已知算子A=-Δ，D(A)=(H₀¹($\mathscr{O}$)∩H²($\mathscr{O}$))²是正的自伴线性算子，其特征值{λ_i}_{i∈$\mathbb{N}$+}满足0＜λ₁≤λ₂…≤λ_m≤…，λ_m→+∞(m→+∞).令E₁=H₀¹($\mathscr{O}$)×L²($\mathscr{O}$)和E=E₁×E₁=(H₀¹($\mathscr{O}$)×L²($\mathscr{O}$))².其中，定义(·，·)和‖·‖分别是L²中的内积和范数; ((·，·))和‖·‖_H0¹分别是H₀¹中的内积和范数; 则空间E₁的内积和范数分别为：

设$\mathscr{D}$是E₁中包含所有双参数集D={D(τ，ω)}的集族，且满足：

首先，令

那么方程组(1)可化为：

其次，令u_t=v，则方程组(3)可转化为一阶微分方程组：

然后，令

即：

则可得到与方程组(4)等价的方程组：

最后，对方程组(5)作变换：φ=(u，z)^T，则方程组可化为：

其中，

由文献[8]中所讨论的指数二分性可得，L是空间E上的一个C₀-半群e^Lt的无限小的生成元.容易检验函数F(·，ω)：E→E关于φ是Lipschitz连续的.并且，对于任意的ω∈Ω，函数F(·，ω)有界.由文献[8]中关于微分发展方程的解的存在唯一性的经典半群理论可得，对任意的φ(τ，ω)∈E，方程(6)有唯一的解：

由文献[2]可得，对于任意的(τ，ω，f)∈$\mathbb{R}$ ×Ω×L_loc²($\mathbb{R}$，L²($\mathscr{O}$))，有：

(ⅰ) 如果φ(τ，ω)∈E，那么φ(t，τ，ω)∈(C([τ，+∞); H₀¹($\mathscr{O}$))×C([τ，+∞); L²($\mathscr{O}$)))².

(ⅱ) 如果φ(τ，ω)∈(D(A)×H₀¹($\mathscr{O}$))²，那么φ(t，τ，ω)∈(C([τ，+∞); D(A))×C([τ，+∞); H₀¹($\mathscr{O}$)))².

(ⅲ) 如果φ(t，τ，ω，φ(τ，ω))表示方程(6)的解，那么映射φ(τ，ω)→φ(t，τ，ω，φ(τ，ω))对任意的t≥τ和φ(τ，ω)是连续的.

容易检验方程(6)的解映射$\widehat{S}$(t，τ，ω，·)：φ(τ，ω)→φ(t，τ，ω，φ(τ，ω))确定了一个随机动力系统.因而，平移映射S(t，τ，ω，·)：φ(τ，ω)+((0，h₁(x)W(τ))^T，(0，h₂(x)W(τ))^T)→φ(t，τ，ω，φ(τ，ω))+((0，h₁(x)W(t))^T，(0，h₂(x)W(t))^T)也确定了方程组(1)的一个随机动力系统.

假设F  f∈L_loc²($\mathbb{R}$，L²($\mathscr{O}$))满足tempered条件，即：

假设G  A^{$\frac{1}{2}$}f满足tempered条件，即：

在本节中，给出了方程组(1)的解的一致估计.在下面的讨论中，字母c表示可变化的常数.

令ψ=(u，z)^T，z=z+δu.则方程组(5)可化为：

其中，

则方程(9)可化为：

对于方程(9)的解映射$\widehat{S}$_δ(t，τ，ω，·)和方程(6)的解映射$\widehat{S}$(t，τ，ω，·)满足以下关系：

其中，R_δ是E上的同构映射.因此，只需要考虑随机动力系统S(t，τ，ω，·)的等价系统$\widehat{S}$_δ(t，τ，ω，·)在E中的拉回吸引子.

