Four Positive Periodic Solutions of a Delayed Predator-Prey Systems with Holling-Ⅱ Type Functional Response and Harvesting Terms

引理1^[8](一般连续定理)若X和Z均为Banach空间，L：DomL⊂X→Z是一个零指标的Fredholm算子，N：Ω×[0, 1]→Z，(x，λ)↦N(x，λ)是一个L-压缩算子，连续映射P：X→X和Q：Z→Z满足ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，J：ImQ→KerL是一个同构映射.

(a) 对于任意λ∈(0，1)，x∈∂Ω∩DomL，有Lx≠λN(x，λ)；

(b) 对于任意x∈∂Ω∩KerL，有QN(x，0)≠0；

(c) deg{JQN(·，)|_KerL，Ω∩KerL，0}≠0.

则对于任意的λ∈[0，1)，方程Lx=λN(x，λ)在集合Ω上至少存在一个解，方程Lx=N(x，1)在Ω上至少存在一个解.

为了方便，令

其中f(t)是一个连续的ω-周期函数.

为了获得时滞Holling-Ⅱ型食饵-捕食系统(1)存在4个正周期解的充分条件，需做如下假设：

(H₁) r₁²e^ωr₁ > 4a₁₁ h₁，a₂₁>mr₂，

(H₂) ${\overline r _1} > {\overline a _{12}}k_2^ + + \sqrt {{{\overline a }_{11}}{{\overline h }_1}} \left( {1 + {{\rm{e}}^{w{{\overline r }_1}}}} \right)$，

(H₃)${\overline a _{21}} > \left( {{{\overline r }_2} + \sqrt {{{\overline a }_{22}}{{\overline h }_2}} \left( {1 + {{\rm{e}}^{\frac{w}{m}{{\overline a }_{21}}}}} \right)} \right)\left( {m + \frac{1}{{{k_1}}}} \right)$，

其中：

定理1  若条件(H₁)-(H₃)成立，则种群系统(1)至少存在4个ω-正周期解.

证  由指数变换x_i(t)=e^u_i(t)，i=1，2，将系统(1)改写为系统(2)：

接下来构造集合：

定义范数$\left\| \mathit{\boldsymbol{u}} \right\| = \left\| {{{\left( {{u_1}\left( t \right), {u_2}\left( t \right)} \right)}^{\rm{T}}}} \right\| = \max \left\{ {\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0, w} \right]} \left| {{u_1}\left( t \right)} \right|, \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0, w} \right]} \left| {{u_2}\left( t \right)} \right|} \right\}$，显然，集合X和Z是赋予范数‖·‖的Banach空间.

令：

和$L\mathit{\boldsymbol{u = \dot u}}$，$P\mathit{\boldsymbol{u = }}\frac{1}{w}\int {_0^w} \mathit{\boldsymbol{u}}\left( t \right){\rm{d}}t$，u∈X，$Q{\rm{z}} = \frac{1}{w}\int {_0^w} {\rm{z}}\left( t \right){\rm{d}}t$，z∈Z.

分析可知：KerL=${{\mathbb{R}}^{2}}$，ImL={z|z∈Z，$\int{_{0}^{w}}{\rm{z}}\left( t \right)\text{d}t=0$}是集合Z上的闭子集，dimKerL=co dimIm L=2，则L是一个零指标的Fredholm算子. L的广义逆算子K_p：lmL→KerP∩DomL为：${{K}_{\text{p}}}\left( {\rm{z}} \right)=\int{_{0}^{t}}\mathrm{z}\left( s \right)\text{d}s-\frac{1}{w}\int{_{0}^{w}\int{_{0}^{t}}}\mathrm{z}\left( s \right)\text{d}s\ \text{d}t$.所以

这里

显然，算子QN和K_p(I-Q)N是连续的，对于任意的有界开集Ω⊂X，QN(Ω×[0, 1])和K_p(I-Q)N(Ω×[0, 1])是相对压缩的，N是集合Ω×[0, 1]上L-压缩的.

