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半群$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的秩

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袁月, 赵平. 半群$\mathscr{H}$ (n,m)*(r)的秩[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(8): 65-69. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.08.009
引用本文: 袁月, 赵平. 半群$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的秩[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(8): 65-69. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.08.009
YUAN Yue, ZHAO Ping. On the Rank of the Semigroup $\mathscr{H}$(n, m)*(r)[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(8): 65-69. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.08.009
Citation: YUAN Yue, ZHAO Ping. On the Rank of the Semigroup $\mathscr{H}$(n, m)*(r)[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(8): 65-69. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.08.009

半群$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的秩

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11461014);贵州师范大学2019年博士科研启动项目(GZNUD[2019]13)
详细信息
    作者简介:

    袁月,硕士研究生,主要从事半群理论的研究 .

    通讯作者: 赵平,教授,博士生导师
  • 中图分类号: O152.7

On the Rank of the Semigroup $\mathscr{H}$(n, m)*(r)

  • 摘要: 设 \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathbb{N}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt + \lt /sub \gt , \lt inline-formula \gt $\mathscr{S}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 和 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 分别是 \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1,2,…, \lt i \gt n \lt /i \gt }上的对称群和全变换半群. 对于1≤ \lt i \gt m \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1,记 \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt m \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1,2,…, \lt i \gt m \lt /i \gt }. 令 $ \begin{array}{*{20}{c}} \mathscr{T}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{n}: X_{m} \alpha=X_{m}\right\}\\ \mathscr{G}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha=X_{n} \backslash X_{m}\right\}\\ \mathscr{H}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha \subseteq X_{n} \backslash X_{m}\right\} \end{array} $ 则 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt , \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 和 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 都是全变换半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 的子半群,且 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m 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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-01
  • 刊出日期:  2021-08-20

半群$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的秩

    通讯作者: 赵平,教授,博士生导师
    作者简介: 袁月,硕士研究生,主要从事半群理论的研究
  • 贵州师范大学 数学科学学院,贵阳 550001
基金项目:  国家自然科学基金项目(11461014);贵州师范大学2019年博士科研启动项目(GZNUD[2019]13)

摘要: 设 \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathbb{N}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt + \lt /sub \gt , \lt inline-formula \gt $\mathscr{S}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 和 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 分别是 \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1,2,…, \lt i \gt n \lt /i \gt }上的对称群和全变换半群. 对于1≤ \lt i \gt m \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1,记 \lt i \gt X \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt m \lt /i \gt \lt /sub \gt ={1,2,…, \lt i \gt m \lt /i \gt }. 令 $ \begin{array}{*{20}{c}} \mathscr{T}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{n}: X_{m} \alpha=X_{m}\right\}\\ \mathscr{G}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha=X_{n} \backslash X_{m}\right\}\\ \mathscr{H}_{(n, m)}=\left\{\alpha \in \mathscr{T}_{(n, m)}:\left(X_{n} \backslash X_{m}\right) \alpha \subseteq X_{n} \backslash X_{m}\right\} \end{array} $ 则 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt , \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 和 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 都是全变换半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt n \lt /i \gt \lt /sub \gt 的子半群,且 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ⊆ \lt inline-formula \gt $\mathscr{T}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt . 对于 \lt i \gt r \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathbb{N}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt + \lt /sub \gt 且2≤ \lt i \gt m \lt /i \gt < \lt i \gt r \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1,研究半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )={ \lt i \gt α \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt :|im( \lt i \gt α \lt /i \gt )|≤ \lt i \gt r \lt /i \gt }∪ \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 的生成集. 通过分析半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 的二元关系,考虑到半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )为半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 的理想 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )={ \lt i \gt α \lt /i \gt ∈ \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt :|im( \lt i \gt α \lt /i \gt )|≤ \lt i \gt r \lt /i \gt }和子半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 的并集,发现 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )可由其顶端 \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt 生成. 基于半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{G}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt 为对称群的性质对 \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt 进行等价类划分,并应用整数拆分的性质研究 \lt inline-formula \gt $\mathscr{J}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt \lt i \gt r \lt /i \gt \lt /sub \gt \lt sup \gt ◇ \lt /sup \gt 中的等价类数,从而找到 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )的最小生成集,证明了半群 \lt inline-formula \gt $\mathscr{H}$ \lt /inline-formula \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt , \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt \lt sup \gt * \lt /sup \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt )(2≤ \lt i \gt m \lt /i \gt < \lt i \gt r \lt /i \gt ≤ \lt i \gt n \lt /i \gt -1)的秩为 \lt i \gt p \lt /i \gt \lt sub \gt ( \lt i \gt r \lt /i \gt - \lt i \gt m \lt /i \gt ) \lt /sub \gt ( \lt i \gt n \lt /i \gt - \lt i \gt m \lt /i \gt )+2.

