一类非线性三阶微分方程边值问题多个解的存在性

纪宏伟

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2020.05.009

摘要: 利用不动点指数理论和拓扑度理论研究非线性三阶微分方程边值问题 $ \left\{ \begin{array}{l} - u'''\left( t \right) = f\left( {t, u\left( t \right)} \right), t \in \left[ {0, 1} \right]\\ u\left( 0 \right) = u'\left( 0 \right) = u'\left( 1 \right) = 0 \end{array} \right. $ 解的存在性，通过计算相应的线性问题的特征值与代数重数，获得了2个正解、2个负解及2个变号解的存在性结果.如果非线性项是奇函数，则所述问题至少存在2个正解、2个负解及4个变号解.

Abstract: The existence of solutions to boundary value problems of nonlinear third-order differential equations has been studied according to the fixed point index theory and topological degree theory, $ \left\{ \begin{array}{l} - u'''\left( t \right) = f\left( {t, u\left( t \right)} \right), t \in \left[ {0, 1} \right]\\ u\left( 0 \right) = u'\left( 0 \right) = u'\left( 1 \right) = 0 \end{array} \right. $ By calculating the eigenvalues and algebraic multiplicities of the corresponding linear problems, the existence results of two positive solutions, two negative solutions and two sign-changing solutions have been obtained. If the nonlinearity term is an odd function, there are at least two positive solutions, two negative solutions and four sign-changing solutions.

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三阶微分方程在应用数学和物理等很多学科中有重要的应用，许多实例都可以用它来刻画，如扰度弯曲的梁、电磁波的传播、重力驱动等，处理此类的方法也有很多.文献[1]首先对三阶微分方程降阶，然后采用比较原理得到解的存在性结果.文献[2]利用上下解方法讨论了三阶两点边值问题正解的存在性.文献[3]运用Krasnoselskii不动点定理研究了三阶奇异问题正解的存在性与多重性.文献[4]运用Henderson不动点定理得到了一类三阶三点边值问题至少有2个正解的存在性结果.文献[5]应用Leggett-williams不动点定理和格林函数得到边值问题存在三重正解的充分条件.文献[6-12]应用不动点指数并通过计算相应线性算子的特征值来研究非线性微分方程边值问题解的存在性结果.

受以上启发，本文讨论如下三阶微分方程边值问题

其中f∈C([0, 1]×R，R)，应用不动点指数定理及Leray-Schauder度，在某些适当条件下得到BVP(1)多个正解及变号解的存在性.以下给出非线性项f的假设.

(H₁)对任意t∈[0, 1]，u∈R\{0}，f(t，u)u>0；

(H₂)方程$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda}=\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$的无穷多个正解是：0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_n < λ_n+1 < …；

(H₃)存在正整数n₀和n₁，使得λ_2n₀³ < α₀ < λ_2n₀+1³，λ_2n₁³ < α₁ < λ_2n₁+1³，其中$\alpha_{0}=\lim \limits_{u \rightarrow 0} \frac{f(t, u)}{u}, \alpha_{1}=\lim \limits_{|u| \rightarrow \infty}\frac{f(t, u)}{u}$关于t在[0, 1]上一致；

(H₄)存在常数M>0使得对任意的|u|≤M，|f(t，u)| < $\frac{{24}}{{17}} $ M.

注1 代数方程$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda}=\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$具无穷多个正解是显然的，注意到$\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda}>0$，并且当λ→+∞时，$\mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda} \rightarrow 0$，而$\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$是取值充满[-1，1]中的连续周期函数，所以$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda}=\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$有无穷多个正根.

2. 预备知识

设E={u∈C²[0, 1]：u(0)=u′(0)=u′(1)=0}是按范数‖u‖=‖u‖₀+‖u′‖₀+‖u″‖₀构成的实Banach空间，其中‖u‖₀=$\max\limits_{t∈[0， 1]} $|u(t)|，显然对u∈E有‖u‖₀≤‖u′‖₀≤‖u″‖₀.令P={u∈E：u(t)≥0，t∈[0, 1]}，同时定义算子K，F和A为

其中

注2  通过简单的计算可知，G(t，s)≥0.