为了运用引理1分析时滞Holling-Ⅱ型食饵-捕食系统(2)的周期解，我们需要找到合适的有界开区域Ω.接下来考虑方程Lu=λN(u，λ)，∀λ∈(0，1)，即

假设u_i(t)(i=1，2)是满足系统(4)的ω-周期解.则存在ξ_i，η_i∈[0，ω]，有${u_i}\left( {{\xi _i}} \right) = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0, w} \right]} {u_i}\left( t \right)$，${u_i}\left( {{\eta _i}} \right) = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0, w} \right]} {u_i}\left( t \right)$，i=1，2.

现在，将等式(4)的左右两边同时从0到ω积分可得

和

由等式(5)可知$\int {_0^w} \left( {{r_1}\left( t \right) - {a_{11}}\left( t \right){{\rm{e}}^{{u_1}\left( {t - {\tau _1}\left( t \right)} \right)}} - {h_1}\left( t \right){{\rm{e}}^{ - {u_1}\left( t \right)}}} \right){\rm{d}}t > 0$，又因为∀t∈[0，ω]，有

因此

由不等式(7)可得

因为

从而lnk₁^- < u₁(ξ₁) < u₁(η₁) < lnk₁⁺.

同理，由等式(6)可知：

从而，

由不等式(8)可得${\overline a _{22}}{{\rm{e}}^{{u_2}\left( {{\xi _2}} \right)}} + {\overline r _2} - \frac{{{{\overline a }_{21}}}}{m} < 0$，即${u_2}\left( {{\xi _2}} \right) < \ln \frac{{{{\overline a }_{21}} - m{{\overline r }_2}}}{{m{{\overline a }_{22}}}}$.

又因为∀t∈[0，ω]有${u_2}(t) = {u_2}\left( {{\xi _2}} \right) + \int {_{{\xi _2}}^t} {\overline u _2}\left( s \right){\rm{d}}s < {u_2}\left( {{\xi _2}} \right) + \frac{w}{m}{\overline a _{21}}$，所以${u_2}({\eta _2}) < {u_2}\left( {{\xi _2}} \right) + \frac{w}{m}{\overline a _{21}} < \ln \frac{{{{\overline a }_{21}} - m{{\overline r }_2}}}{{m{{\overline a }_{22}}}} + \frac{w}{m}{\overline a _{21}}: = \ln k_2^ + $.

同理，由等式(6)可知

从而

由不等式(9)可得${\overline h _2}{{\rm{e}}^{ - {u_2}\left( {{\eta _2}} \right)}} + {\overline r _2} - \frac{{{{\overline a }_{21}}}}{m} < 0$，即${u_2}\left( {{\eta _2}} \right) > \ln \frac{{m{{\overline h }_2}}}{{{{\overline a }_{21}} - m{{\overline r }_2}}}$.

又因为∀t∈[0，ω]，有${u_2}\left( t \right) = {u_2}\left( {{\eta _2}} \right) - \int {_t^{{\eta _2}}} {\overline u _2}\left( s \right){\rm{d}}s > \ln \frac{{m{{\overline h }_2}}}{{{{\overline a }_{21}} - m{{\overline r }_2}}} - \frac{w}{m}{\overline a _{21}}: = \ln k_2^ - $，所以$\ln k_2^ - < {u_2}\left( {{\xi _2}} \right) < {u_2}\left( {{\eta _2}} \right) < \ln k_2^ + $.

由式(5)可知$\int {_0^w({r_1}\left( t \right)} - {a_{11}}\left( t \right){{\rm{e}}^{{u_1}\left( {t - {\tau _1}\left( t \right)} \right)}} - {a_{12}}\left( t \right){{\rm{e}}^{{u_2}\left( t \right)}} - {h_1}\left( t \right){{\rm{e}}^{ - {u_1}\left( t \right)}}){\rm{d}}t < 0$，进一步可得

由${u_1}\left( {{\eta _1}} \right) < {u_1}\left( {{\xi _1}} \right) + w{\overline r _1}$和不等式(10)，可得

即

或

当${u_1}\left( {{\xi _1}} \right) < \ln \frac{{{{\overline r }_1} - {{\overline a }_{12}}k_2^ + - \sqrt {{{\left( {{{\overline r }_1} - {{\overline a }_{12}}k_2^ + } \right)}^2} - 4{{\overline a }_{11}}{{\overline h }_1}{{\rm{e}}^{w{{\overline r }_1}}}} }}{{2{{\overline a }_{11}}{{\rm{e}}^{w{{\overline r }_1}}}}}$时，

由条件(H₂)不难证明k₁^- < l₁^- < l₁⁺ < k₁⁺.

