考虑以下不适定问题：

其中时间分数阶导数 $\frac{\partial^{\alpha} u}{\partial t^{\alpha}}$由文献[16]中α(0 < α < 1)阶Caputo导数定义.

注1  当α=1时，问题(1)是经典的热传导方程的侧边值问题^[17].

实际问题中，我们只能考虑给定在x=x处的温度测量数据g^δ(t), 并由它来反演问题(1)在区间(0, x)上的解u(x, t), 其中g^δ(t)∈L²($\mathbb{R}$)满足

这里常数δ > 0表示测量误差，‖·‖表示L²-范数.

进一步，我们假设先验界如下：

其中N是给定的正数.

为了在频域中考虑问题(1), 我们将关于t的函数延拓到整个实轴，令t < 0的部分为零. 定义函数f(t)的Fourier变换如下：

相应的函数 $\hat{f}(\xi)$的Fourier逆变换为：

对问题(1)关于变量t作Fourier变换：

得到问题(8)的解为

其中

令

则η的实部和虚部分别表示为：

因此

根据(9)式得问题(1)的精确解为：

由Parseval等式^[18]和条件(5)得：

注意到当|ξ|→∞时$\mathrm{e}^{\bar{x}} \sqrt{(\mathrm{i} \xi)^{\alpha}} \rightarrow \infty$ 式中精确数据g(t)的Fourier变换 $\hat{g}(\xi)$必须是快速衰减的，但测量数据g^δ(ξ)属于L²($\mathbb{R}$), 其高频部分衰减的速率不会有这么快，这样g(t)的很小扰动就会导致与(9)式对应的 $\hat{u}^{\delta}(x, \xi)$不存在Fourier逆变换. 为了得到问题(1)的稳定近似解，下面将给出一种分数次Tikhonov正则化方法.

我们考虑用分数次Tikhonov正则化方法来解决不适定问题(1). 由(9)式可知

令

因此， $\hat{u}(x, \xi)$可写为

在频域空间构造分数次Tikhonov正则化解为：

其中：μ > 0是正则化参数，σ是分数次参数.

接下来为了使证明简便，给出一个辅助引理.

引理1^[19]  如果常数μ > 0, 0 < p < q, 对于变量s≥0, 有如下不等式成立：

定理1  设u(x, t)由(13)式给出，且条件(4)和(5)成立，那么当μ被选取为

成立如下误差估计式：

并称u_μ^δ(x, t)为问题(1)的正则化解.

证  由三角不等式和Parseval等式可得

记$I_{1}=\left\|\hat{u}_{\mu}^{\delta}(x, \bullet)-\hat{u}_{\mu}(x, \bullet)\right\|$, $I_{2}=\| \hat{u}_{\mu}(x, ・) -\hat{u}(x, ・) \|$ , 下面分别估计I₁, I₂,

由(15), (16)式可得：

因此，

由(19)式可得

下面考虑I₂的估计，并应用先验界(5)得

由(23), (24)式可知

根据(19)式得

故由(20), (25), (26)式得到如下Hölder型最优误差估计式

在这一部分将研究后验情况下正则化参数的选择，并且通过Morozov's偏差原理^[20]确定一个正则化参数μ满足如下方程：

其中： $\frac{1}{2} \leqslant \sigma \leqslant 1$是常数，μ是正则化参数.

下面的结论是明显的.

引理2  设 $\beta(\mu)=\left\|\frac{1}{1+\mu|T(0, \xi)|^{2 \sigma}} \hat{g}^{\delta}(\xi)-\hat{g}^{\delta}(\xi)\right\|$, 并且 $0<\tau \delta<\left\|\hat{g}^{\delta}(\xi)\right\|$, 则

(a) β(μ)为连续函数；

(b) $\lim\limits_{\mu \rightarrow 0} \beta(\mu)=0$;

(c) $\lim\limits_{\mu \rightarrow 0} \beta(\mu)=\left\|\hat{g}^{\delta}(\xi)\right\|_{L^{2}(\mathbb{R})} ;$

(d) β(μ)为严格单调增函数.

注2  根据引理2可知，若 $0<\tau \delta<\left\|\hat{g}^{\delta}(\xi)\right\|$, 则方程(27)的解存在且唯一.

引理3  若μ满足方程(27), 则有以下不等式成立：

证  由方程(27)和三角不等式得

引理4  若μ满足方程(27), 则得到以下不等式：

证

根据(19)式可得

故

定理2  设条件(4)和先验界(5)成立，且正则化参数μ是通过Morozov's偏差原理(27)确定，则有如下误差估计成立：

其中 $c=\left(\frac{\tau}{\tau-1}\right)^{1-\frac{x}{\bar{x}}}(\tau+1)^{\frac{x}{\bar{x}}}$.

证  令 $I^{2}=\| u(x, \bullet)-u_{\mu}^{\delta}(x$, - $) \|^{2}$, 由Parseval等式及(28), (29)式可知

由Hölder不等式及(23), (24)式可得：

由(19)式可得：

根据引理4可得

因此

令 $c=\left(\frac{\tau}{\tau-1}\right)^{1-\frac{x}{\bar {x}}}(\tau+1)^{\frac{x}{\bar {x}}}$得

注3  注意到这里仅考虑问题(1)在区间(0, x)上的精确解与正则解之间的误差估计，而未涉及边界x=0的情况，但是，我们通过(21)和(32)式看出，当x=0时，误差估计式不收敛. 若给出先验界‖u(0, ·)‖_p≤N, 其中p > 0, N > 0, ‖·‖_p表示H^p-范数，则由文献[21-22]知收敛速率呈对数型.

不适定问题的种类有很多，需要我们构建正则化方法来解决此问题，每种正则化方法都有各自的优缺点. 本文使用一种新的分数次Tikhonv正则化方法求解分数阶热传导方程的侧边值问题，通过先验和后验的正则化参数的选择得到了Hölder型的误差估计，结果证实了该方法的简洁性和有效性. 这种新的分数次Tikhonov方法也可能适用于Laplace方程的柯西问题等其他不适定问题，这有待于进一步研究.