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本文考虑如下一类具有Hardy-Sobolev项的Kirchhoff方程的多解性问题：
这里的
$\varOmega \subset \mathbb{R}^{3}$ 是具有光滑边界的有界区域，$0 \in \varOmega, a, b \geqslant 0$ 且$a+b>0, \lambda>0, 1 <q <3$ ，并且4是Hardy-Sobolev临界指数. 关于Kirchhoff方程解的存在性和多重性已有很多的结果[1-8]. 特别地，文献[1]考虑了方程(1)在$0 <q<1, a, b, \lambda>0$ 时的情形. 当$b <\frac{1}{A_{1}^{2}}$ 时，通过变分法，可以得到方程(1)有两个正解; 当$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$ 时，通过临界点定理，可以得到方程(1)无穷多对不同的解. 当$a=1, b=0$ 时，方程(1)变成了具有Hardy-Sobolev项的半线性椭圆方程，许多论文已经研究过这类方程[2, 9-11]. 文献[4]研究了下面的方程：其中0 < q < 1，通过变分法得到了方程(2)的两个正解. 根据上述文献的启发，我们将考虑方程(1)解的多重性.
方程(1)的能量泛函I为
这里的
$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 是Sobolev空间，它的范数为$\|u\|=\left(\int_{\varOmega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \cdot L^{p}(\varOmega)(1 \leqslant p <+\infty)$ 是Lebesgue空间，它的范数为$|u|_{p}=\left(\int_{\varOmega}|u|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{p}}$ . 我们用$H^{-1}(\varOmega)$ 来表示$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 的对偶空间，用$S_{q}$ 表示$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 嵌入到$L^{q}(\varOmega)\left(1 <q <2^{*}\right)$ 的最佳Sobolev常数. 对任意的$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，有u是方程(1)的解当且仅当u是泛函I的临界点，即对任意的
$v \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，有设
$A_{s}(0 \leqslant s <2)$ 是最佳Sobolev-Hardy常数，即特别地，当s=0时，
是最佳Sobolev常数.
定理1 对于
$1 <q <3, b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$ ，存在$\lambda^{*}>0$ ，使得当$\lambda>\lambda^{*}$ 时，方程(1)至少有两个正解.注1 文献[1]考虑的是
$0 <q <1$ 的情况，而本文考虑的是$1 <q <3$ 的情况，是对文献[1]的一个推广.引理1 设
$a, b>0, 1 <q <3, b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$ ，则I的有界(PS)序列都有一个强收敛子列.证 设
$\left\{u_{n}\right\}$ 是I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中的有界(PS)序列，即取一个子列，仍记为
$\left\{u_{n}\right\}$ ，则存在$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，使得设
$v_{n}=u_{n}-u$ ，下面需要证明：当$n \rightarrow \infty$ 时，$\left\|v_{n}\right\| \rightarrow 0$ . 定义$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|v_{n}\right\|=l$ . 由(6)式可以得到由文献[12]，有
由(5)式和(7)式，可以得到
因此，由(8)-(10)式可得
再根据(5)式得
由(11)式和(12)式可得
再由(4)式，可以得到
结合(13)式，当
$n \rightarrow \infty$ 时可得又因为
$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$ ，从而l=0，即当$n \rightarrow \infty$ 时，在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 上$u_{n} \rightarrow u$ .引理2[13] 设在
$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中，$I \in C^{1}\left(H_{0}^{1}(\varOmega)\right., \mathbb{R})$ 有下界且满足(PS)条件，则I能达到全局极小值，即存在$u_{*} \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，使得$I\left(u_{*}\right)=\inf \limits_{u \in H_{0}^{1}(\varOmega)} I(u)$ .定理1的证明 首先对方程(1)的第一个解进行证明. 对任意
$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，由Hölder不等式和(4)式可以得到于是
因为
$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$ ，$1 <q <3$ ，所以I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中强制且有下界. 在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中取一点u0≠0，使得存在当
$\lambda>\lambda^{*}$ 时，有由引理1、引理2，以及I在
$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中是有下界的，则I存在一个临界点$u_{1} \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，使得从而u1是方程(1)的一个非平凡解. 又因为
$I\left(\left|u_{1}\right|\right)=I\left(u_{1}\right)$ ，不失一般性，我们可以假设$u_{1} \geqslant 0 .$ 由强极大值原理[14]，可以得到在Ω上u1>0. 因此，u1是方程(1)的一个正解，并且I(u1) < 0.下面对第二个正解进行证明. 由(14)式，可得存在ρ，δ>0且
$\rho <\left\|u_{1}\right\|$ ，使得对任意的$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，当‖u‖=ρ时，$I(u) \geqslant \delta>0$ . 由山路定理可知，存在$\left\{u_{n}\right\}$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，使得其中
又因
由(14)式可知
$\left\{u_{n}\right\}$ 在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中有界，再结合引理1可知，存在一个收敛的子序列，记为$\left\{u_{n}^{\prime}\right\}$ ，和$u_{2} \in$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$ ，使得当$n \rightarrow \infty$ 时，在$H_{0}^{1}(\varOmega)$ 中$u_{n}^{\prime} \rightarrow u_{2}$ . 因此$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}^{\prime}\right)=I\left(u_{2}\right)=c>0$ 且$I^{\prime}\left(u_{2}\right)=0$ . 因此，u2是方程(1)的一个非零解，与u1是正解的证明方法相同，可得u2是方程(1)的另一个正解.
Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff-Type Equations with Hardy-Sobolev Critical Exponent
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摘要: 考虑一类Kirchhoff方程 $ \left\{\begin{array}{ll} -\left(a+b \int_{\varOmega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right) \Delta u=\frac{u^{3}}{|x|}+\lambda u^{q} & x \in \varOmega \\ u=0 & x \in \partial \varOmega \end{array}\right. $ 其中 \lt inline-formula \gt $ \varOmega \subset \mathbb{R}^{3} $ \lt /inline-formula \gt 是具有光滑边界的有界区域，且 \lt inline-formula \gt $ 0 \in \varOmega, a, b, \lambda \gt 0,1 \lt q \lt 3$ \lt /inline-formula \gt . 当 \lt inline-formula \gt $ b \gt \frac{1}{A_{1}^{2}} $ \lt /inline-formula \gt 时(其中 \lt i \gt A \lt /i \gt \lt sub \gt 1 \lt /sub \gt \gt 0是最佳Hardy-Sobolev常数)，应用山路定理得到了这类带有Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff方程两个正解的存在性.
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关键词:
- Kirchhoff方程 /
- Hardy-Sobolev临界指数 /
- 山路定理 /
- 正解
Abstract: Consider a class of Kirchhoff equations $ \left\{\begin{array}{ll} -\left(a+b \int_{\varOmega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right) \Delta u=\frac{u^{3}}{|x|}+\lambda u^{q} & x \in \varOmega \\ u=0 & x \in \partial \varOmega \end{array}\right. $ Where \lt inline-formula \gt $ \varOmega \subset \mathbb{R}^{3} $ \lt /inline-formula \gt is a bounded domain with smooth boundary and \lt inline-formula \gt $ 0 \in \varOmega, a, b, \lambda \gt 0,1 \lt q \lt 3$ \lt /inline-formula \gt . When \lt inline-formula \gt $ b \gt \frac{1}{A_{1}^{2}} $ \lt /inline-formula \gt (where \lt i \gt A \lt /i \gt \lt sub \gt 1 \lt /sub \gt is the best Hardy-Sobolev constant), the existence of two positive solutions of the equation can be obtained by using the Mountain Pass Theorem and some lemmas.-
Key words:
- Kirchhoff equation /
- Hardy-Sobolev critical exponent /
- Mountain Pass Theorem /
- positive solution .
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[1] LI H Y, PU Y, LIAO J F. Some Results for a Class of Kirchhoff Type Problem with Hardy-Sobolev Critical Exponent[J]. Mediterr J Math, 2019, 16(3): 1-16. doi: 10.1007/s00009-019-1349-3 [2] D'ANCONA P, SPAGNOLO S. Global Solvability for the Degenerate Kirchhoff Equation with Real Analytic Data[J]. Inventiones Mathematicae, 1992, 108(1): 247-262. doi: 10.1007/BF02100605 [3] HUANG Y S, LIU Z, WU Y Z. On Kirchhoff Type Equations with Critical Sobolev Exponent[J]. J Math Anal Appl, 2018, 462(1): 483-503. doi: 10.1016/j.jmaa.2018.02.023 [4] 刘选状, 吴行平, 唐春雷. 一类带有临界指数增长项的Kirchhoff型方程正的基态解的存在性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2015, 37(6): 54-59. [5] 曾兰, 唐春雷. 带有临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2016, 41(4): 29-34. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2016.04.007 [6] 唐榆婷, 唐春雷. 一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff方程正解的存在性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(6): 81-86. [7] CAO D M, PENG S J. A Note on the Sign-Changing Solutions to Elliptic Problems with Critical Sobolev and Hardy Terms[J]. J Differential Equations, 2003, 193(2): 424-434. doi: 10.1016/S0022-0396(03)00118-9 [8] doi: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039616300663 TANG X H, CHENG B T. Ground State Sign-Changing Solutions for Kirchhoff Type Problems in Bounded Domains[J]. J Differential Equations, 2016, 216(4): 2384-2402. [9] BOUCHEKIF M, MATALLAH A. Multiple Positive Solutions for Elliptic Equations Involving a Concave Term and Critical Sobolev-Hardy Exponent[J]. Appl Math Lett, 2009, 22(2): 268-275. doi: 10.1016/j.aml.2008.03.024 [10] CAO D M, HAN P G. Solutions for Semilinear Elliptic Equations with Critical Exponents and Hardy Potential[J]. J Differential Equations, 2004, 205(2): 521-537. doi: 10.1016/j.jde.2004.03.005 [11] KANG D S, DENG Y B. Multiple Solutions for Inhomogeneous Elliptic Problems Involving Critical Sobolev-Hardy Exponents[J]. Nonlinear Anal, 2005, 60(4): 729-753. doi: 10.1016/j.na.2004.09.048 [12] GHOUSSOUB N, YUAN C. Multiple Solutions for Quasi-Linear PDEs Involving the Critical Sobolev and Hardy Exponents[J]. Trans Am Math Soc, 2000, 352(12): 5703-5743. doi: 10.1090/S0002-9947-00-02560-5 [13] 钟承奎, 范先令, 陈文塬. 非线性泛函分析引论[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998. [14] doi: http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=4080381 BRÉZIS H, NIRENBERG L. H1 Versus C1 Local Minimizers[J]. Acad Sci Paris Sér I Math, 2009, 317: 465-472. -
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