The Existence of Exponential Attractors for Coupled Suspension Bridge Equations

不失一般性，令

记V₁=Y₂×Y₀，V₂=Y₁×Y₀.记Y₀的内积和范数为(·，·)，|·|.记Y₁，Y₂，Y₃的范数分别为‖·‖，|Au|，|A²u|，其中A=-Δ，A²=Δ².根据Poincaré不等式得

其中λ₁＞0是Δ²的第一特征值.为了书写方便，记E₀=V₂×V₁，并且赋予范数

为了证明本文的主要结论，假设非线性函数 $f_1 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 和 $f_2 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 并且满足下面的条件：

除此以外，还需要下面一些抽象结果.

定义1(加强的平坦性条件) 设X为一致凸的Banach空间，对任意的有界子集B⊂X，存在X的有限维子空间X₁⊂X及k，l＞0和T＞0使得

(ⅰ) ${P_m}(\bigcup\limits_{s \ge t} {S(s)B)} $ 有界;

(ⅱ) ${\left\| {(I - {P_m})(\bigcup\limits_{s \ge t} {S(s)x)} } \right\|_X} \le k{{\rm{e}}^{ - lt}} + \phi (m)$ ，∀x∈B，t≥T.

其中：P_m：X→X₁为有界投影，dimX₁=m，ɸ(m)为一实函数，满足 $\lim\limits_{s \to \infty} \phi(s) = 0$ .

引理1^[8] 设{S(t)}_t≥0为完备度量空间X中的半群，B为{S(t)}_t≥0在空间X中的有界吸收集，则以下条件等价：

(ⅰ) $\bigcup\limits_{s \ge t} {S(s)B}$ 的非紧性测度是指数衰退的，即存在k，l＞0使得

(ⅱ)半群{S(t)}_t≥0在X中拥有指数吸引子.

引理2^[8] 设X中的半群{S(t)}_t≥0满足加强的平坦性条件，则 $\bigcup\limits_{s \ge t} {S(s)B}$ 的非紧性测度是指数衰退的.

引理3^[8] 设X为一致凸的Banach空间，{S(t)}_t≥0为X中的强连续或强弱连续半群.则{S(t)}_t≥0在X中拥有指数吸引子，如果它满足：

(ⅰ) {S(t)}_t≥0在X中存在有界吸收集B⊂X;

(ⅱ) {S(t)}_t≥0满足加强的平坦性条件.

引理4^[5-6] 假设条件(3)-(5) 成立，α₁＞0，α₂＞0，k＞0，若g₁(x)，g₂(x)∈L²(Ω)，(u₁，u₂)∈V₁，(v₁，v₂)∈V₂，则问题(1) 存在唯一解(u，v)满足

∀T＞0，并且{u₁，v₁，u₂，v₂}→{u(t)，u_t(t)，v(t)，v_t(t)}在V₁×V₂中连续.

利用引理4，可以定义与问题(1) 相关的C⁰半群S(t)，即

且S(t)将V₁×V₂映射到它本身.

由引理2，为了证明指数吸引子的存在性，首先需要下面的结论.

引理5^[5](有界吸收集) 设α₁＞0，α₂＞0，k＞0，g₁，g₂∈L²(Ω)， $f_1 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ ， $f_2 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 满足条件(3)-(5)，则与问题(1) 相关的解半群S(t)在V₁×V₂中存在有界吸收集.

引理6^[9] 设α₁＞0，α₂＞0，k＞0， $f_1 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ ， $f_2 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 满足条件(3)-(5)，则f₁，f₂：Y²×Y¹Y⁰×Y⁰为紧连续.

下面证明半群S(t)满足引理2中的加强的平坦性条件.

定理1 设α₁＞0，α₂＞0，α₃＞0，g₁，g₂∈L²(Ω)， $f_1 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ ， $f_2 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 满足条件(3)-(5)，则问题(1) 对应的解半群S(t)在V₁×V₂中满足加强的平坦性条件.

证 设(γ_i，λ_j)，i，j=1，2，…为算子A²×A在空间Y₂×Y₁中的特征值，满足

且当j→∞时，λ_j→∞; 当i→∞时γ_i→∞，(x_j，ω_i)为特征值(λ_j，γ_i)对应的特征向量，它们构成空间Y₂×Y₁的一组正交基，满足：

设H_m=span{x₁，x₂，…，x_m}，Q_n=span{ω₁，ω₂，…，ω_n}，P_m：Y₂→H_m为正交投影，Q_n：Y₁→G_n也为正交投影，对∀(u，u_t，v，v_t)∈V₁×V₂，我们作如下分解

其中

选取0＜ε＜1，且0＜ε(α-ε)＜λ₁.用ɸ=u_2t+εu₂，ψ=v_2t+εv₂分别作为试验函数与(1) 式中的两个式子在空间L²(Ω)中作内积，计算后得

其中

显然，我们可以得到

所以，结合(6)-(12) 式，根据(2) 式可得

因为g₁，g₂∈L²(Ω)，且根据引理6可知(f₁，f₂)：Y²×Y¹→Y⁰×Y⁰紧连续，所以对任意的 $0< \delta < \sqrt{\frac{C}{\lambda_m}}$ ，存在m＞0，使得

定义泛函：

并取

则有

根据Gronwall引理，可得

不难验证，存在常数C₁＞1，使得

其中

故

因此，问题(1) 的解半群{S(t)}_t≥0在空间V₁×V₂中满足加强的平坦性条件.

于是，由引理3，5和定理1即得我们的主要结论：

定理2(指数吸引子) 设α₁＞0，α₂＞0，k＞0，g₁，g₂∈V₁， $f_1 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ ， $f_2 \in C^2 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ 满足条件(3)-(5)，则与问题(1) 相关的解半群{S(t)}_t≥0在空间V₁×V₂中拥有指数吸引子.