引理1   对任意f∈C[0, 1]，u∈C³[0, 1]是下面问题

的解，当且仅当u∈C[0, 1]，并且u(t)= $\int_0^1$G(t，s)f(s)ds.

证  对方程-u'''(t)=f(t)在t∈[0, 1]上连续积分3次，可得

将u(0)=u′(0)=u^′(1)=0代入可得

从而

注意到

因此

且在边界上成立u(0)=u′(0)=u′(1)=0.

显然算子K，A：E→E全连续，通过引理1我们得到边值问题(1)在C³[0, 1]中的解等价于算子方程Au=KFu在E中的不动点.

引理2  假设(H₁), (H₃)成立，则算子A=KF在θ和∞点是Fréchet可导的，进一步有A′(θ)=α₀K，A′(∞)=α₁K.

证  由$\alpha_{0}=\lim \limits_{u \rightarrow 0} \frac{f(t, u)}{u}$关于t在[0, 1]上一致，即对任意ε>0，存在δ>0使得∀t∈[0, 1]，0 < |u| < δ，有|f(t，u)-α₀u|≤ε|u|，注意到f(t，0)=0，因此对于u∈E，当‖u‖ < δ时，有|(Au-Aθ-α₀Ku)(t)|=|K(Fu-α₀u)(t)|≤‖K‖$\max\limits_{s∈[0， 1]}$ |f(s，u(s))-α₀u(s)|≤‖K‖‖u‖ε，从而$\lim\limits_{ ‖u‖→0} \frac{{ ‖Au-Aθ-α_0 Ku‖}}{{‖u‖}} =0$，即A′(θ)=α₀K.

再由$α_{1}=\lim\limits_{ |u|→∞ } \frac{{f(t， u)}}{{ u}}$关于t在[0, 1]上一致，即对任意ε>0，存在R>0使得∀t∈[0, 1]，|u|>R，有|f(t，u)-α₁u|≤ε|u|.令σ=$\max\limits_{ |u|≤R} |f(t， u)|$，则|Fu(t)-α₁u(t)|=|f(t，u(t))-α₁u(t)|≤σ+α₁R+ε‖u‖.因此|(Au-α₁Ku)(t)|=|K(Fu-α₁u)(t)|≤‖K‖(σ+α₁R+ε‖u‖)，从而$\lim\limits_{ ‖u‖→+∞} \frac{{ ‖Au-α_{1}Ku‖ }}{{‖u‖ }}≤ε‖K‖$，即A′(∞)=α₁K.

引理3  假设(H₁)成立，若u∈P\{θ}是边值问题(1)的解，则u∈P°.

证  由于u∈P\{θ}及u(t)=$∫^{1}_{0}G(t， s)f(s， u(s)){\rm d}s$，显然$u(t)>0， u″(0)=∫^{1}_{0}(1-s)f(s){\rm d}s>0$，故u∈P°.

注3  类似的，若u∈(-P)\{θ}是边值问题(1)的解，则u∈-P°.

引理4  假设(H₂)成立，则线性算子K的所有正的特征值为$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}>\frac{1}{\lambda_{2}^{3}}>\cdots \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}>\cdots>0$，且每个特征值$\frac{1}{\lambda_{n}^{3}}$的代数重数为1.

证  显然，$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}>\frac{1}{\lambda_{2}^{3}}>\cdots \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}>\cdots>0$.下设μ是线性算子K的任一正特征值，u∈E\{θ}为对应于μ的特征函数，则有

通过计算，线性微分方程边值问题(15)的特征方程的特征根是$-\lambda, \frac{1}{2} \lambda(1+\sqrt{3} i), \frac{1}{2} \lambda(1-\sqrt{3} i)$，其中λ=$ \frac{1}{\sqrt[3]{\mu}}$，所以其通解为

