The Equivalent Characterization of Several Kinds of n-Fold Fuzzy Filters in the Residuated Lattice

为给不确定信息处理理论提供可靠且合理的逻辑基础，许多学者提出并研究了非经典逻辑系统，同时，作为非经典逻辑语义系统的各种逻辑代数也被广泛研究.目前，大多数学者都认同剩余格为一种最广泛的逻辑代数结构^[1-3]，而滤子是非经典逻辑代数研究领域的一个重要概念，它们对各种逻辑系统及与之匹配的逻辑代数的完备性问题的研究发挥着极其重要的作用.文献[4]在剩余格上引入了布尔滤子和正蕴涵滤子的概念，文献[5]在BL-代数上深入的研究了模糊正蕴涵滤子和模糊布尔滤子的特性和模糊化问题，文献[6]在剩余格上引入MTL-滤子并研究了它们的性质，文献[7-8]讨论了各类滤子概念间的相互关系，而文献[9]又在剩余格BL-代数上提出了重滤子的理论.鉴于此，本文在上述有关工作的基础上，将BL-代数上的重滤子理论进一步推广到剩余格上的模糊滤子，引入了剩余格上n-重模糊蕴涵滤子、n-重模糊极滤子和n-重模糊正蕴涵滤子的概念，考察了它们的若干性质，并利用它们的性质获得了剩余格上这几类n-重模糊滤子的特征定理，最后系统梳理了这几类n-重模糊滤子之间的相互关系，获得了一些有意义的结果.研究结果使得剩余格上的模糊滤子理论得到进一步充实和丰富，概念间的层次关系更加的清晰和完善.

下面先给出本文将用到的几个定义.

定义1^[1] 称(2，2，2，2，0，0)-型代数L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 为剩余格，若满足以下条件：

(1) (M，∧，∨，0，1) 是有界格；

(2) (M，⊗，1) 是交换的幺半群；

(3) 对于任意的x，y，z∈M，x⊗y≤z⇔y≤x→z.

性质1^[1] 设L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 为剩余格，则对于任意的x，y，z∈L，以下条件成立：

(1) x→y=1当且仅当x≤y；

(2) 1→x=x，x→x=1，x→1=1，0→x=1；

(3) x⊗(x→y)≤y，y≤(y→x)→x；

(4) (x→y)⊗(y→z)≤x→z；

(5) x→(y→z)=y→(x→z)=(x⊗y)→z；

(6) 若x≤y，则y→z≤x→z，z→x≤z→y；

(7) y→x≤(z→y)→(z→x)，x→y≤(y→z)→(x→z)；

(8) 约定 ${{x}^{n}}=\underbrace{x\otimes \cdots \otimes x}_{n},n\in \mathbb{N},{{x}^{n}}\to x=1$ ；

(9) x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)，x∨y≤(y→x)→x.

定义2^[3] 设L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 为剩余格，μ：L→[0, 1]为L上的一个模糊集，如果对于任意的x，y∈L，满足：

(FF1) μ(1)≥μ(x)；

(FF2) μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y).

那么模糊集μ被称为是剩余格L上的模糊滤子.

性质2^[3] 设L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 为剩余格，模糊集μ为剩余格L上的模糊滤子，则对于任意的x，y，z∈L，下列性质成立：

(1) 如果x≤y，则μ(x)≤μ(y)，即μ是保序的；

(2) μ(x→y)≤μ(y→z)→μ(x→z)；

(3) μ(y→x)≤μ(z→y)→μ(z→x)；

(4) μ(y⊗x)=μ(x∧y)=μ(x)∧μ(y)；

(5) μ((x→y)⊗(y→z))≤μ(x→z).

定义3设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，若对于任意的x，y，z∈L，满足

且

则称μ是L上的一个n-重模糊蕴涵滤子(n=1，2，…).

定义4 设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，若对于任意的x，y，z∈L，满足

且

则称μ是L上的一个n-重模糊极滤子(n=1，2，…).

定义5 设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，若对于任意的x，y，z∈L，满足

且

则称μ是L上的一个n-重模糊正蕴涵滤子(n=1，2，…).

引理1 设L是剩余格，模糊集μ为L上的n-重模糊蕴涵滤子，则对于任意的x∈L，有

证 因为模糊集μ为L上的n-重模糊蕴涵滤子，则对于任意的x∈L，满足

即

再结合(FF1) 式可知

证毕.

引理2 设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，则μ是L上的n-重模糊正蕴涵滤子的充要条件是：对于任意的x，y∈L，有μ(x)=μ((xⁿ→y)→x).

