在下文中，设F∈D(G_γ)，γ>0，假设存在一个函数A(t)>0，有如下二阶条件成立

由条件(2)可得

其中，对任意的中间序列k，满足

定理1  若对γ>0有二阶条件(7)成立，且当$n \rightarrow \infty $时，中间序列k满足条件(9)，则对γr < 1，有

定理2  假设二阶条件(7)成立，当$n \rightarrow \infty $，中间序列k₀和k满足$k \rightarrow \infty, k_0 \rightarrow \infty \text {, 且 } \frac{k_0}{k} \rightarrow 0 $，则对$r <\frac{1}{2 \gamma} $，渐近分布表达式为

其中

此外，当$n \rightarrow \infty $时，如果存在$ \lambda_1 \in \mathbb{R}, \lambda_2 \in \mathbb{R}$使得$\sqrt{k_0}\left(\frac{k_0}{k}\right)^\gamma \rightarrow \lambda_1, \quad \sqrt{k_0} A\left(\frac{n}{k}\right) \rightarrow \lambda_2 $，那么有

定理3  假设二阶条件(7)成立，A(t)~ct^ρ，其中ρ < 0，c≠0，令

中间序列$ k_0^{\text {opt }}$是使得$ AMSE\left(\hat{\gamma}_n\left(k_0, k, r\right)\right)$最小的k₀：

(ⅰ) 如果$ \gamma \leqslant-\rho \text {, 则 } k_0^{\mathrm{opt}}=k_0^{(1)}$；

(ⅱ) 如果γ≥-ρ，

(a)  若$ k \ll n^{-\rho(2 \gamma+1) /(\gamma(-2 \rho+1))} \text {, 则 } k_o^{\mathrm{opt}}=k_0^{(1)}$；

(b)  $ k \gg n^{-\rho(2 \gamma+1) /(\gamma(-2 \rho+1))}$，若c < 0, 则$k_0^{\mathrm{opt}}=k_0^{(3)} $，若c>0, 则$k^{\mathrm{opt}}=k_0^{(2)} $；

(c)  若$ k \sim D n^{-\rho(2 \gamma+1) /(\gamma(-2 \rho+1))}, D \neq 0$，那么$k_0^{\text {opt }} \sim D_1 n^{\frac{-2 \rho}{-2 \rho+1}}, D_1 \equiv D_1(\gamma, \rho, r, c, D) $满足

其中

设{Y_n，n≥1}是分布函数为$ F_Y(y)=1-\frac{1}{y}$，y≥1的独立同分布的随机变量序列，Y_1，n≤…≤Y_n，n为Y₁，…，Y_n的顺序统计量，对于任意中间序列k，由于$ \left\{X_i\right\}_{i=1}^n \stackrel{d}{=}\left\{U\left(Y_i\right)\right\}_{i=1}^n \text { 且 } \frac{n}{k} Y_{n-k, n} \stackrel{p}{\rightarrow} 1, $，由Renyi’s表达式^[14]可得

此外，对于序列{Y_n，n≥1}，有

定理1的证明

最后一步由大数定律可得. 又因为

所以，

其中$ r <\frac{1}{\gamma}$.

定理2的证明  首先定义

利用泰勒展式，有

成立. 因此可得

由此可得

那么

这就得到$ \hat{\gamma}_n\left(k_0, k, r\right)$的渐近分布表达式，由此可得$ \hat{\gamma}_n\left(k_0, k, r\right)$的渐近正态性(14). 证毕.

定理3的证明  类似文献[15]中的定理2.3可得.