于是

由边界条件u(0)=u′(0)=0，有C₁=-C₂，C₃= $\sqrt{3}$C₁，C₁≠0.再由边界条件u′(1)=0，有

结合(H₂)不难看出，$\lambda=\frac{1}{\sqrt[3]{\mu}}$为λ₁，λ₂，…，λ_n，…中一个，从而$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}, \frac{1}{\lambda_{2}^{3}}, \dots, \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}, \dots$为线性算子K的特征值，且对应于特征值$ \frac{{1}}{{ λ^{3}_{n} }}$的特征函数是

其中C是非零常数，据此有

以下证明

首先ker(I-λ_n³K)⊂ker(I-λ_n³K)²显然成立，故只需要证明ker(I-λ_n³K)²⊂ker(I-λ_n³K).任给u∈ker(I-λ_n³K)²，若(I-λ_n³K)²u≠θ，则(I-λ_n³K)u就是属于K的特征值$ \frac{{1}}{{ λ^{3}_{n}}}$的特征函数，由式(19)，则存在非零常数γ使得

通过直接的计算，有

边值问题(23)对应的齐次方程的通解为

进而式(23)的通解为

其中$u*_{1}(t)=- \frac{{1}}{{ 3}} γλ_{n}t{\rm e}^{-λ_{n}t}$是方程u'''(t)+λ_n³u(t)=-γλ_n³e^-λ_nt的特解，$u^{*}_{2}(t)= \frac{{2}}{{ 3}} γλ_{n}t{{e}}^{ \frac{{1}}{{ 2}} λ_{n}t}\cos( \frac{{π}}{{ 3 }}- \frac{{\sqrt{ 3}}}{{ 2}} λ_{n}t)$是方程$u'''(t)+λ^{3}_{n}u(t)=γλ^{3}_{n}{ {e}}^{ \frac{{1}}{{ 2}} λ_{n}t} \cos( \frac{{\sqrt{ 3 }}}{{2}} λ_{n}t)- \sqrt{3} \sin( \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} λ_{n}t)$的特解.不难得出

代入边界条件u(0)=u′(0)=0，有C₁=-C₂，C₃= $\sqrt{3}$ C₁.再由边界条件u′(1)=0，有

又经计算(u₀)^′(1)=0，从而式(28)可化为

化简即得$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda_{n}}=\cos \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{n}$，这与$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda_{n}}=\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{n}+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$矛盾.所以(I-λ_n³K)²u=θ，即ker(I-λ_n³K)²ker(I-λ_n³K)，故ker(I-λ_n³K)=ker(I-λ_n³K)²，从而每个特征值$\frac{{1}}{{λ^{3}_{n}}} $的代数重数为1.

下面是有关Leray-Schauder度和锥中的不动点指数理论的有关结论.在下述引理中，设E是一个实Banach空间，P是E中的锥，Ω是E中的有界开集，B(x₀，r)表示E中以x₀为中心，以r为半径的球.

引理5   设(H₁)—(H₄)成立，则

1) 存在r₀∈(0，M)，使得对所有的r∈(0，r₀]，有i(A，P∩B(θ，r)，P)=0，i(A，(-P)∩B(θ，r)，-P)=0.

2) 存在R₀>M，使得对所有的R≥R₀，有i(A，P∩B(θ，R)，P)=0，i(A，(-P)∩B(θ，R)，-P)=0.

证明   由条件(H₁)显然有A(P)⊂P，A(-P)⊂-P.由引理2、引理4和(H₃)知$\frac{{α_{0}}}{{ λ^{3}_{1}}} >1$是线性算子A′(θ)=α₀K的特征值，并且相应的特征函数为$u(t)=\mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}-{e}^{\frac{1}{2} \lambda_{1} t} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{1} t\right)+ \sqrt{3} {e}^{\frac{1}{2} \lambda_{1} t} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{1} t\right)$，显然u(t)≥0，由文献[13]可知，存在τ₀>0，使得对任意0 < r < τ₀，i(A，P∩B(θ，r)，P)=0.同理可得，存在τ₁>0，使得0 < r < τ₁，i(A，-P∩B(θ，r)，-P)=0.令r₀=min{τ₀，τ₁}，则引理5的第1个结论成立.引理5的第2个结论类似可证.

