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设{Xn，n≥1}是独立同分布的随机变量序列，其公共分布函数为F(x).记Mn=max1≤k≤nXk.对非退化分布函数G(x)存在实数序列
$ a_{n}>0, b_{n} \in \mathbb{R}, n \geqslant 1$ 使得则G(x)必为3大极值分布类型之一.
若(1)式成立，则称F属于G的吸引场，记为F∈D(G).相关研究详见文献[1-2]等.
文献[3]引进了偏正态逻辑斯蒂分布(简记为SNLD)，其对应的密度函数为
其中：
$G(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}\right), H(x)=(1+\exp (-x))^{-1} $ ，参数σ>0，β>0，$\lambda \in \mathbb{R} $ .当λ=0时，SNLD是期望为0，方差为σ2的正态分布.对数偏正态逻辑斯蒂分布是偏正态逻辑斯蒂分布的一种推广.若存在随机变量ξ服从偏正态逻辑斯蒂分布，η=exp(ξ)，则称η服从对数偏正态逻辑斯蒂分布.若f(x)为η的概率密度函数，易知其中参数σ>0，β>0，
$\lambda \in \mathbb{R} $ .最近，对新的分布函数和分布函数对数化的研究已经变成统计学中热点问题.文献[4-6]主要介绍了一些分布和对数分布的尾部性质和极值的高阶展开.
本文主要讨论了对数偏正态逻辑斯蒂分布的样本最大值的渐进展开.
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命题1 设F(x)，f(x)分别表示对数偏正态逻辑分布的分布函数和概率密度函数，则
(ⅰ)当λ>0，x>exp(
${\sigma ^2}\lambda {\beta ^{ - 1}} $ )时，有(ⅱ)当λ < 0，x>1时，有
证 由分部积分知
(ⅰ)当λ>0，x>exp(
${\sigma ^2}\lambda {\beta ^{ - 1}} $ )时，由(2)式得(ⅱ)当λ < 0，x>1时，由(2)式得
故由(3)，(4)式知命题成立.
由命题1，可得到下面的MILLs类型比率：
命题2 当
$x \to \infty $ 时，有命题3 设F(x)为对数逻辑分布的累计分布函数，对于充分大的x，则
(ⅰ)当λ>0，x>e时，有
其中
(ⅱ)当λ < 0，x>e时，有
其中
由文献[1]的推论1.7知F(x)∈D(λ)，规范常数an，bn可由
确定.
命题4 设(ξn，n≥1)为独立同分布对数偏正态逻辑分布序列.令Mn=max(ξi)，(i=1，2…)，则
其中
(ⅰ)当λ>0时，规范化常数
(ⅱ)当λ < 0时，规范化常数
证明方法类似文献[2]中定理1.2.3和定理1.5.1的证明.
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通过前面的讨论知对数偏正态逻辑斯蒂分布F∈D(λ)且规范常数an，bn满足(5)式.因此
$n \to \infty $ 时，下面给出服从对数偏正态逻辑斯蒂分布的独立随机变量序列最大值分布的渐进展开，并由此得到Δn(x)的点点收敛速度.
定理1 设F(x)是对数偏正态逻辑斯蒂分布函数，且an，bn满足(5)式，则
$n \to \infty $ 时，有(ⅰ)当λ>0时，
其中
$k_{1}(x)=-\frac{1}{2} \sigma^{2} x^{2} \exp (-x), w_{1}(x)=\left(-\frac{1}{8} \sigma^{4} x^{4}+\frac{1}{3} \sigma^{4} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+x\right) \exp (-x) $ .(ⅱ)当λ < 0时，
其中
为了证明定理1，给出下面两个引理.
由命题1的证明过程易得：
引理1 对于充分大的x，有
引理2 令G(bn；x)=F(anx+bn)，g(bn；x)=nlnG(bn；x)+exp(-x).其中规范化常数an，bn满足(5)式，则
(ⅰ)当λ>0时，
(ⅱ)当λ < 0时，
其中ki(x)，wi(x)(i=1，2)定义见定理1.
证 当λ>0时，规范化常数an，bn满足(5)式，当
$n \to \infty $ 时，由(6)式易知令
则
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } A\left( {{b_n}} \right) = 1$ 且由(9)式得
通过(7)式有
结合(8)，(10)和(11)式，有
(ⅱ)类似(ⅰ)可证.
定理1的证明 由引理2知
$x \to \infty $ 时，g(bn；x)$ \to $ 0且因此
定理1得证.
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