本文研究Kirchhoff方程

其中V∈C($\mathbb{R}$³，$\mathbb{R}$)，g∈C($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)，a和b是正常数.

由于非局部项$\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2 \mathrm{~d} x$的存在，Kirchhoff问题被视为非局部问题. 关于这类方程的正解、多解和基态解的研究可参见文献[1-8]. 近年来，Kirchhoff方程的变号解受到广泛关注. 文献[9]在g(x，t)满足次临界条件的情形下，利用极大极小方法和下降流不变集得到了Kirchhoff方程的变号解. 文献[10]利用Nehari流形和变分法得到了带临界指数的Kirchhoff方程的基态变号解. 文献[11]在g(|x|，t) 满足4-超线性增长条件的情况下，得到了方程(1)仅变号k次的径向解. 文献[12]利用不变集和Ljusternik-Schnirelman型极大极小方法，得到了方程(1)的无穷多个变号解. 文献[13]在如下AR条件(G)成立时，得到了方程(1)的基态变号解：

(G) 存在μ>2，使得tg(t)≥μG(t)>0对于所有t≠0成立，其中$G(t)=\int_0^t g(s) \mathrm{d} s$.

我们把条件(G)减弱为以下条件：

(g₁) 存在μ>2，使得tg(t)-μG(t)≥-υt²对于所有t≠0成立，其中υ>0充分小.

在本文中，假设V∈C($\mathbb{R}$³，$\mathbb{R}$)和g∈C($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)分别满足如下条件：

(V₁) $\inf\limits _{x \in \mathbb{R}^3} V(x)=V_0>0$；

(V₂) V(x)∈C($\mathbb{R}$³，$\mathbb{R}$)是径向对称且可微的，$(\nabla V(x), x) \in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^3\right) \cup L^{\frac{3}{2}}\left(\mathbb{R}^3\right)$. 此外，存在μ>2，使得

(g₂) g∈C($\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)并且$\lim\limits _{t \rightarrow 0} \frac{g(t)}{t}=0$；

(g₃) $\lim\limits _{|t| \rightarrow \infty} \sup \frac{|g(t)|}{|t|^{p-1}}<\infty$，p∈(2，6).

显然，条件(g₁)比(G)弱. 本文利用文献[13]的思想，在上述条件(V₁)-(V₂)和(g₁)-(g₃)下，仍然得到了方程(1)的基态变号解.

记Hilbert空间

其内积定义为

其范数为

方程(1)对应的能量泛函为

方程的解与泛函的临界点一一对应. 本文用C，C_i表示各种正常数. 记S为最佳Sobolev常数：

本文的主要结果如下：

定理1  假设条件(V₁)-(V₂)和(g₁)-(g₃)成立，则方程(1)至少有一个径向对称的基态变号解.

由于4-超线性Ambrosetti-Rabinowtiz条件不成立，导致PS序列的有界性难以得到，所以需要引入一个扰动问题来克服这种困难. 设$\alpha \in\left(0, \frac{\mu-2}{3 \mu+2}\right)$，固定λ，β∈(0，1]，$r \in\left(\max \left\{p, \frac{9}{2}\right\}, 6\right)$. 考虑如下扰动问题：

其中

与之有关的能量泛函为

引理1  设u是J_λ，β在E中的临界点，(λ，β)∈(0，1]×(0，1]，则

作为Lax-Milgram定理的应用，对于每一个u∈E，方程

都有唯一的弱解v∈E. 为了构造J_λ，β的下降流，引入一个辅助算子

其中v=T_λ，β(u)是方程(5)唯一的弱解. 由文献[13]可知，算子T_λ，β具有以下性质：

(ⅰ) T_λ，β是连续且紧的；

(ⅱ) ∀u∈E，J′_λ，β(u-T_λ，β(u))≥‖u-T_λ，β(u)‖²；

(ⅲ) ∀u∈E，‖J′_λ，β(u)‖²≤‖u-T_λ，β(u)‖(1+C₁‖u‖²+C₂‖u‖^2α)；

(ⅳ) (λ，β) ∈(0，1]×(0，1]，c < d，τ>0，若J_λ，β(u)∈[c，d]，‖J′_λ，β(u)‖≥τ，则存在δ>0，使得‖u-T_λ，β(u)‖≥δ.

