On Green Correspondence for the <i>kG</i>-Module with Trivial Sylow Restriction

Wen-lin HUANG

doi:10.13718/j.cnki.xdzk.2017.08.011

In this paper, we study the kG-module with trivial Sylow restriction, investigate its Green correspondent and prove that if P∩H^x=1 for any x∈G-H and, in particular, H is a strongly p-embedded subgroup of G, then Green correspondence sets up a bijection between the isomorphism classes of the indecomposable kG-module with trivial Sylow restriction and of the indecomposable kH-module with trivial Sylow restriction.

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平凡西罗限制模是一类特别的内平凡模，内平凡模是内同态环(自同态环)在稳定模范畴中平凡的kG-模^[1]，它是稳定模范畴的Picard群的元素^[2]，是内置换模的组成部分，而内置换模还是p-可解群和p-幂零群等某些有限群的不可约模的源；平凡西罗限制模还是一种特别的p-置换模，而p-置换模在块代数的p-置换等价和Dade群的结构方面都有重要应用^[3].

在文献[4]中，J. Green首次提出了一种关于有限群G上的不可分解模与其子群H上的不可分解模之间的转移定理，也就是著名的格林对应定理；在文献[5]中，他再次提出该定理，并用于研究有限群公理化表示中的G-函子上的转移定理.如今，格林对应定理已经成为有限群表示论中的十分重要的研究工具，例如，文献[6]研究了模覆盖和块覆盖与格林对应之间的关系.

本文研究平凡西罗限制模和它的格林对应，并刻画了平凡西罗限制kG-模的盖、顶、维数、分解结构；证明了不可分解平凡西罗限制kG-模的格林对应恰是它的限制模的盖，以及，对于群G的子群H和西罗p-子群P，若任意x∈G-H，都有P∩H^x=1，那么，不可分解平凡西罗限制kH-模的诱导模仍是平凡西罗限制kG-模.

此时，格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.特别地，若子群H在群G中是强嵌入的，那么，格林对应也建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

1. 平凡西罗限制kG-模

本文中，我们设定，G是一个有限群，p是G的阶的素数因子，k是一个特征为p的数域，所有的模都是有限生成的.关于本文的记号和术语，读者可参考文献[7-10].

定义1  设P是有限群G的西罗p-子群，M是一个kG-模，若M限制到P上有分解：$\text{Res}_{P}^{G}M=k\oplus S$，S是一个投射kP-模，则称M是一个平凡西罗限制kG-模.

注1  定义1中，由于

而End(S)仍是投射模，所以，Res_P^GM是内平凡kP-模，从而，平凡西罗限制kG-模M是内平凡kG-模(参考文献[11]中的引理2.2).

注2  因为投射模的共轭模仍是投射模，所以定义1中的平凡西罗限制kG-模M的定义不依赖于西罗p-子群P的选择.

注3  因为投射模都是置换模(参见文献[10]中的推论27.2)，所以平凡西罗限制kG-模是p-置换kG-模.

引理1  设P是有限群G的西罗p-子群，M和N是平凡西罗限制kG-模，U是一个投射kG-模，那么

1) 对偶模M^*是平凡西罗限制kG-模；

2) 共轭模M^g平凡西罗限制kG-模；

3) M⊗N是平凡西罗限制kG-模；

4) M⊕U是平凡西罗限制kG-模.

证  1) 设Res_P^GM=k⊕S，S是投射kP-模，则

然而，由于kG是自内射代数，投射模S的对偶S^*仍是投射模(参考文献[6]中的性质6.7)，所以，M^*是平凡西罗限制kG-模.

2) 同理，由参考文献[6]中的例10.10知，M^g≅M，那么，Res_P^GM^g≅Res_P^GM=k⊕S，共轭模M^g是平凡西罗限制kG-模.

3) 又设Res_P^GN=k⊕T，T是投射kP-模，那么

而S⊗T是投射模，所以，M⊗N是平凡西罗限制kG-模.

4) Res_P^G(M⊕U)=(k⊕S)⊕Res_P^GU≅k⊕(S⊕Res_P^GU)，而Res_P^GU是投射kP-模，所以M⊕U是平凡西罗限制kG-模.

引理2  M是平凡西罗限制kG-模，那么dim(M)=1(mod|G|_p).

证  设Res_P^GM=k⊕S，S是投射kP-模，p是G的西罗p-子群，由文献[6]中的习题21.2知

所以

性质1  每个平凡西罗限制kG-模M都可分解为一个不可分解平凡西罗限制kG-模N和一个投射kG-模U的直和，并且该分解在kG-模同构的意义下是唯一的.

