Existence of the Global Solution of a Cauchy Problem for the Rosenau Equation

目前，在国内外有很多波浪数值模拟的理论模型，比如缓坡方程、KdV方程、Navier-Stokes方程以及Boussinesq类水波方程等. 其中，荷兰数学家Korteweg和他的学生de Vries在研究浅水表面波运动时建立了KdV方程，它是能对包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统很好逼近的模型，并在理论上证实了孤立子波的存在性. KdV方程描述了与孤立子波的产生有关的一维非简谐晶格的振动问题. 近年来，人们对于KdV方程的初值问题做了大量工作，由于此方程是在假设弱非调和的条件下建立起来的模型，坡度和高振幅波的性态不能由KdV方程准确预知. 在对紧离散系统的研究中，KdV方程不能描绘波与波、波与墙的相互作用关系，为了弥补KdV方程的不足，文献[1-2]提出了Rosenau方程来处理紧离散动力系统. 它的两个经典方程为：

和

文献[3-8]给出了这两个方程解存在性和唯一性的大量结果. 文献[9]在有移动边界的区域里得到了方程(1)解的存在性.

本文将考虑方程(2)Cauchy问题解的存在性. 不失一般性，在方程(2)中，假设α₁=α₂=1，也即我们将研究如下Rosenau方程的Cauchy问题

其中：$x \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}^{+} $，γ＞0是正常数，f(u)=-β|u|^pu，β≠0. 在文献[10]中，当β＞0时，作者利用压缩映射原理得到了方程局部解的适定性. 当$ F(u)=\int_{0}^{u} f(z) \mathrm{d} z \geqslant 0$或f^′(u)有下界时，得到了问题(3)-(4)整体解的存在唯一性和解爆破的条件. 为界定初始能量，先给出文献[10]中关于问题(3)-(4)的一些结果，并引入势井深度.

引理1^[10]  假设$s>\frac{1}{2} $，ϕ，ψ∈H^s，则存在一个依赖于ϕ，ψ的最大时间T₀，满足对于任意的T＜T₀，问题(3)-(4)有唯一解. 而且，如果

则T₀=∞.

引理2^[10]  假设引理1的条件成立，T₀＞0是问题(3)-(4)解的最大存在时间，则对于所有的0＜T＜T₀，如下能量等式成立

这里$\left(-\partial_{x}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} u=\mathscr{F}^{-1}\left[|\xi|^{-1} \hat{u}(\xi)\right], \mathscr{F} $是Fourier变换，$E(0)=\frac{1}{2}\left[\left\|\left(-\partial_{x}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} u_{t}\right\|^{2}+\left\|u_{x t}\right\|^{2}+\left\|u_{x}\right\|^{2}+\right. $$\left.\gamma\|u\|^{2}\right]+\frac{\beta}{p+2} \int_{\mathbb{R}}|u|^{p} u \mathrm{~d} x $为初始能量.

我们引入如下能量函数

和函数

引理3(势井深度)  势井深度$d=\frac{p}{2(p+2)}\left(\beta C_{*}^{p+2}\right)^{-\frac{2}{p}} $，这里C_*是最佳Sobolev嵌入常数，即

证  由d的定义，我们得到$u \in \mathscr{N} $，这里$\mathscr{N}=\left\{u \in H^{1} \backslash\{0\} \mid I(u)=0\right\} $，即I(u)=0，所以

再由(8)式得到

另一方面，由(6)，(7)，(8)式和I(u)=0，有

即

当f(u)=-β|u|^pu时，作者建立稳定集和不稳定集，在初始能量E(0)＜d时和E(0)=d时，利用势井方法得到了方程整体有界解的存在性和爆破的条件. 文献[12]中研究了如下的Boussinesq方程

用同样的方法得到了方程(11)解的整体存在性和爆破. 但是这些文献都是在低初始能量E(0)＜d和临界初始能量E(0)=d的条件下进行讨论，所以很自然想到在初始能量E(0)＞0时对方程的整体解进行研究. 当β＞0时，文献[13]通过定义新的函数和势井法，在初始能量E(0)＞0时，得到了方程(3)整体解的存在性，但是这种方法不适合β≠0的情况. 我们将采用文献[14-16]中的方法，构建一个新的势井来讨论问题.

本文分别用L^p和H^s来表示空间$L^{p}({\mathbb{R}}) $和Sobolev空间$H^{s}({\mathbb{R}}) $，其范数分别为

其中

再定义一个空间

其范数为

通过(7)式，我们定义与文献[10]中不同的稳定集

不稳定集

和势井深度

对于满足u∈C¹((0，T)，H¹)，u_t∈C((0，T)，H)的解u(x，t)，为了在任意正能量时得到解的整体存在性，我们定义一个新的函数空间

下面证明本文中新定义的稳定集和不稳定集是不变集.

