}}{\sqrt{3}(\varphi-1)}, $$\varphi=\lambda \mathrm{e}^{\varepsilon \sqrt{\frac{3}{2\alpha}} \xi}, \lambda \in \mathbb{R}, \varepsilon=\pm 1 . $

从而利用(16)式与$\tilde{\omega}_{j}(j=1, 2) $的关系式和三角函数恒等式，可得

因此，方程(1)的显式行波解和方程(2)的显式精确解的表达式为

4) 若取c=1，α=1，ε=±1，则方程(10)变成

注意到通过分离变量，方程(19)可改写成

若令变换$ s=\sqrt{\cot ^{2} \omega-1}$，则该方程变成

两边同时积分得方程(19)的一般解为

从而方程(1)的行波解和方程(2)的显式精确解的表达式为

文献[3-8]没有给出方程(1)的显式行波解(18)和(21).

方程(11)，(13)，(15)和(19)是双sine-Gordon方程(1)和约化方程(2)的另一种被简化的变换形式，其对应的显式精确解分别为(12)，(14)，(16)和(20). 作为一种应用，这些变换方程及其相应的显式精确解可用来求解非线性偏微分方程

第一步：对变量x和t作行波变换，令ξ=x-αt，其中α为常数，表示波速. 假设u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt为方程(22)的解，于是方程(22)可转化为关于v=v(ξ)的常微分方程

第二步：假设方程(23)的精确解的表达式可写成以下3种形式中的一种

其中α，a₀，…，a_n是待定的未知实参数，ω=ω(ξ)满足方程(11)或(13)或(15)或(19)，n是正整数，可采用齐次平衡原理，通过平衡方程(22)中的非线性项和最高阶导数项而得到.

第三步：把表达式(24)代入方程(22)中，利用软件Matlab或Mathematica计算，可得到关于sinⁱω，sinⁱωcos^jω，cosⁱω(i，j=0，1，…)的多项式. 然后令多项式的各项系数为零，则进一步可获得关于待求实参数α，a₀，…，a_n的代数方程组.

第四步：确定常数α，a₀，…，a_n后，将方程(11)或(13)或(15)或(19)的对应解代入(24)式，即可获得非线性偏微分方程(22)的新精确解.

双sine-Gordon方法(24)与广义Tanh函数法^[9-10]的基本思想类似，但有时又比广义Tanh函数法更简洁，且能找到方程(22)的新精确解. 下面用双sine-Gordon方法(24)求解Burgers方程

这里β是耗散系数，方程(25)的背景和其它应用介绍可参见文献[10, 12]. 假设u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，$\alpha \in \mathbb{R} $是方程(25)的解. 因此，方程(25)变成

注意到方程(15)和(24)，平衡方程(26)中的项vv^′和v^″，于是假设方程(26)的精确解的表现形式可写成

这里ω满足变换方程(15)，其中ε=1. 于是把(27)式代入方程(26)，通过计算整理得关于a₀，a₁，α的代数方程

分别令sin³ω，sin²ωcosω，sinω，cosω的系数为零，解得a₀=α，$a_{1}=\frac{\beta}{\sqrt{2 \alpha}} $，α＞0. 类似地，若ω满足变换方程(15)，且选取ε=-1，则可解得a₀=α，$ a_{1}=-\frac{\beta}{\sqrt{2 \alpha}}$，α＞0. 注意到(27)式和ω满足方程(15)，而(16)是方程(15)的解，故直接利用(17)式的第一个三角恒等式，方程(25)的新显式行波解可写成

其中ξ=x-αt，α＞0，$\lambda \in \mathbb{R} $，ε=±1. 文献[9-12, 16-20]没有给出方程(25)的显式行波解(28). 显式行波函数(28)的取值仅与相ξ=x-αt，α＞0有关，当x→±∞时，可得到ξ→±∞. 若取ε=1，则

若取ε=-1，则

于是注意到(28)式可得$ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {u_j}(x, t)}$与${\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_j}(x, t)} $为有限值，j=1，2.

因此，显式行波解(28)收敛，即显式行波解(28)具有冲击波的特征. 显式行波解(28)的扭结型(kink)或反扭结型(ante-kink)依赖于(28)式中符号“±”和ε=±1的选取.

Korteweg和de Vries在研究浅水波的传播时建立了标准的KdV方程

并且探求出了方程(29)的孤立波解，KdV方程的常见其它形式参见文献[10-12, 15]，其一般形式为u_t+auu_x+bu_xxx=0，$a, b \in \mathbb{R} $，但标度变换并不改变方程本身的固有特性. 假设方程(29)的行波解可写成u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，其中α为常数，表示波速. 于是该行波变换将方程(29)化为关于ξ的常微分方程

将方程(30)两边关于ξ同时积分一次，并令积分常数为零可得

利用方程(30)注意到(24)式，平衡最高阶导数项v^′′′和非线性项vv^′推出n=2. 因此，可假设方程(30)的解的表达式为

其中ω满足变换方程(15)，而ε=1. 把(32)式代入方程(30)，计算整理之后分别令sin^2jω(j=0，1，…，8)和sin^2j-1ωcosω(j=1，…，8)的系数为零，可得关于b₀，b₁，b₂，α的代数方程组

利用吴消元法结合软件Matlab计算，可获得代数方程组(33)的一组解为$b_{0}=\frac{\alpha^{2}+3}{6 \alpha} $，b₁=0，$b_{2}=-\frac{1}{4 \alpha} $，α＞0. 因此，方程(29)的行波解为

采用(17)式可以写出行波解(34)的具体表达式，为了行文简洁省略其重复列举过程. 类似地，求解方程(31)也可以获得解(34)，但其中$\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2} $. 文献[9-13]没有给出显式行波解(34).

假设BBM方程

的行波解为u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，$\alpha \in \mathbb{R} $. 于是方程(35)约化为常微分方程(1-α)v^′+vv^′-αv^′′′=0. 类似地，可获得方程(35)的行波解为

其中ω=ω(ξ)见(16)式，利用(17)式可以写出行波解(36)的具体表达式，为了行文简洁省略其过程. 文献[21-24]没有给出显式行波解(36). 另外，类似地可探求变系数的BBM方程u_t+κu_x+βuu_x-γu_xxt=0，$\kappa, \beta, \gamma \in \mathbb{R} $的显式行波解.

首先找到了双sine-Gordon方程的许多新行波解，并且构造了一种求解非线性偏微分方程精确解的双sine-Gordon方法. 其次，利用构造的双sine-Gordon方法分别给出了Burgers、KdV和BBM方程的显式新精确解，并对找到的Burgers方程的新精确解的相关性质作了分析. 最后，构造的双sine-Gordon方法可用于求解其它非线性偏微分方程，如采用该方法可获得修正的BBM方程u_t+u_x+u²u_x+βu_xxt=0，β＞0的行波解为$u(x, t)=\pm \frac{\sqrt{3 \beta}}{2} \tan [\omega(\xi)] $，ξ=x-αt，$ \alpha=\frac{3 \beta+4}{4}$，其中ω见(16)式. 如何探求更多的双sine-Gordon方程(1)的解析求解方法和找到变换方程(10)的新精确解值得今后进一步探索，并且如何用它们找到非线性科学中许多具有实际意义和应用价值的非线性偏微分方程的新显式精确解值得在今后的工作中进一步研究和深思.