证  设N是M的不可分解非投射直因子，p是G的西罗p-子群，那么，由Krull-Schmidt定理知

式中，X是一个投射kP-模，所以，N是一个不可分解平凡西罗限制kG-模.

另一方面，若M还有与N一样的不可分解非投射直因子，则平凡模k在Res_P^GM的直和分解中的重数是2，这与Krull-Schmidt定理相矛盾.

我们称性质1中的不可分解平凡西罗限制kG-模N为M的盖.

性质2  1) 设M是不可分解平凡西罗限制kG-模，那么M的顶是群G的西罗p-子群；

2) 设M是H-投射平凡西罗限制kG-模，H是G的子群，那么H包含群G的某个西罗p-子群.

证  1) 反证法.若M的顶是G的真p-子群，那么，由文献[6]中的习题23.1知

这与引理2相矛盾.

2) 由性质1，设N是M的盖，那么，N是不可分解H-投射平凡西罗限制kG-模，由(1) 知，N的顶是G的西罗p-子群，这说明，H必须包含G的某个西罗p-子群.

由性质2得知，任何平凡西罗限制kG-模的盖的顶是G的西罗p-子群.

2. 平凡西罗限制模上的格林对应

引理3  设H是G的子群，M是平凡西罗限制kG-模，那么限制模Res_H^GM是平凡西罗限制kH-模.

证  设G的西罗p-子群P包含H的西罗p-子群Q，并设Res_P^GM=k⊕S，S是投射kP-模，那么

而Res_Q^PS是投射kQ-模，所以，Res_H^GM是平凡西罗限制kH-模.

推论1  设H是G的子群，M是kG-模，若H包含群G的西罗p-子群，那么，M是平凡西罗限制kG-模当且仅当限制模Res_H^GM是平凡西罗限制kH-模.

证  由引理3得知必要性成立.下面证明充分性.设H包含G的西罗p-子群P，那么，若Res_H^GM是平凡西罗限制kH-模，即

而

且Y是投射kP-模，所以，M是平凡西罗限制kG-模，充分性得证.

格林对应定理^[9]  设P是群G的p-子群，H是G的子群，并且H≥N_G(P)；又设V是不可分解kG-模，U是不可分解kH-模，并且P是它们的顶；那么

1) Res_H^GV和Ind_H^GU分别有唯一的顶为P的不可分解直因子f(V)和g(U)；

2) g(f(V))≅V和f(g(U))≅U，f和g建立了顶为P的不可分解kG-模同构类和顶为P的不可分解kH-模同构类之间的一一对应(参见文献[9]中的定理11.6.4).

上述一一对应也称为格林对应，它由J. Green在文献[4]中首次提出.下面的引理4称为Burry-Puig-Carlson定理(参见文献[9]中的定理11.6.9).

引理4  设P是群G的p-子群，H是G的子群，并且H≥N_G(P)；又设V是一个不可分解kG-模，并且U是Res_H^GV的不可分解直因子；若P是U的顶，那么，U恰是V的格林对应.

定理1  设P是群G的西罗p-子群，H是G的子群，并且H≥N_G(P)；若M是不可分解平凡西罗限制kG-模，那么，M的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kH-模，并且，它恰是Res_H^GM的盖.

证  由引理3知，Res_H^GM是平凡西罗限制kH-模；由性质1和性质2得知，对于Res_H^GM，它的盖是其唯一的不可分解平凡西罗限制直因子，并且，它的盖的顶是G的西罗p-子群，这说明，它的盖是其唯一的顶为G的西罗p-子群的不可分解直因子；再由引理4知，M的格林对应恰是Res_H^GM的盖，它是一个不可分解平凡西罗限制kH-模.

定理2  设H是G的子群，N是平凡西罗限制kH-模，并且M=Ind_H^GN；那么，M是平凡西罗限制kG-模当且仅当H包含G的西罗p-子群P并且P∩H^x=1，x∈G-H.

证  若H的西罗p-子群Q是G的西罗p-子群P的真子群，那么，M是H投射kG-模，从而是Q-投射kG-模(参见文献[9]中的性质11.3.5)，再由文献[6]中的习题23.1知

结合引理2，得知M不是平凡西罗限制kG-模.

