Existence of Infinitely Many Solutions for a Class of Kirchhoff-Type Problems Involving the Fractional p-Laplacian

考虑如下Kirchhoff型分数阶p-拉普拉斯方程：

其中$\mathit{\Omega } \subset {\mathbb{R}^N} $(N≥3) 是一个非空有界开集，∂Ω满足Lipshcitz条件，$ p_s^* = \frac{{Np}}{{N-sp}}$，(-Δ)_p^s是分数阶p-拉普拉斯算子，定义如下：

其中x∈$\mathbb{R} $^N，0＜s＜1＜p＜N，sp＜N. M：$ \mathbb{R}_0^ + \to \mathbb{R}_0^ + $是连续函数($\mathbb{R}_0^ + $表示除去0以外的正实数集)，且满足下面的条件：

(V)存在θ＞0，使得M(t)t≤θρ(t)，其中

且存在0＜m₁≤m₂＜∞与α＞1，使得

m₁t^α≤ρ(t)≤m₂t^α

令$ f:\mathit{\Omega} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是Carathéodory函数，设

满足下列条件：

(f₁)对于所有的x∈Ω和ξ∈ $\mathbb{R} $，f(x，-ξ)=-f(x，ξ)；

(f₂)对于所有的x∈Ω和ξ∈ $ \mathbb{R}$，存在a₁＞0且1＜q＜p_s^*，使得

|f(x，ξ)|≤a₁(1+|ξ|^q-1)

(f₃)对于所有的x∈Ω，都有

(f₄)对于所有的x∈Ω，都有

(f₅)对于所有的x∈Ω和ξ∈ $\mathbb{R} $，存在μ＞θp， γ₀∈L¹(Ω)且γ₁∈ $ {L^{\frac{{sp}}{N}}}$(Ω)，使得

μF(x，ξ)≤ξf(x，ξ)+γ₀(x)+γ₁(x)|ξ|^θp

(f₆)对于所有的x∈Ω和ξ∈ $\mathbb{R} $，F(x，ξ)≥0.

最近有许多文献研究了Kirchhoff型分数阶方程.文献[1]研究的是p=2的情况，利用喷泉定理，获得了方程无穷多个解的存在性.文献[2-3]研究的是带有满足(AR)条件的非线性项的方程.其中，文献[3]利用山路引理，获得了方程两个非平凡弱解的存在性；文献[2]利用对称山路引理，获得了方程无穷多个解的存在性.受以上结果的启发，本文把(AR)条件推广到一般的超二次条件，并得到方程无穷多个解的存在性.

记Q= ${{\mathbb{R}^{2N}}} $\ի，其中ի=C(Ω)×C(Ω) $ \subset {\mathbb{R}^{2N}}$以及C(Ω)= ${\mathbb{R}^N} $\Ω. W是$ {\mathbb{R}^N}$到$ \mathbb{R}$中的勒贝格可测函数的线性空间，并且满足

考虑W的闭线性子空间W₀={u∈W：u(x)=0，a.e. x∈ $ {\mathbb{R}^N}$\Ω}，并且在W₀中定义范数为

由文献[3]可知，当p∈[1，p_s^*]时，嵌入W₀ $ \circlearrowleft $L^r(Ω)为连续嵌入；当p∈[1，p_s^*)时，此嵌入为紧嵌入，并且存在常数

C₀=C₀(N，r，p，s)＞0

使得

定义I：W₀ $\to \mathbb{R} $为方程(1) 对应的能量泛函，即

如果u∈W₀满足

则称u是方程(1) 的弱解.本文主要的结果是：

定理1   假设0＜θ＜$\frac{N}{{N-ps}} $，条件(V)与(f₁)-(f₆)都成立，若θp＜q＜p_s^*，则方程(1) 有无穷多个解.

证  利用对称山路引理^[4].由条件(f₁)可知F(x，·)是偶的，且I(0)=0.下面分两步来完成定理1的证明：

步骤1   证明泛函I有山路结构.