为了得到变号解，令

对于任意的ε>0，设

容易验证W是E中开的对称子集，并且E\W只包含变号解. 记

与文献[14]中引理2.4的证明类似，可以得到当ε∈(0，ε₀)时，方程(3)的所有变号解都包含在E\W中.

引理2^[15](形变引理)  设S⊂E，c∈$\mathbb{R}$，ε，δ>0，满足

其中

则对于0 < ε < ε₁ < ε₀，存在映射η∈C([0, 1]×E，E)，使得：

(ⅰ) η(t，u)=u，当t=0或者u∉J_λ，β^-1([c-2ε₁，c+2ε₁])时成立；

(ⅱ) η(1，J_λ，β^c+ε∩S)⊂J_λ，β^c-ε；

(ⅲ) ∀u∈E，J_λ，β(η(·，u))是非增的；

(ⅳ) $\forall t \in[0, 1], \eta\left(t, \widetilde{P}_{\varepsilon}^{+}\right) \subset \widetilde{P}_{\varepsilon}^{+}, \eta\left(t, \widetilde{P}_{\varepsilon}^{-}\right) \subset \widetilde{P}_{\varepsilon}^{-}$；

(ⅴ) ∀t∈[0, 1]，若J_λ，β(·)是偶泛函，则映射η(t，·)是奇的.

定义1 ^[16]   如果下列形变性质成立：若K_c\W=$\varnothing$，其中W=P∪Q，则存在ε₀>0，使得η∈C(E，E)满足：

(a) $\eta(\widetilde{P}) \subset \widetilde{P}, \eta(\widetilde{Q}) \subset \widetilde{Q}$；

(b) η|_I^c-2ε=id；

(c) η(I^c+ε\W)⊂I^c-ε.

则{P，Q}是c水平集上关于I的可容许不变集族.

引理3 ^[16]  假设{P，Q}是c水平集上关于I的可容许不变集族，其中$c \geqslant c^*=\inf\limits _{u \in \partial P \cap \partial Q} I(u)$，并且存在一个连续映射Ψ₀：$\triangle \longmapsto E$满足：

(ⅰ) Ψ₀(∂₁△)⊂P，Ψ₀(∂₂△)⊂Q；

(ⅱ) Ψ₀(∂₀△)∩M=$\varnothing$，其中M=P∩Q；

(ⅲ) $\sup \limits _{u \in \varPsi_0\left(\partial_0 \triangle\right)} I(u)<c^*$.

其中

定义$c=\inf\limits _{\varPsi \in \varGamma} \sup \limits _{u \in \varPsi(\Delta) \backslash W} I(u)$，其中

则c≥c^*，K_c\W≠$\varnothing$.

定理1的证明

我们将利用引理3证明方程(3)存在变号解，再通过取极限得到方程(1)的基态变号解. 设P=P_ε⁺，Q=P_ε^-，I=J_λ，β，S=E\W. 由引理2可知，{P_ε⁺，P_ε^-}是泛函J_λ，β在c水平集上的可容许不变集族. 下面将分3步来完成定理1的证明.

步骤1   取v₁，v₂∈C_0，r^∞(B₁(0))，使得supp(v₁)∩supp(v₂)=$\varnothing$，其中v₁ < 0，v₂>0，B_r(0)={x∈$\mathbb{R}$³：|x| < r}. 当(t，s)∈△时，设

显然

由文献[13]的引理3.10可知，对任意的u∈∂P_ε⁺∩∂P_ε^-，$J_{\lambda, \beta}(u) \geqslant \frac{\varepsilon^2}{4}$. 因此，$c^*=\inf\limits _{u \in \partial P_{\varepsilon}^{+} \cap \partial P_{\varepsilon}^{-}} J_{\lambda, \beta}(u) \geqslant \frac{\varepsilon^2}{4}$. 设u_t=φ₀(t，1-t)，t∈[0, 1]. 我们有

当u∈φ₀(∂₀△)时，‖u_t‖₂²≥$\ell$R. 对任意固定的u∈M=P_ε⁺ ∩P_ε^-，

所以，存在m>0，使得‖u‖_q≤ mε. 因此，φ₀(∂₀△)∩P_ε⁺ ∩P_ε^-=$\varnothing$. 通过直接计算可以得到

由条件(g₃)可知，对于任意的t∈$\mathbb{R}$，存在正常数C₃，C₄，使得G(t)≥-C₃|t|^p-C₄. 结合(1)式、(4)式和(6)式可以得到

因为$r \in\left(\max \left\{p, \frac{9}{2}\right\}, 6\right)$，所以当R趋于正无穷时，J_λ，β(u_t)趋于负无穷. 因此，存在充分大的R使得

根据以上分析可知，J_λ，β满足引理3的条件，所以$c_{\lambda, \beta}=\inf\limits _{\varphi \in \varGamma} \sup \limits _{u \in \varphi(\Delta) \backslash W} J_{\lambda, \beta}(u)$是J_λ，β的临界值，c_λ，β≥c^*. 因此，存在u_λ，β∈E\(P_ε⁺ ∪P_ε^-)，使得J_λ，β(u_λ，β)=c_λ，β，J′_λ，β(u_λ，β)=0.

步骤2   取λ和β趋于0. 根据c_λ，β的定义，对于任意的(λ，β)∈(0，1]×(0，1]，有

不失一般性，假设λ=β. 取序列{λ_n}⊂(0，1]满足λ_n趋于0⁺，则存在J_λn，βn的临界点序列{u_λn}(仍记为{u_n})使得J_λn，βn(u_n)=c_λn，βn. 下面要证{u_n}在E中有界. 由J_λ，β的定义可以得到

此外，由引理1可得

用4，$-\frac{1}{\mu}$，-1分别乘(8)式、(9)式、(10)式，最后相加得到

因为$\alpha<\frac{\mu-2}{3 \mu+2}$并且μ>2，结合条件(V₂)和(7)式可得

又由条件(g₁)可知

利用Sobolev连续嵌入，

因此，当υ>0充分小时，

则存在正常数C₅，使得

此外，结合(2)式、(7)式和(8)式以及假设条件(V₁)，(g₂)，(g₃)，可以得到：对任意的ε>0，存在C_ε>0，使得

由插值不等式、Sobolev不等式和Young不等式，可以推出对任意的ε>0，存在$\widetilde{C}_{\varepsilon}>0$，使得

结合(11)式、(12)式和(13)式，可知{u_n}在E中有界. 又因为

并且，对于任意的Ψ∈C₀^∞($\mathbb{R}$³)，

所以，{u_n}是J在c^*水平集上的有界PS序列. 因此，存在u^*∈E，使得{u_n}在E中弱收敛到u^*，{u_n}在L^q($\mathbb{R}$³)中强收敛到u^*，q∈(2，6).

因为{u_n}在E中有界，所以

由条件(g₂)，(g₃)可得：对任意的ε>0，存在C_ε>0，使得|g(t)|≤ε|t|+C_ε|t|^p-1. 结合Hölder不等式，有

因此

由〈J′(u_n)-J′(u^*)，u_n-u^*〉0可知，{u_n}在E中强收敛到u^*，此外，J′(u^*)=0. 所以由u_n∈E\(P_ε⁺ ∪P_ε^-)可以得到u^*∈E\(P_ε⁺ ∪P_ε^-)，因此，u^*是方程(1)的变号解.

步骤3   定义

根据步骤2的证明过程可知Θ≠$\varnothing$，c≤ c^*. 由c的定义，存在序列{u_n}∈Θ，使得J(u_n)→c，J′(u_n)=0，u_n^±≢0. 根据步骤2的讨论，J_λ，β在c_λ，β水平集上的有界PS序列也是J在c^*水平集上的有界PS序列，所以，{u_n}在E中有界，并且由上一步的结论可知，{u_n}在E中强收敛到u，所以J(u)=c，J′(u)=0. 此外，由〈J′(u_n)，u_n^±〉=0可推断出：对于任意的0 < ε < 1，存在C_ε>0，使得

根据Sobolev不等式，有

由{u_n}在E中有界并且p>2可知，$\int_{\mathbb{R}^3}\left|u_n^{\pm}\right|^p \mathrm{~d} x \geqslant C$，所以$\int_{\mathbb{R}^3}\left|u^{\pm}\right|^p \mathrm{~d} x \geqslant C$. 因此u^±≢0. 由以上分析可知u∈Θ并且$J(u)=\inf\limits _{v \in \varTheta} J(v)$，即J(u)≤J(v)(∀v∈Θ). 因此，u是方程(1)的基态变号解. 定理1的证明完成.