引理4(不变集)  假设f(u)=β|u|^pu，β≠0，ϕ∈H¹，ψ∈H，u(x，t)∈C¹([0，T₀)；H¹)是问题(3)-(4)的唯一解，这里T₀是解的最大存在时间. 如果E(0)＜d，则对于所有的t∈[0，T₀)：

1) 若ϕ∈K₁，则u(t)∈K₁且$\left\|u_{x}(t)\right\|^{2}+\gamma\|u\|^{2}<\frac{2(p+2) d}{p} $；

2) 若ϕ∈K₂，则u(t)∈K₂且$\left\|u_{x}(t)\right\|^{2}+\gamma\|u\|^{2}>\frac{2(p+2) d}{p} $.

证  因为1)和2)的证明是类似的，所以我们只需证明2). 假设u(t)是问题(3)-(4)满足E(0)＜d，ϕ∈K₂的任何一个局部弱解，T₀是解的最大存在时间，则由引理1可知E(u(t))=E(0)＜d. 所以只需证明I(u(t))＜0. 这里用反证法，假设存在一个t₁∈(0，T₀)满足I(u(t₁))≥0，由I(u(t))关于时间的连续性可知存在一个t_*∈(0，T₀)满足I(u(t_*))=0. 则由d的定义，得到

这与已知条件矛盾. 所以，当t∈[0，T₀)时，‖u_x‖²+γ‖u‖²＜-β‖u‖_p+2^p+2. 由(8)式可得

则由引理3和(14)式，可得

所以

其实对于1)，由I(t)和E(t)的定义有

如果I(u(t))＞0，则

所以，

得证.

利用本文新定义的不变集和文献[10]中的方法也能得到文献[10]中同样的结果，这里不再赘述.

本文的主要结果如下：

定理1  假设2≤s≤p+1，ϕ∈H¹，ψ∈H，如果

则问题(3)-(4)的解整体存在.

引理5  假设u(x，t)是问题(3)-(4)带初值条件(ϕ，ψ)(ϕ∈H¹，ψ∈H)的解，如果初值条件满足(15)和(17)，则当$u(x, t) \in \mathscr{W}_{T} $时，映射

是严格递减的.

证  我们定义

两边对t求导得到

由(3)式得到

其中X={u∈C¹((0，T)，H¹)∩C((0，T)，H)|u(x，0)=φ，u_t (x，0)=ψ}.

因为$ u(x, t) \in \mathscr{W}_{T}$，所以当t∈[0，T)时，

再由(17)式得到

所以F^′(0)＜0. 又因为F^′(t)＜F^′(0)＜0，即F^′(t)＜0，所以在区间[0，T)上

是严格递减的.

引理6  假设2≤s≤p+1，ϕ∈H¹，ψ∈H，u(x，t)是问题(3)-(4)在最大存在区间[0，T)满足u∈C¹((0，T)，H¹)，u_t∈C((0，T)，H)的弱解. 如果初始值满足(15)-(17)式，则$u(x, t) \in \mathscr{W}_{T} $.

证  我们将证明对任意的t∈[0，T)，$u(x, t) \in \mathscr{W}_{T} $.

反证法：假设存在第一个t_*∈(0，T)满足

和对任意的t∈[0，t_*)，

由(18)，(19)式和引理5可知F(t)和F^′(t)在区间(0，t_*)上都是严格递减的. 由(17)可得对所有的t∈(0，t_*)，

而且由$\left\|\left(-\partial_{x}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right\|^{2}+\left\|u_{x}\right\|^{2} $关于t的连续性，可知

另一方面，由(5)-(7)式和引理2，可得

由(5)式有

由下面的等式

和引理5可得

所以

显而易见，(18)和(21)式矛盾. 引理得证.

定理1的证明  由引理1，可知问题在最大存在区间[0，T)上有唯一的局部解. 假设u(x，t)是问题满足u∈C¹((0，T)，H¹)，u_t∈C((0，T)，H)和(15)-(17)式的弱解. 由引理6可得，$u(x, t) \in \mathscr{W}_{T} $，即当t∈[0，T)时，

因而，由引理2，(5)，(7)和(25)式，可得

由此可得u(x，t)和u_t(x，t)分别在空间C¹((0，T)，H¹)和空间C((0，T)，H)中是有界的. 所以由引理1可知T=∞，即问题的解整体存在.