由条件(f₄)可知，对任意的ε＞0，都存在δ₁=δ₁(ε)＞0，当|ξ|＜δ₁时，对于所有的x∈Ω，都有

由条件(f₂)可知，对于所有的|ξ|≥δ₁和x∈Ω，都存在

有

由(3) 式和(4) 式可知，对任意的ε＞0，对所有的x∈Ω和ξ∈ $\mathbb{R} $，都有

由条件(f₃)可知，对任意的K₁＞$\frac{1}{p} $ρ(1)C₀^-θ，都存在K₂，当|ξ|＞K₂时，对所有的x∈Ω，有

由条件(V)可知，对于所有的t＞0，M(t)＞0，并且：

由(5) 式和(7) 式可知，对于满足‖u‖_W0≤1的u，有

由(9) 式可知，存在足够小的r，当‖u‖_W0=r时，有

I(u)≥r^θp $\frac{1}{p} $ρ(1)-εC₀^θp-C_εC₀^qr^q-θp=α＞0

令E是W₀中的有限维子空间，对满足‖u‖_W0=1的任意的u，对于所有的t＞max{K₂，1}，由(6) 式和(8) 式可知

由于K₁＞$ \frac{1}{p}$ρ(1)C₀^-θ，则存在足够大的$ {\mathbb{R}_0}$＞0，当‖u‖_W0= $ {\mathbb{R}_0}$时，有I(u)＜0.

步骤2   证明I满足(PS)条件.

设{u_n}$\subset $W₀满足I(u_n)有界，且当n→∞时I′(u_n)→0.则存在C＞0，有

|〈I′(u_n)，u_n〉|≤C‖u_n‖_W0

且

I(u_n)≤C

首先证明{u_n}是有界的.利用反证法，假设‖u_n‖_W0→∞，则由条件(V)和条件(f₅)可得

因为I(u_n)和|〈I′(u_n)，u_n〉|≤C‖u_n‖_W0，且‖u_n‖_W0无界，可知

则由(10) 式和(11) 式可知

令

由于{ω_n}有界，则存在一列子列，仍记为{ω_n}，在W₀中ω_n$\rightharpoonup $ω，在L^p(Ω)中ω_n→ω，且在Ω中ω_n(x)→ω(x)几乎处处成立.由(12) 式可知

则存在b＞0和r＞0，使得

由文献[5]和条件(f₃)可知

由条件(f₆)和法图引理可得

由

推出矛盾.由此可得{u_n}在W₀中是有界的.

下证在W₀中u_n→u.由于W₀是自反的巴拿赫空间，因为{u_n}有界，所以存在一列子列，仍记为{u_n}，在W₀中u_n $ \rightharpoonup $u，在L^p(Ω)中u_n→u，且在Ω中u_n(x)→u(x)几乎处处成立.记

由Hölder不等式可知

|A_ψ(v)|≤‖ψ‖^p-1_W0‖v‖_W0      v∈W₀

则有

由u_n$\rightharpoonup $u且在W₀^*中I′(u_n)→0，可知

〈I′(u_n)，u_n-u〉→0

即当n→∞时，有

因为在L^p(Ω)中u_n→u，所以

f(x，u_n)(u_n-u)→0

由文献[3]可知，{f(x，u_n)(u_n-u)}在L¹(Ω)上是一致有界且等度连续的，则由维它利定理可得

由(14) 式和(15) 式可得

M(‖u‖^p_W0)A_un(u_n-u)→0     n→∞

又由M(‖u‖^p_W0)有界可得，当n→∞时，有

由(13) 式和(16) 式可得

|A_un(u_n-u)-A_u(u_n-u)|→0     n→∞

下面由Simon不等式讨论强收敛性.

当p≥2时，令n→∞，则

当1＜p＜2时，令n→∞，则

其中C是正常数，C_p和${{\tilde C}_p} $是Simon不等式中只依赖于p的常数.则由(17) 式和(18) 式可知

‖u_n-u‖^p_W0→0     n→∞

综上所述，可知I满足(PS)条件.

根据对称山路引理可知方程(1) 存在无穷多个弱解.