对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数. 欧拉函数在数论中有着重要的作用，有关欧拉函数的性质以及欧拉方程引起了很多学者的研究兴趣^[1-3].

近年来，文献[1, 4-12]分别讨论了当k=2，3，4，5，6，7，8，9，11，12时，欧拉方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的可解性问题. 对于二元变系数欧拉函数方程φ(xy)=mφ(x)+nφ(y)，文献[13]讨论了当m=5，n=7时的可解性问题，文献[14]讨论了当m=7，n=9时的可解性问题. 文献[15-17]分别讨论了当k=3，4，5时，三元欧拉函数方程φ(xyz)=k(φ(x)+φ(y)+φ(z))的全部正整数解. 对于含常数的二元变系数方程φ(xy)=k₁φ(x)+k₂φ(y)+k，文献[18-19]利用整数的分解性质讨论了(k₁，k₂，k)=(7，8，16)，(4，7，28)时的可解性问题. 文献[20]讨论了k=6，28时三元变系数方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)－k的可解性问题. 本文利用欧拉函数的性质与初等数论方法，讨论并证明了

当(a，b，c)=(2，3，4)且m=8时正整数解的情况，并给出了该欧拉方程的全部正整数解.

引理1^[21](φ(m)的乘积公式)  对m>1，我们有

其中，p是m的素因数.

引理2^[21]  欧拉函数φ(m)具有下列性质：

(ⅰ) 对任意的正整数m，n，有$\varphi(m n)=\frac{(m, n) \varphi(n) \varphi(m)}{\varphi((m, n))}$；

(ⅱ) 当(m，n)=1时，φ(mn)=φ(m)φ(n)；

(ⅲ) 当m≥3时，φ(m)必为偶数.

定理1  欧拉方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-8一共有32组正整数解，分别为：

(x, y, z)=(1, 7, 9), (1, 7, 18), (1, 9, 7), (1, 9, 14), (1, 14, 9), (1, 18, 7), (2, 7, 9), (2, 9, 7), (2, 12, 4), (1, 11, 8), (1, 11, 10), (2, 11, 5), (3, 12, 1), (3, 5, 4), (4, 5, 3), (1, 4, 2), (1, 6, 2), (2, 3, 2), (2, 4, 1), (2, 6, 1), (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 6, 1), (6, 3, 1), (1, 4, 4), (1, 4, 6), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (5, 8, 1), (5, 12, 1), (8, 5, 1), (12, 5, 1).

证  方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)－8有正整数解的必要条件是

事实上，对于欧拉函数方程

利用欧拉函数的性质得

由引理2的(ⅰ)可知

对(1)式进行化简，可得

故有

由上述过程可知，方程(1)有解时，(2)式必然成立. 故对二元一次不等式(2)进行讨论：

当(φ(x)－3)(φ(y)－2) < 0时，有φ(x)=1，2，φ(y)≥4；或φ(x)≥4，φ(y)=1.

当(φ(x)－3)(φ(y)－2)=0时，有φ(x)=3或φ(y)=2. 由引理2的(ⅲ)知φ(x)=3不存在，舍去.

当(φ(x)－3)(φ(y)－2)=1时，有φ(x)=4，φ(y)=3；或φ(x)=2，φ(y)=1. 由引理2的(ⅲ)知φ(x)=4，φ(y)=3不存在，舍去.

当(φ(x)－3)(φ(y)－2)=2时，有φ(x)=5，φ(y)=3；或φ(x)=4，φ(y)=4；或φ(x)=1，φ(y)=1. 由引理2的(ⅲ)知φ(x)=5，φ(y)=3不存在，舍去.

综上所述，可得方程(1)有解的7种情况，下面进行分类讨论给出方程的解.

情况1  当φ(x)=1，φ(y)≥4时，代入方程(1)进行化简，得

情况1.1  当φ(y)=4时，方程(1)为φ(xyz)=4φ(z)+6.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=10，即xyz=11，12，又因为x=z=1，2，y=5，8，10，12，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=2时，φ(xyz)=14，这样的x，y，z不存在，因此方程(1)无解.

当φ(z)=4时，φ(xyz)=22，即xyz=23，46，又因为x=1，2，y=z=5，8，10，12，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=6时，φ(xyz)=30，即xyz=31，62，又因为x=1，2，y=5，8，10，12，z=7，9，14，18，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=8时，φ(xyz)=38，即这样的x，y，z不存在，因此方程(1)无解.

当φ(z)≥10时，φ(xyz)=4φ(z)+6，将x=1，2，y=5，8，10，12代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)=4φ(z)+6且φ(z)≥10的x，y，z，因此方程(1)无解.

情况1.2  当φ(y)=6时，此时φ(z)－3≤3，即φ(z)=1，2，4，6.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=16，即xyz=17，32，34，40，48，60，又因为x=z=1，2，y=7，9，14，18，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=2时，φ(xyz)=20，即xyz=25，33，44，50，66，又因为x=1，2，y=7，9，14，18，z=3，4，6，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=4时，φ(xyz)=28，即xyz=29，58，又因为x=1，2，y=7，9，14，18，z=5，8，10，12，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=6时，φ(xyz)=36，即xyz=37，57，63，74，76，108，114，126，又因为x=1，2，y=z=7，9，14，18，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(1，7，9)，(1，7，18)，(1，9，7)，(1，9，14)，(1，14，9)，(1，18，7)，(2，7，9)，(2，9，7).