English Abstract

  • nm$\mathbb{N}$+$\mathscr{S}$n$\mathscr{T}$n分别是Xn={1,2,…,n}上的对称群和全变换半群. 对于1≤mn-1,记Xm={1,2,…,m}. 令

    则易证得$\mathscr{G}$(nm)$\mathscr{H}$(nm)$\mathscr{T}$(nm)都是全变换半群$\mathscr{T}$n的子半群,且$\mathscr{G}$(nm)$\mathscr{H}$(nm)$\mathscr{T}$(nm). 显然$\mathscr{G}$(nm)=$\mathscr{T}$(nm)$\mathscr{S}$n$\mathscr{G}$(nm)$\mathscr{S}$m×$\mathscr{S}$n-m,其中$\mathscr{S}$n-mXn\Xm上的对称群.

    对于r$\mathbb{N}$+且2≤m+1≤rn-1,记

    则易证得$\mathscr{H}$ (nm)*(r)也是$\mathscr{T}$(nm)上的子半群且$\mathscr{H}$ (nm)*(n-1)=$\mathscr{H}$(nm).

    通常,我们定义有限半群S的秩为

    在半群理论研究中,对于变换半群结构的研究十分重要,变换半群的秩与其结构紧密相关,一直都是学者研究半群的热点问题之一[1-15]. 众所周知,对称群$\mathscr{S}$n=〈(12),(12…n)〉,且rank $\mathscr{S}$n=2;全变换半群$\mathscr{T}$n= $\left\langle {\left( {12} \right), \left( {12 \cdots n} \right), \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2 \end{array}} \right)} \right\rangle $,且rank$\mathscr{T}$n=3. 文献[3]研究了Xn上的奇异变换半群Singn的秩及幂等元秩,并得到它的秩及幂等元秩都为$\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$. 文献[4]研究了奇异变换半群Singn的理想$\mathscr{T}$(nr)={α$\mathscr{T}$n:|im(α)|≤r}(1≤rn-1)的秩和幂等元秩,并证明了其秩和幂等元秩都为第二类Stirling数S(nr). 第二类Stirling数定义为

    文献[5]研究了半群$\mathscr{T}$nr=$\mathscr{S}$n$\mathscr{T}$(nr)的生成元和相关秩. 文献[6]研究了$\mathscr{G}$(nm)的生成集及秩,并得到$\mathscr{T}$(nm)的秩,即

    本文在文献[6]的基础上研究半群$\mathscr{T}$(nm)的子半群$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的生成集及它的秩.

    为了叙述上的方便,在$\mathscr{H}$(nm)上引入以下的二元关系:对任意αβ$\mathscr{H}$(nm),定义

    $\mathscr{L}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{J}$ 都是$\mathscr{H}$(nm)上的等价关系. 易得$\mathscr{L}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{J}$ . 对r$\mathbb{N}$+且2≤m+1≤rn,记

    $\mathscr{J}$ -类$\mathscr{J}$ n$\mathscr{J}$ n-1,…,$\mathscr{J}$ m+1恰好是$\mathscr{H}$(nm)n-m$\mathscr{J}$ -类. 显然$\mathscr{G}$(nm)=$\mathscr{J}$ n.

    设1≤mn-1,用$\mathscr{S}$n-m$\mathscr{T}$n-m分别表示Xn\Xm上的对称群和全变换半群. 用$\mathscr{S}$m表示Xm上的对称群. 设α$\mathscr{T}$n,记ker(α)={(xy)∈Xn×Xn=},则ker(α)是Xn上的等价关系,称为α的核.

    引理1[6]  设1≤mn-1,则

    对于2≤m+1≤rn,记

    $\mathscr{H}$ (nm)*(r)=$\mathscr{H}$(nm)(r)∪$\mathscr{G}$(nm). 显然,$\mathscr{H}$(nm)(r)是$\mathscr{H}$(nm)的理想,且

    引理2[7]  设1≤mrn-1,则$\mathscr{H}$(nm)(r)=〈$\mathscr{J}$ r〉.

    任意取nr$\mathbb{N}$+rn,令

    称集合Pr(n)中的元素(x1x2,…,xr)为n的一个r-划分,记pr(n)=|Pr(n)|(参见文献[16]). 当xr-m+1=xr-m+2=…=xr=1(1≤mr)时,记

    α$\mathscr{J}$ r,则α有如下标准形式:

    其中Ai={i}(1≤im),Xm={a1a2,…,am}且aiXn\Xm(m+1≤ir). 显然存在σ$\mathscr{S}$r,使得|A|≥|A(r-1)σ|≥…≥|A(m+1)σ|≥1且A=Ai(1≤im). 记

    称part(α)为α的划分. 显然part(α)∈Pr(n).