引理6^[14]   设A是E上的全连续算子，u₀∈E是A的一个不动点，假定A在u₀的一个邻域内有定义，在u₀处Fréchet可微，若1不是线性算子A′(u₀)的特征值，则u₀是全连续场I-A的孤立的单重零点，且对充分小的r>0，有

其中，k是A′(u₀)在(1，+∞)所有实特征值的代数重数之和.

引理7^[14]  设A是E上的全连续算子，若1不是线性算子A′(∞)的特征值，则对充分大的ρ>0，有

其中，k是A′(∞)在(1，+∞)所有实特征值的代数重数之和.

引理8^[15]   设P是实Banach空间E中的体锥，Ω是P中的相对有界开集，A：P→P是一个全连续的算子.若A在Ω中的任意不动点都是P的内点，则存在E的有界开集O⊂Ω，使得O包含A在E中的所有不动点，且deg(I-A，O，θ)=i(A，Ω，P).

3. 主要结论

定理1   设条件(H₁)—(H₄)成立，则边值问题(1)至少存在2个正解，2个负解，2个变号解.

证  由引理1，u∈C³[0, 1]是边值问题(1)的解，当且仅当u∈E是算子A的不动点.由(H₄)知对任意∀u∈E，t∈[0, 1]，且‖u‖=M时，有

即‖Au‖₀ < $\frac{{2 }}{{17}}$ M.同理可以证明，对任意∀u∈E，t∈[0, 1]，且‖u‖=M时，有‖(Au)′‖₀ < $\frac{{3 }}{{17}}$ M，‖(Au)″‖₀ < $\frac{{12 }}{{17}}$ M，所以‖Au‖=‖Au‖₀+‖(Au)′‖₀+‖(Au)″‖₀ < M.

由文献[16]可知

由于算子A′(θ)=α₀K大于1的所有特征值为$\frac{\alpha_{0}}{\lambda_{1}^{3}}, \frac{\alpha_{0}}{\lambda_{2}^{3}}, \dots, \frac{\alpha_{0}}{\lambda_{n}^{3}}, \dots , $因此由引理4和引理6，存在r₁∈(0，r₀]，使得

同理，由引理7和(H₃)知，存在R₁>R₀，使得

由引理5知

所以根据式(31)、式(36)、式(38)有

这意味着算子A至少有2个不动点u₁∈P∩(B(θ，R₁)\B(θ，M))和u₂∈P∩(B(θ，M)\B(θ，r₁)).显然，u₁和u₂是边值问题(1)的正解.类似的，根据式(32)、式(37)和式(39)有

这意味着算子A至少有2个不动点u₃∈-P∩(B(θ，M)\B (θ，r₁))和u₄∈-P∩(B(θ，R₁)\B (θ，M)).显然，u₃和u₄是边值问题(1)的负解.

由引理3和引理8，结合式(40)-式(43)，存在E的开集O₁，O₂，O₃，O₄，使得

以及

由式(33)、式(34)、式(45)、式(46)

由此可知算子A至少有1个不动点u₅∈B(θ，M)\(O₂∪ O₃∪ B(θ，r₁)).同理，由式(33)、式(35)、式(44)和式(47)，有deg(I-A，B(θ，R₁)\(O₁∪ O₄∪ B(θ，M))，θ)=2，则算子A至少存在1个不动点u₆∈B(θ，R₁)\(O₁∪ O₄∪ B(θ，M))，显然u₁，u₂是边值问题(1)的2个变号解.

注4   对式(44)-式(47)的推导过程进行了简化，一定程度上改进了文献[6]的证明.

推论   如果定理1的条件满足，且对每个t∈[0, 1]，f(t，·)是奇函数，则边值问题(1)至少存在2个正解，2个负解，4个变号解.

证明   由定理1知，u_i∈E，i=1，2，…6，满足u₁，u₂∈P°，u₃，u₄∈-P°，u₁，u₂∉P∪(-P)且r₁ < ‖u₅‖ < M < ‖u₆‖ < R₁，又因为f(t，-u)=-f(t，u)，(t，u)∈[0, 1]×R，知-u₅，-u₆也是边值问题(1)的变号解.故推论成立.

参考文献 (16)

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