情况1.3  当φ(y)=8时，此时φ(z)－3≤1，即φ(z)=1，2，4.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=22，即xyz=23，46，又因为x=z=1，2，y=15，16，20，24，30，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=2时，φ(xyz)=26，这样的x，y，z不存在，因此方程(1)无解.

当φ(z)=4时，φ(xyz)=34，这样的x，y，z不存在，因此方程(1)无解.

情况1.4  当φ(y)=10时，此时φ(z)－3≤1，即φ(z)=1，2，4.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=28，即xyz=29，58，又因为x=z=1，2，y=11，12，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(z)=2时，φ(xyz)=32，即xyz=51，64，68，80，96，102，120，又因为x=1，2，y=11，12，z=3，4，6，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(2，12，4).

当φ(z)=4时，φ(xyz)=40，即xyz=41，88，100，110，132，150，又因为x=1，2，y=11，12，z=5，8，10，12，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(1，11，8)，(1，11，10)，(2，11，5).

情况1.5  当φ(y)≥12时，此时φ(z)－3≤0，即φ(z)=1，2.

当φ(z)=1时，将x=z=1，2代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)=3φ(y)－2且φ(y)≥12的x，y，z，因此方程(1)无解.

同理当φ(z)=2时，方程(1)无解.

情况2  当φ(x)=2，φ(y)≥4时，方程(1)化简为

情况2.1  当φ(y)=4时，此时2φ(z)－3≤1，即φ(z)≤2.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=12，即xyz=13，21，26，28，36，42，又因为x=3，4，6，y=5，8，10，12，z=1，2，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(3，12，1).

当φ(z)=2时，φ(xyz)=16，即xyz=17，32，34，40，48，60，又因为x=z=3，4，6，y=5，8，10，12，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(3，5，4)，(4，5，3)；

情况2.2  当φ(y)≥6时，此时2φ(z)－3≤0，即φ(z)=1.

当φ(z)=1时，将z=1，2，x=3，4，6代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)=3φ(y)且φ(y)≥6的x，y，z，因此方程(1)无解.

情况3  当φ(x)≥4，φ(y)=1时，方程(1)化简为

情况3.1  当φ(x)=4时，此时方程(1)为φ(xyz)=4φ(z)+3.

由此得φ(xyz)为奇数，由引理2的(ⅲ)可知方程(1)无解.

情况3.2  当φ(x)=6时，此时φ(z)－2≤1，即φ(z)=1，2.

当φ(z)=1时，φ(xyz)=11，因φ(xyz)为奇数，由引理2的(ⅲ)可知方程(1)无解.

当φ(z)=2时，φ(xyz)=15，因φ(xyz)为奇数，由引理2的(ⅲ)可知方程(1)无解.

情况3.3  当φ(x)≥8时，此时φ(z)－2≤0，即φ(z)=1，2.

当φ(z)=1时，将y=z=1，2代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)=2φ(x)－1且φ(x)≥8的x，y，z，因此方程(1)无解.

同理当φ(z)=2时，方程(1)无解.

情况4  当φ(y)=2时，方程(1)化简为

情况4.1  当φ(z)=1时，方程(1)为φ(xyz)=2φ(x)+2.

当φ(x)=1时，φ(xyz)=4，即xyz=5，8，10，12，又因为x=z=1，2，y=3，4，6，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(1，4，2)，(1，6，2)，(2，3，2)，(2，4，1)，(2，6，1).

当φ(x)=2时，φ(xyz)=6，即xyz=7，9，14，18，又因为x=y=3，4，6，z=1，2，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(3，3，1)，(3，3，2)，(3，6，1)，(6，3，1).

当φ(x)=4时，φ(xyz)=10，即xyz=11，12，又因为x=5，8，10，12，y=3，4，6，z=1，2，经检验，此时方程(1)无解.

当φ(x)=6时，φ(xyz)=14，这样的x，y，z不存在，因此方程(1)无解.

当φ(x)≥8时，φ(xyz)=2φ(x)+2，将y=3，4，6，z=1，2代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)= 2φ(x)+2且φ(x)≥8的x，y，z，因此方程(1)无解.

情况4.2  当φ(z)=2时，此时φ(x)－2≤1，即φ(x)=1，2.

当φ(x)=1时，φ(xyz)=8，即xyz=15，16，20，24，30，又因为x=1，2，y=z=3，4，6，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(1，4，4)，(1，4，6)，(2，3，4)，(2，4，3).

当φ(x)=2时，φ(xyz)=10，即xyz=11，12，又因为x=y=z=3，4，6，经检验，此时方程(1)无解.

情况4.3  当φ(z)≥4时，(φ(x)－2)≤0，即φ(x)=1，2.

当φ(x)=1时，将x=1，2，y=3，4，6代入方程(1)，经检验，不存在满足φ(xyz)=4φ(z)且φ(z)≥4的x，y，z，因此方程(1)无解.

同理当φ(x)=2时，方程(1)无解.

情况5  当φ(x)=2，φ(y)=1时，代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)－1，因φ(xyz)为奇数，由引理2的(ⅲ)可知方程(1)无解.

情况6  当φ(x)=4，φ(y)=4时，代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)+12≥16φ(z)，即φ(z)=1，此时φ(xyz)=16，即xyz=17，32，34，40，48，60，又因为x=y=5，8，10，12，z=1，2，经检验，此时方程(1)有解，为(x，y，z)=(5，8，1)，(5，12，1)，(8，5，1)，(12，5，1).

情况7  当φ(x)=1，φ(y)=1时，代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)－3，因φ(xyz)为奇数，由引理2的(ⅲ)可知方程(1)无解.

综上所述，可得方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)－8一共有32组正整数解.