    任意取αβ$\mathscr{J}$ r,在$\mathscr{J}$ r上引入关系~:α~β⇔存在λμ$\mathscr{G}$(nm),使得α=λβμ. 易验证~是$\mathscr{J}$ r上的等价关系.

    引理3[7]  设1≤mrn-1且αβ$\mathscr{J}$ r,则α~β当且仅当part(α)=part(β).

    对任意α$\mathscr{J}$ r,记

    Δ(nm)$\mathscr{J}$ r在~下的商集,[α]是α所在的等价类. 由引理3易知$\mathscr{J}$ r中有pr-m(n-m)个~等价类,从而|Δ(nm)|=pr-m(n-m). 设~在$\mathscr{J}$ r上所决定的所有等价类为[δ1],[δ2],…,[δp],其中p=pr-m(n-m)(m+1≤rn-1). 记Ω={δ1δ2,…,δp},则Ω是~在$\mathscr{J}$r上所决定的等价类的代表元集合.

    引理4   设1≤mrn-1,则$\mathscr{H}$ (nm)*(r)=〈$\mathscr{G}$(nm)Ω〉.

       显然〈$\mathscr{G}$(nm)Ω〉⊆$\mathscr{H}$ (nm)*(r). 注意到$\mathscr{J}_r^\diamondsuit = \bigcup\limits_{i = 1}^p {\left[ {{\delta _i}} \right]}$. 任意取βi∈[δi],则存在λiμi$\mathscr{G}$(nm),使得

    从而[δi]⊆〈$\mathscr{G}$(nm)δi〉. 由βi的任意性可得$\mathscr{J}$ r⊆〈$\mathscr{G}$(nm)Ω〉. 由引理2知易知

    从而

    因此

    引理5   设1≤mrn-1,任意取αβ$\mathscr{J}$ r,若αβ$\mathscr{J}$ r,则ker(αβ)=ker(α).

       设αβ的标准形式为

    其中Ai=Bi={i}(1≤im),Xm={a1a2,…,am}={b1b2,…,bm}且aibiXn\Xm(m+1≤ir). 由αβ$\mathscr{J}$ r可得,存在σ$\mathscr{S}$r使得aiB,于是aiβ=b,从而

    因此ker(αβ)=ker(α).

    引理6   设1≤mrn-1,G$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的生成集,则对任意qPr(n),存在αG,使得part(α)=q.

       由引理2可得

    $\tilde G$ =G$\mathscr{J}$ r,则

    G$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的生成集可得

    对任意$q \in {\tilde P_r}\left( n \right)$,取βq$\mathscr{J}$ r$\mathscr{H}$ (nm)*(r),使得part(βq)=q. 由$\mathscr{H}$ (nm)*(r)=〈$\tilde G$$\mathscr{G}$(nm)〉可得,存在α1α2,…,αt$\tilde G$$\mathscr{G}$(nm),使得βq=α1α2αt. 由βq$\mathscr{J}$ r可知,必存在k∈{1,2,…,t},使得αk$\tilde G$ (否则βq=α1α2αt$\mathscr{G}$(nm),矛盾). 令

    λ=1Xnα1αi-1γ=αi+1αt1Xn,则由βq$\mathscr{J}$ r可得

    γ$\mathscr{G}$(nm),则βq~αi. 从而由引理3可得part(αi)=part(βq)=q. 注意到λαi$\mathscr{J}$ rαi~λαi. 若γ$\mathscr{J}$ r,则由引理5可得ker(βq)=ker(λαiγ)=ker(λαi),从而由引理3可得part(αi)=part(λαi)=part(βq)=q.

    定理1   设2≤mrn-1,则

       假设G$\mathscr{H}$ (nm)*(r)的生成集,则由$\mathscr{G}$(nm)$\mathscr{H}$ (nm)*(r)且rank $\mathscr{G}$(nm)=2可得|G$\mathscr{G}$(nm)|≥2. 再由引理6可得

    于是由$\mathscr{H}$ (nm)*(r)=$\mathscr{G}$(nm)$\mathscr{H}$(nm)(r)可得

    从而

    由rank $\mathscr{G}$(nm)=2可知,存在λμ$\mathscr{G}$(nm),使得$\mathscr{G}$(nm)=〈λμ〉,于是由引理4可得

    从而

    因此

参考文献 (16)

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