Anti-Periodic Solutions for Discrete Systems with Generalized Exponential Dichotomy

在本文中，当a，b∈$\mathbb{Z}$且a < b时，记[a，b]={a，a+1，…，b}.对于线性系统

其中A：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d\times d}}$，x：$ \mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，Φ(n)是系统(1)的基本解矩阵，且满足Φ(0)=I.

定义1  若存在投影P，以及常数K，α>0，使得

则称系统(1)具有指数型二分性.

定义2^[9]  若存在投影P，常数K≥1，以及$\mathbb{Z}$上的非负函数α(n)，

使得

则称系统(1)具有广义指数型二分性.

注    若α(k)=α>0，则系统(1)具有指数型二分性.

例1^[9]     设$\mathrm{A}\left( n \right)=\left( \begin{matrix} b\left( n \right) & 0 \\ 0 & \frac{1}{b\left( n \right)} \\ \end{matrix} \right)$，其中0 < b(n)=b(-n) < 1，当n→∞时，b(n)单调趋近于1，则系统x(n+1)=A(n)x(n)具有广义指数型二分性，而不具有指数型二分性.

对于离散动力系统

其中x：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，F：$\mathbb{Z}\times {{\mathbb{R}}^{d}}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$.若存在N∈${{\mathbb{Z}}_{+}}$，对任意(n，x)∈$\mathbb{Z}\times {{\mathbb{R}}^{d}}$，

则称系统(2)为N-反周期系统.

若系统(2)的解x(n)满足

则称x(n)为系统(2)的N-反周期解.

命题1  若Φ(n)是系统(1)的基本解矩阵，且A(n+N)=A(n)，则Φ(n+N)也是系统(1)的基本解矩阵，且对任意m，n∈$\mathbb{Z}$有

证    由detΦ(n)≠0，Φ(n+1)=A(n)Φ(n)可知

故Φ(n+N)也是系统(1)的基本解矩阵，于是存在非奇异常矩阵C₀∈${{\mathbb{R}}^{d\times d}}$，使得

因此，

考虑N-反周期系统

其中：A：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d\times d}}$，A(n+N)=A(n)，N∈${{\mathbb{Z}}_{+}}$；f：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，f(n+N)=-f(n).记

命题2  设系统(1)具有广义指数型二分性，A(n+N)=A(n)，f(n+N)=-f(n)，且$\underset{n\in \mathbb{Z}}{\mathop{\sup }}\, N(n, \left| f \right|<+\infty $则

是系统(3)的一个有界N-反周期解.

证    显然x(n)是系统(3)的解，因为f(n+N)=-f(n)，所以根据命题1

因此x(n+N)=-x(n)，这说明x(n)是系统(3)的N-反周期解.

再证有界性.因为

所以x(n)是系统(3)的一个有界N-反周期解.

考虑N-反周期系统

其中：A：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d\times d}}$，x：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，A(n+N)=A(n)；g：$\mathbb{Z}\times {{\mathbb{R}}^{d}}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，g(n+N，x)=-g(n，-x).

设

其中x：$\mathbb{Z}\to {{\mathbb{R}}^{d}}$，并且定义X上的范数为$\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\| = \mathop {\max }\limits_{n \in \left[ {0,N - 1} \right]} \left| {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( n \right)} \right|$，则(X，‖·‖)为Banach空间.

定理1  设线性系统(1)关于投影P，常数K≥1以及非负函数α(n)具有广义指数型二分性，且A(n+N)=A(n)，N∈${{\mathbb{Z}}_{+}}$；g(n+N，x)=-g(n，-x)，对任意n∈$\mathbb{Z}x$，y∈${{\mathbb{R}}^{d}}$，

其中G(n)，r(n)是非负函数，B，L>0是常数，则系统(4)有唯一的有界N-反周期解.

证    考虑N-反周期系统

因为线性系统(1)关于投影P，常数K≥1以及非负函数α(n)具有广义指数型二分性，且N(n，G)≤B，根据命题2，系统(5)存在有界解

类似于命题2，对任意n∈$\mathbb{Z}$，当y(n+N)=-y(n)时，x(n+N)=-x(n).

定义映射T：X→X为

则T的不动点即为系统(4)的N-反周期解.对任意y₁，y₂∈X，

因此，

从而T是X上的压缩映射，根据Banach不动点定理，映射T有唯一不动点，从而系统(4)有唯一的有界N-反周期解.

定理2  设线性系统(1)关于投影P，常数K≥1以及非负函数α(n)具有广义指数型二分性，且A(n+N)=A(n)，N∈${{\mathbb{Z}}_{+}}$；g(n+N，x)=-g(n，-x)，g(n，x)关于x一致连续，对任意n∈$\mathbb{Z}$，x∈${{\mathbb{R}}^{d}}$，有

其中常数M>0，则系统(4)存在N-反周期解.

证    设X₀={x=x(n)∈X：‖x‖_∞≤M}，${\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\|_\infty } = \mathop {\sup }\limits_{n \in\mathbb{Z}} \left| {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( n \right)} \right|$，则X₀为Banach空间X的凸闭子集.

定义映射T为

因为对任何x=x(n)∈X₀，

因此T(X₀)⊂X₀且T是一致有界的，再由g(n，x)的一致连续性知T是连续映射.因为X₀是Banach空间X的有界闭凸集，所以$\overline{T\left( {{X}_{0}} \right)}$是X₀的紧集，从而T是全连续算子，根据Schauder不动点定理，系统(4)存在N-反周期解.