证  (1) 必要性：设模糊滤子μ是剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子，由定义5可知

即

而另一方面，对于任意的x，y∈L，在剩余格上有

进而由性质2可知

故综上可得：

(2) 充分性：因为μ是剩余格L上的模糊滤子，且对于任意x，y∈L，有

那么由定义2知

即

由定义5可得模糊滤子μ是剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子.证毕.

定理1设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，若μ为剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子，则μ也为剩余格L上的n-重模糊极滤子.

证 因为对于任意的x，y∈L，在剩余格上有

则

进而

因此

而又因为μ为剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子，故由引理2可得：

因此综上可知

即μ为剩余格L上的n-重模糊极滤子.证毕.

注1 若模糊集μ为L上的n-重模糊极滤子，但并不是L上的n-重模糊正蕴涵滤子.

例1 设M={0，a，b，1}，其中0≤a≤b≤1，令x∧y=min{x，y}，x∨y=max{x，y}，且在M中定义二元运算→和⊗如表所示：

则L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 构成一个剩余格.在L上定义模糊集μ：L→[0, 1]，使μ(0)=μ(a)=μ(b)=β，μ(1)=α，其中0≤β＜α≤1.可以验证模糊集μ为剩余格L上的n-模糊极滤子，但非n-重模糊正蕴涵滤子，这是因为μ((bⁿ→0)→b)≠μ(b)，由引理2可知模糊集μ不是剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子.

定理2 设L是剩余格，模糊集μ为L上的模糊滤子，若μ为剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子，则μ为剩余格L上的n-重模糊蕴涵滤子.

证 设L是剩余格，μ是L上的n-重模糊正蕴涵滤子，对于任意的x，y，z∈L，由定义2、定义5和引理1有

即

综上由定义3可得模糊滤子μ为剩余格L上的n-重模糊蕴涵滤子.证毕.

定理3 设L是剩余格，模糊集μ是L上的n-重模糊蕴涵滤子，则对于任意的x，y∈L，当μ(xⁿ→(xⁿ→y))=μ(1) 时，μ为剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子.

证 因为μ为剩余格L上的n-重模糊蕴涵滤子，且对于任意的x，y，z∈L，有μ(xⁿ→(xⁿ→y))=μ

故由定义2及性质2可知：

因此就有

从而可得

即

由定义5可知模糊滤子μ为剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子.证毕.

注2 剩余格L上的n-重模糊极滤子与n-重模糊蕴涵滤子之间没有必然等价关系.

例2 在例1所给的剩余格L上定义模糊集μ：L→[0, 1]使μ(0)=μ(a)=μ(b)=β，μ(1)=α，其中0≤β＜α≤1，可以验证模糊集μ为剩余格L上的n-重模糊极滤子，但非n-重模糊蕴涵滤子，这是因为

例3 设M={0，a，b，1}，其中0≤a≤b≤1，令x∧y=min{x，y}，x∨y=max{x，y}，且在

则L=(M，∧，∨，⊗，→，0，1) 是一个剩余格.在L上定义模糊集μ：L→[0, 1]使μ(0)=μ(b)=β，μ(1)=μ(a)=α，其中0≤β＜α≤1，可以验证模糊集μ为剩余格L上的n-重模糊蕴涵滤子，但非n-重模糊极滤子，这是因为

显然，μ(((bⁿ→a)→a)→b)＜μ(1→(a→b))∧μ(1).

定理4 设L是剩余格，若模糊集μ既是L上的n-重模糊极滤子又是L上的n-重模糊蕴涵滤子，则μ必是L上的n-重模糊正蕴涵滤子.

证 因为μ是剩余格L上的n-重模糊极滤子，由定义4可知对于任意的x，y，z∈L，有

在该式中令z=1，y=xⁿ→y，则就有

又因为μ也是剩余格L上的n-重模糊蕴涵滤子，由引理1可得

因此

从而

即μ是剩余格L上的n-重模糊正蕴涵滤子.证毕.

众所周知，滤子是研究逻辑代数的有效工具，文章在剩余格中引入了n-重模糊蕴涵滤子、n-重模糊极滤子和n-重模糊正蕴涵滤子的概念，通过研究它们的特征及性质，获得了这几类n-重模糊滤子之间的相互转化的条件，在下一步的工作中我们将继续研究剩余格上的其它n-重模糊滤子的特征及性质，使其为非经典逻辑代数的深入研究奠定基础.