引理1^[1] 对任意的φ=(u，v)^T∈E₁，有

引理2 若假设F成立，则对任意的(τ，ω)∈$\mathbb{R}$ ×Ω，D∈$\mathscr{D}$，存在随机变量r₁(τ，ω)和T=T(D，τ，ω)＞0，当t≥T时，且ψ₀=(ψ₁₀，ψ₂₀)∈D(τ-t，θ_-tω)，满足：

证 在空间E₁中，将方程(10)两边与ψ₁=(u₁，z₁)^T作内积可得：

由引理1和Young不等式可得：

在(τ-t，τ)上，由Gronwall引理，并用θ_-τω代替ω可得：

同理可得：

对于i=1，2.令

因为ψ₀∈D(τ-t，θ_-tω)，对于i=1，2，由(2)式可知，存在T=T(D，τ，ω)＞0，当t≥T时，满足：

又由假设F和$\underset{t\to \infty }{\mathop{\rm{lim}}}\, \frac{W\left( t \right)}{t}=0$，r_i1²(τ，ω)(i=1，2)是有限的，则：

最后令

所以，随机动力系统S(t，τ，ω，·)存在一个闭的随机$\mathscr{D}$-拉回吸收集.

证毕.

令u(x，t)=(u₁(x，t)，u₂(x，t))为带有初值((u₁₀，u₁₁+δu₁₀)^T，(u₂₀，u₂₁+δu₂₀)^T)∈D的方程组(1)的解，将u(x，t)作如下分解：

其中，

满足：

其中，方程组(17)使得i=1，2时，以下方程组成立：

并且，方程组(18)使得i=1，2时，以下方程组成立：

引理3 若假设F，G成立，则对任意的(τ，ω)∈$\mathbb{R}$ ×Ω，D∈$\mathscr{D}$，存在随机变量r₂(τ，ω)和T=T(D，τ，ω)＞0，当t≥T时，且Y_j0∈D(τ-t，θ_-tω)(j=1，2)，满足：

其中，

证 令

其中，

将方程(19)化简可得：

将方程(22)与Y_i1在E₁中作内积，再结合引理1可得：

因为

在(τ-t，τ)上，由Gronwall引理，并用θ_-τω代替ω可得：

因此，

因为

由(2)式可知，

所以，存在T=T(D，τ，ω)＞0，当t≥T时，满足：

当i=1时，方程组(20)可化为：

其中，

又令

在空间E₁中，将方程(27)两边与AY₁₂作内积可得：

由Young不等式、引理1和引理2可得：

因为

在(τ-t，τ)上，由Gronwall引理，并用θ_-τω代替ω可得：

同理，可得：

又由假设G和$\underset{t\to \infty }{\mathop{\rm{lim}}}\, \frac{W\left( t \right)}{t}=0$，r₁₂²(τ，ω)和r₂₂²(τ，ω)是有限的.又令

使得：

在本节中，讨论非自治随机Sine-Gordon方程组(1)的$\mathscr{D}$-拉回吸引子的存在性和唯一性.

引理4 若假设F，G成立，则随机动力系统S在E中是$\mathscr{D}$-拉回渐近紧的.

证 令B_{$\frac{1}{2}$}(ω)是空间(D(A)×H₀¹($\mathscr{O}$))²上以r₂(τ，ω)为半径的球.由于(D(A)×H₀¹($\mathscr{O}$))² $\circlearrowleft$ (H₀¹($\mathscr{O}$)×L²($\mathscr{O}$))²=E的嵌入是紧的，可得B_{$\frac{1}{2}$}(ω)是E中的紧集.对于任意的D∈$\mathscr{D}$，ψ(t，τ-t，θ_-tω，ψ₀)∈$\widehat{S}$_δ(t，τ-t，θ_-tω)D，由引理3可得：

从而：

其中，

所以：

又由$\widehat{S}$_δ和S等价可知，对于任意的D∈$\mathscr{D}$，有P-a.e. ω∈Ω：

即随机动力系统S在E中存在一个拉回吸引紧集B_{$\frac{1}{2}$}(ω)，所以随机动力系统S在E中是$\mathscr{D}$-拉回渐近紧的.

定理1 若假设F，G成立，则非自治随机Sine-Gordon方程组(1)在E中生成的随机动力系统S存在唯一的$\mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A}$(τ，ω).

证 由引理2可得，随机动力系统S在E中存在一个闭的随机$\mathscr{D}$-拉回吸收集.由引理4可得，随机动力系统S在E中是$\mathscr{D}$-拉回渐近紧的.因此，由文献[4]中的定理2.23可得，随机动力系统S存在唯一的$\mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A}$(τ，ω).