由等式(6)可知$\int {_0^w} \left( {{r_2}\left( t \right) + {a_{22}}\left( t \right){{\rm{e}}^{{u_2}(t - {\tau _3}\left( t \right)}} + {h_2}\left( t \right){{\rm{e}}^{ - {u_2}\left( t \right)}} - \frac{{{a_{21}}\left( t \right){k_1}}}{{1 + m{k_1}}}} \right){\rm{d}}t > 0$，从而

由${u_2}\left( {{\eta _2}} \right) < {u_2}\left( {{\xi _2}} \right) + \frac{w}{m}{\overline a _{21}}$和不等式(11)可得

即

或

当${u_2}\left( {{\xi _2}} \right) < \ln \frac{{\left( {\frac{{{{\overline a }_{21}}{k_1}}}{{1 + m{k_1}}} - {{\overline r }_2}} \right) - \sqrt {{{\left( {\frac{{{{\overline a }_{21}}{k_1}}}{{1 + m{k_1}}} - {{\overline r }_2}} \right)}^2} - 4{{\overline a }_{22}}{{\overline h }_2}{{\rm{e}}^{\frac{w}{m}{{\overline a }_{21}}}}} }}{{2{{\overline a }_{22}}{{\rm{e}}^{\frac{w}{m}{{\overline a }_{21}}}}}}$时，

由条件(H₃)不难证明k₂^- < l₂^- < l₂⁺ < k₂⁺.

通过以上分析可知，对于任意t∈[0，ω]，有

和

现在构造4个开集：

则Ω_i(i=1，2，3，4)是空间X的有界开子集，且Ω_i∩Ω_j=φ(i≠j，i=1，2，j=1，2).因此，Ω_i(i=1，2，3，4)满足引理1中条件(a).

接下来验证引理1的条件(b)是成立的.首先证明当u∈∂Ω_i∩KerL=∂Ω_i∩${{\mathbb{R}}^{2}}$时，QN(u，0)≠(0，0)^T成立，i=1，2，3，4.

利用反证法，假设u∈∂Ω_i∩KerL=∂Ω_i∩${{\mathbb{R}}^{2}}$时，QN(u，0)=(0，0)^T成立，i=1，2，3，4.即常向量u=(u₁，u₂)^T∈∂Ω_i，i=1，2，3，4.满足：

即

由系统(13)的第一个等式可得

不难验证lnk₁^- < u_1-^* < lnl₁^- < lnl₁⁺ < u₁₊^* < lnk₁⁺，则u∈Ω₁∩${{\mathbb{R}}^{2}}$或u∈Ω₂∩${{\mathbb{R}}^{2}}$或u∈Ω₃∩${{\mathbb{R}}^{2}}$或u∈Ω₄∩${{\mathbb{R}}^{2}}$.因此，此结论与u∈Ω_i∩R²矛盾，所以，引理1的条件(b)成立.

最后验证引理1的条件(c)是成立的.接下来，分析代数方程(12)的4个不同的解：(u₁₊^*，u₂₊^*)，(u_1-^*，u₂₊^*)，(u_1-^*，u_2-^*)，(u₁₊^*，u_2-^*)，这里

容易验证：(u₁₊^*，u₂₊^*)∈Ω₁，(u_1-^*，u₂₊^*)∈Ω₂，(u_1-^*，u_2-^*)∈Ω₃，(u₁₊^*，u_2-^*)∈Ω₄.

由于Ker L=lm Q，令J=I.由Leray-Schauder度的定义可得：∀i=1，2，3，4.有

以上分析证明Ω_i(i=1，2，3，4)满足引理1的所有条件.所以，系统(2)至少存在4个不同的ω-正周期解，即带有收获项的时滞HollingⅡ型食饵-捕食系统(1)至少存在4个不同的ω-正周期解.