-
霍乱是全球公共卫生和疾病防控体系最为关注的疾病之一，它具有高致病性和快速传播性等特点，若治疗不及时重症患者死亡风险高，所以对其进行理论分析并进行模拟仿真来研究就显得尤为重要. 文献[1]创立了SIR仓室模型来研究传染病；文献[2]提出一个较为简单的霍乱模型；文献[3]强调了水源环境成分的重要性，提出了SIRB流行病模型，其中B代表霍乱弧菌在水中的浓度；文献[4]提出了一类以隔离和接种参数为控制策略的霍乱动力学传播数学模型，并通过数学分析证明了该模型的解在一定区域内唯一存在、正且有界；文献[5]建立并分析了一个非线性反应扩散模型，以捕捉人类宿主和细菌在空间异质性环境中的运动效果. 更多相关文献可参考文献[6-8].
时滞在传染病的传播过程中扮演着重要的角色，研究带有时滞的传染病模型更具有实际意义. 文献[9]考虑了一个具有离散时滞的微分时滞模型，模型中的时滞代表了带菌者成为传染性疾病所需的潜伏期，除此之外他们研究了时滞对平衡点稳定性的影响等；文献[10]建立了一个带有非线性时滞的传染病模型，研究表明当时滞超过一定阈值时，模型的稳定性会发生变化，产生Hopf分支；文献[11]构建了含时滞的霍乱模型，并证明了当R0 < 1时在特定的条件下模型的无病平衡点是全局渐近稳定的，当R0>1时模型的地方病平衡点也是全局渐近稳定的；文献[12]研究了一个具有时滞的霍乱模型的全局动力学，以证明时滞的影响；文献[13]在水源性传染病模型中加入媒体效应的影响，构造了带媒体效应的多时滞水源性模型，同时研究了媒体效应和多种不同时滞对水源性传染病传播的影响. 更多相关文献可参考文献[14-15].
本文为了更真实地反映霍乱的传播过程，考虑疾病在易感者体内要潜伏一段时间，在文献[14]的基础上，增加时滞因素，建立带时滞的传染病模型，然后通过分析模型系统相应的特征方程来研究两类平衡点的局部稳定性. 进一步构造两个Lyapunov函数来对模型的无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性进行研究.
全文HTML
-
在文献[14]的基础上，增加时滞因素，建立如下时滞模型：
其中：S(t)，I(t)，R(t)分别表示易感者、染病者、移出者；W(t)表示水环境中霍乱弧菌的浓度；Λ表示总人口潜入率，βI，βw分别表示受污染的环境与人和人与人之间的接触率，ξ表示细菌死亡率，α表示脱落率，μ表示死亡率，γ表示感染者复原率，所有参数均为正；τ是正常数，表示疾病潜伏期. 处于潜伏期的患者不表现出传染性.
由于方程(1)-(3)的独立性，故在后文的计算中不考虑方程(4).
定义Banach空间中的连续函数
$\psi:[-\tau, 0] \longrightarrow \mathbb{R}_{+}^3 \text { 且模为 }\|\psi\|=\sup\limits _{-\tau \leqslant\theta\leqslant 0}\left\{\left|\psi_1(\theta)\right|, \left|\psi_2(\theta)\right|, \left|\psi_3(\theta)\right|\right\}, $ 其中$\psi=\left(\psi_1, \psi_2, \psi_3\right) $ .模型(1)-(3)的初始条件为
根据文献[14]知模型有唯一的正无病平衡点
$\boldsymbol{E}_0=\left(\frac{\mathit{\Lambda}}{\mu}, 0, 0\right)^{\mathrm{T}} $ ，唯一的正地方病平衡点$\boldsymbol{E}^*=\left(S^*, I^*, W^*\right)^{\mathrm{T}} $ 表示为基本再生数
-
本节针对时滞模型(1)-(3)的平衡点的稳定性进行讨论.
-
当τ=0时，模型(1)-(3)可简化为Wang和Modank[14]的模型，根据他们的工作，可直接得出以下结果：
定理1 当R0 < 1且τ=0时，模型(1)-(3)的无病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的.
定理2 当R0>1且τ=0时，模型(1)-(3)的地方病平衡点是局部渐近稳定和全局渐近稳定的.
-
定理3 当R0 < 1且τ>0时，模型(1)-(3)的无病平衡点是局部渐近稳定的.
