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设G是一个局部紧的Abel群，则在群G上存在不恒等于0的，且平移不变的正则Borel测度-Haar测度，记为m或者dx. 群G的所有特征所组成的集合构成一个局部紧的Abel群，称之为G的共轭群，记为
$ \mathop G\limits^ \wedge $ . 对于χ∈$ \mathop G\limits^ \wedge $ 和x∈G，我们用〈χ，x〉来表示特征χ在群元素x上的作用，并定义指数函数如下：设Ω ⊂G是一个具有正有限Haar测度的Borel集，L2(Ω)是集合Ω上的平方可积函数所作成的Hilber空间，即
并且在空间上L2(Ω)的内积和范数分别定义为
对指数函数系
如果存在常数M，m＞0，使得
则称E(Λ)为空间L2(Ω)上的一个Fourier框架. 当E(Λ)是空间L2(Ω)上的Fourier框架时，我们称集合Ω为框架谱集，称Λ为Ω的框架谱，称(Ω，Λ)为框架谱对. 文献[1]研究了非调和Fourier级数，首先提出了Fourier框架的概念.
特别地，若E(Λ)构成空间L2(Ω)上的一个正交基，则称集合Ω为一个谱集，称集合Λ为Ω的一个谱，(Ω，Λ)为一个谱对. 谱集的研究跟几何中的概念“tile”有着密切的联系. 如果存在一个离散集合T⊂G，使得集族{Ω+t：t∈T}构成G的一个划分(除了零测集外)，那么称集合Ω是G上的一个平移tile，集合T称为Ω的一个平移集或一个tiling集，(Ω，T)称为tiling对.
当G=
$ {\mathbb{R}}^d$ 时，文献[2]提出了如下的谱集猜想：一个具有正有限Lebesgue测度的Borel集Ω⊂$ {\mathbb{R}}^d$ 是一个谱集当且仅当它是一个平移tile.在研究欧式空间
$ {\mathbb{R}}^d$ 上的谱集猜想的过程中，文献[3]构造了一个反例，证明了维数大于等于5时谱集猜想并不成立. 文献[4-5]附加了一些条件，取得了一些正面的结论. 后来文献[6-7]证明了维数d≥3时谱集猜想也不成立. 但是在一维或者二维空间上谱集猜想是否成立仍然还不清楚. 在任何局部紧的Able群G上，甚至在有限群上可以讨论谱集猜想[8].文献[9]讨论了局部紧的Abel群上的Paley-Wiener空间的平移正交基与谱集之间的关系. 本文研究一般局部紧的Able群G上的Paley-Wiener空间PWΩ(G)的平移框架与具有正有限Haar测度的Borel集Ω上的Hilbert空间L2(Ω)的Fourier框架(即框架谱集Ω)之间的关系. 在欧式空间
$ {\mathbb{R}}^d$ 上的有关问题的研究，读者可以参阅文献[10-12].
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本节介绍局部紧Abel群G上的可积函数空间L1(G)，和平方可积函数空间L2(G)上Fourier变换及其基本性质等有关内容.
设集合Ω⊂G是具有正有限Haar测度的Borel集，L1(Ω)是Ω上的可积函数空间所构成的Lebesgue空间，即
定义1[13]设函数f∈L1(G)，其Fourier变换定义为
Fourier变换具有如下性质：
(a) 映射
$ f \mapsto \mathop f\limits^ \wedge $ 是从L1(G)到L∞(G)的有界线性算子，并且$ {\left\| {\mathop f\limits^ \wedge } \right\|_\infty }$ ≤‖f‖1；(b) 对∀f，g∈(L1∩L2)(G)，有Plancherel等式
(c) 映射
$ f \mapsto \mathop f\limits^ \wedge $ 是从L2(G)到L2($ \mathop G\limits^ \wedge $ )上的一个酉算子.集合Ω⊂
$ \mathop G\limits^ \wedge $ 上的Paley-Wiener空间PWΩ(G)定义为可以看出，通过Fourier变换，Paley-Wiener空间PWΩ(G)和Hilbert空间L2(Ω)是等距同构的.
对于λ∈G，ω∈
$ \mathop G\limits^ \wedge $ ，φ∈L2(G)，定义在空间L2(G)上的平移算子和调制算子分别为显然，这样定义的平移算子Tλ和调制算子Mω是空间L2(G)上的等距算子，即
根据Fourier变换的定义，并且通过简单的计算，可得到下面的引理：
引理1[14] 假设Tλ，Mω分别是空间L2(G)上的平移算子和调制算子，那么有
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定义2 设Tλ：L2(G) L2(G)是一个平移算子，如果存在两个正数m≤M，使得
那么称平移函数族{Tλφ}λ∈Λ是空间PWΩ(G)上的一个平移框架，其中M，m分别称为框架上界和下界. 如果m=M，那么这个框架称为Parseval框架.
对∀φ∈PWΩ(
$ \mathop G\limits^ \wedge $ )，令下面的定理1是本文的主要结果，说明空间PWΩ(G)上的平移框架{Tλφ}λ∈Λ存在等价于(Ω，Λ)是一个框架谱对.
定理1 设存在0＜m≤M，使得对几乎处处的x∈Eφ，有m≤|
$ \mathop \varphi \limits^ \wedge \left( x \right)$ |≤M，则平移函数族{Tλφ}λ∈Λ是空间PWΩ($ \mathop G\limits^ \wedge $ )上的一个平移框架当且仅当(Ω，Λ)是一个框架谱对，即指数函数系{eλ}λ∈Λ是空间L2(Ω)上的一个Fourier框架.证 用1Ω表示集合Ω的示性函数，即
对∀f∈PWΩ(G)，取
$ h = \mathop f\limits^ \wedge \overline {\mathop \varphi \limits^ \wedge } {1_{{E_\varphi }}}$ ，由于对几乎处处的x∈Eφ，有所以
根据Plancherel等式，有
根据引理1有
充分性 如果指数函数系{eλ}λ∈Λ是空间L2(Ω)上的一个Fourier框架，其框架上界和下界分别是C1，C2，那么由(2)式，我们有
根据不等式(1) 和不等式(3)，得到
这蕴含着平移函数族{Tλφ}λ∈Λ是空间PWΩ(G)上的一个平移框架.
必要性 设平移函数族{Tλφ}λ∈Λ是空间PWΩ(G)上的一个平移框架，g∈L2(Ω)，令ψ=
$ {1_{{E_\varphi }}}\;\frac{g}{{\overline {\mathop \varphi \limits^ \wedge } }}$ ，由于对几乎处处的x∈Eφ，有则
从而ψ∈L2(Ω). 设函数Ψ是函数ψ的Fourier逆变换，即
$ \mathop {\mathit{\Psi }}\limits^ \wedge $ =ψ，则根据Plancherel等式，有如果框架{Tλφ}λ∈Λ的框架上界和下界分别是C1，C2，那么由(4)式，我们有
因为
且对几乎处处的x∈Eφ，有
则
由不等式(5) 和不等式(6)知，指数函数系{eλ}λ∈Λ是空间L2(Ω)上的一个Fourier框架.
推论1 设集合Ω⊂
$ \mathop G\limits^ \wedge $ 是具有正有限Haar测度的Borel集，函数$ \mathop {\mathit{\varphi }}\limits^ \wedge $ 在Ω上处处不为0，则对于任意函数φ∈PWΩ(G)，平移函数族{Tλφ}λ∈Λ是空间PWΩ(G)上的一个平移Parseval框架当且仅当指数函数系{eλ}λ∈Λ是空间L2(Ω)上的一个Parseval框架.
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