下面的证明中，设Q=P，即H包含G的西罗p-子群P；此时，由Frobenius互反律(参见文献[9]中的推论4.3.8) 知

这说明，若M是平凡西罗限制kG-模，那么，一方面，由推论1得知，Res_P^GM是平凡西罗限制kP-模，再由性质1得知，对于每一个x∈P\G/H，x≠1，$\text{Ind}_{P\cap {{H}^{x}}}^{P}{{N}^{x}}$都是投射kP-模.

另一方面，共轭模N^x是平凡西罗限制kH^x-模，从而

以及

这说明，$ \text{Ind}_{P\cap {{H}^{x}}}^{P}k$是投射kP-模，所以P∩H^x是平凡子群，即P∩H^x=1.必要性得证.

反之，若P∩H^x=1，x∈G-H，与上述必要性证明类似, 结合性质1得知，Res_P^GM是平凡西罗限制kP-模，再由推论1，M是平凡西罗限制kG-模.充分性得证.

设H是群G的子群，若H含有p-元素，但对每个x∈G-H，H∩H^x都是p′群，则称H是G的强p-嵌入子群.强p-嵌入子群H包含G的任何p-子群的正规化子^[12].

定理3  设H是群G的子群，N是不可分解平凡西罗限制kH-模；若H是G的强p-嵌入子群，那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模，并且，它恰是Ind_H^GN的盖.

证  设强p-嵌入子群H包含G的西罗p-子群P，那么，H≥N_G(P)，并且，对每个x∈G-H，H∩H^x都是p′-群，从而，P∩H^x=1，由定理2得知，Ind_H^GN是平凡西罗限制kG-模，由性质2知，Ind_H^GN的盖是其唯一顶为P的不可分解直因子，再由引理4得知，Ind_H^GN的盖是N的格林对应，它是一个不可分解平凡西罗限制kG-模.

对于有限群G以及它的西罗p-子群P，若P∩P^x=1，x∈G-N_G(P)，则称西罗p-子群P是平凡交的，此时，N_G(P)是G的强p-嵌入子群；若G的任何两个不同的西罗p-子群的交子群都是平凡的，我们称G为有平凡西罗交^[13].

推论2  设P是群G的西罗p-子群，H是G的子群，并且H≥N_G(P)，N是不可分解平凡西罗限制kH-模；若G有平凡西罗交，那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模，并且，它恰是Ind_H^GN的盖.

证  G有平凡西罗交，那么，H是G的强p-嵌入子群，由定理3得知推论2成立.

推论3  设P是群G的西罗p-子群，H=N_G(P)，N是不可分解平凡西罗限制kH-模；若P是平凡交的，那么N的格林对应是一个不可分解平凡西罗限制kG-模，并且，它恰是Ind_H^GN的盖.

证  P是平凡交的，那么，H是G的强p-嵌入子群，由定理3得知推论3成立.

定理4  设群G的子群H和西罗p-子群P满足G＞H≥N_G(P)；若P∩H^x=1，x∈G-H，那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

证  一方面，由定理1知，不可分解平凡西罗限制kG-模M的格林对应f(M)是一个不可分解平凡西罗限制kH-模，并且，它恰是Res_H^GM的盖.

另一方面，由定理2知，不可分解平凡西罗限制kH-模N的格林对应g(N)是一个不可分解平凡西罗限制kG-模，并且，它恰是Ind_H^GN的盖.

综上，在H≥N_G(P)，且P∩H^x=1，x∈G-H的情形下，不可分解平凡西罗限制模在格林对应下封闭，那么，由格林对应定理得知，格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

定理5  设H是G的子群，N是平凡西罗限制kH-模；若H是群G的强p-嵌入子群，那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

证  设强p-嵌入子群H包含G的西罗p-子群P.那么，首先，H≥N_G(P)；其次，由定理1，不可分解平凡西罗限制kG-模M的格林对应f(M)是一个不可分解平凡西罗限制kH-模，并且，它恰是Res_H^GM的盖；再次，由定理3，不可分解平凡西罗限制kH-模N的格林对应g(N)是一个不可分解平凡西罗限制kG-模，并且，它恰是Ind_H^GN的盖.

综上，结合格林对应定理得知，当H是群G的强p-嵌入子群时，格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

推论4  设P是群G的西罗p-子群，H是G的子群，并且H≥N_G(P)；若G有平凡西罗交，那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

证  由推论2和定理5的证明即可证得.

推论5  设P是群G的西罗p-子群，H=N_G(P)，N是不可分解平凡西罗限制kH-模；若P是平凡交的，那么格林对应建立了不可分解平凡西罗限制kG-模同构类和不可分解平凡西罗限制kH-模同构类之间的一一对应.

证  由推论3和定理5的证明即可证得.

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