证 将模型(1)-(3)在无病平衡点E0处线性化后，得到一个负的特征解λ=-μ，其他根的特征方程为
其中
将(7)式重新整理为
设(8)式的左右两边分别为G(λ)和H(λ). 从而有
$G(0)=0 \text { 且 } \lim\limits _{\lambda \rightarrow \infty} G(\lambda)=\infty $ ，因此G(λ)是λ的递增函数. H(λ)是关于λ的递减函数，当R0 < 1时，$H(0)=\xi(\mu+\gamma)\left(R_0-1\right) \leqslant 0 $ . 因此，(8)式有非负实根. 如果(7)式有非负实部的根，则它们必须是复数，并且是成对的共轭复根. 因此，当τ>0，由(7)式可以得到一对纯虚解.假设iω (ω>0)是方程(7)的根，ω满足下式
将(9)式分离实部和虚部可得
将(10)式中两个式子平方相加，
从而有
这意味着方程(11)没有正根，因此不会得到满足方程(7)的解. 根据Rouche’s定理[15]，当R0 < 1时，E0是局部渐近稳定的. 接下来，我们将分析模型(1)-(3)无病平衡点E0的全局稳定性.
定理4 当R0 < 1时，模型(1)-(3)的无病平衡点是全局渐近稳定的.
证 由(3)式可知
考虑如下的Lyapunov函数：
其中
$ I_t(\theta)=I(t+\theta), \theta \in[-\tau, 0]$ ，易知V1(t)显然是有界的，计算V1(t)沿模型(1)-(3)的解的全导数，可得显然当R0 < 1时,
$\frac{\mathrm{d} V_1(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 $ ，证毕.接下来研究τ>0时，地方病平衡点
$\boldsymbol{E}^*=\left(S^*, I^*, W^*\right) $ 的稳定性，为了简化代数运算，令$P^*=\beta_I I^*+\beta_w W^* $ ，得到线性化方程的特征多项式为其中
λ是(16)式的一个根，将λ=iω (ω>0)代入(16)式中，分离实部和虚部，最终得到以下两个超越方程：
将(17)式和(18)式平方相加得
令ω2=x，则
其中
容易验证得B1≥0，B3≥0.
定理5 当R0>1，τ>0时，若B2≥0，模型(1)-(3)的地方病平衡点E*是局部渐近稳定的.
证 为了证明地方病平衡点E*是局部渐近稳定的，须证明方程(20)没有正实根. 实际上，如果我们对F(x)求关于x的导数
$F^{\prime}(x)=3 x^2+2 B_1 x+B_2 $ ，方程$F^{\prime}(x)=0 $ 的根可解为$ x_{1, 2}=\frac{-B_1 \pm \sqrt{B_1^2-3 B_2}}{3}$ ，如果B2>0，那么$\sqrt{B_1^2-3 B_2}<B_1 $ . 因此x1，x2都不是正的，可以得出方程$F^{\prime}(x)=0 $ 没有正根. 同样的，假设F(0)=B3≥0，意味着方程(20)没有正实根. 因此，不存在ω，使得iω是特征方程(16)的特征值. 根据Rouche’s定理[15]，当τ>0时，(16)式的所有特征值的实部均为负. 证毕.接下来，我们将证明当R0>1且τ>0时模型(1)-(3)的全局稳定性.
定理6 当R0>1，τ>0时，模型(1-3)的地方病平衡点E*是全局渐近稳定的.
证 令函数
$g(t)=t-1-\ln t \geqslant 0 \text {, 且 } g(t)=0 \text { 当且仅当 } t=1 $ .考虑以下Lyapunov函数：
易知V2(t)也是有界的，对V2(t)沿模型(1)-(3)的解求全导数，可得
显然，对于S(t)>0有
$2-\frac{S(t)}{S^*}-\frac{S^*}{S(t)} \leqslant 0 $ ，因此，可以证明$\frac{\mathrm{d} V_2(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant 0 $ ，证毕.
2.1. τ=0时平衡点的稳定性
2.2. τ>0时平衡点的稳定性
-
本文构建带有时滞项的霍乱模型. 首先，对于任意大于0的时滞都通过分析霍乱模型对应的特征方程，研究了模型的无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性. 进一步巧妙地构造两个合适的Lyapunov函数证明模型的两类平衡点的全局稳定性. 本文的模型是建立在恢复者不会再次感染的假设基础上，然而该假设过于理想. 如何改善本文的模型，使得更加符合实际，是我们未来的工作重点之一.
下载: