Some Minimal Inequalities for Conditional Demimartingales

本文所提到的随机变量都定义在概率空间(Ω，$ \mathscr{A}$，P)上.用E^{$ \mathscr{F}$}(X)表示随机变量X的条件数学期望，即

这里$ \mathscr{F}$是$ \mathscr{A}$的一个给定的子σ-代数.记

I_A表示集合A的示性函数.

定义1^[1]  设{S_n，n≥1}是一列L¹随机变量，如果对任意j≥1，有

其中f是任意的分量不减的函数且使期望有意义，那么称{S_n，n≥1}是一个弱鞅(demimartingale).进而，若f是非负函数，则称{S_n，n≥1}是一个弱下鞅(demisubmartingale).

弱鞅和弱下鞅的概念是由Newman和Wright^[1]提出的，此后许多学者对这一概念进行了系统研究^[1-8]. 2010年，Hadjikyriakou^[9]引入了条件弱鞅和条件弱下鞅的概念.

定义2^[9]  设{S_n，n≥1}是一列随机变量，如果对任意1≤i＜j＜∞，有

其中f是任意的分量不减的函数且使条件期望有意义，那么称{S_n，n≥1}是给定$ \mathscr{F}$下的一个条件弱鞅($ \mathscr{F}$-demimartingale).进而，若f是非负函数，则称{S_n，n≥1}是一个条件弱下鞅($ \mathscr{F}$ -demisubmartingale).

很容易验证，对于任意i≥1，(1)式等价于

对于任意满足E|X|＜∞的随机变量X，从条件期望的性质E(E(X|$ \mathscr{F}$))=E(X)可知，定义在概率空间(Ω，$ \mathscr{A}$，P)上的条件弱鞅和条件弱下鞅分别是概率空间(Ω，$ \mathscr{F}$，P)上的弱鞅和弱下鞅，但是反之并不成立. Hadjikyriakou^[9]给出了一个随机变量序列是弱鞅但不是条件弱鞅的例子.

很多学者给出了许多关于条件弱鞅的结果，比如，Christofides和Hadjikyriakou^[10]给出了条件弱鞅的Chow型不等式，Wang等^[11]得到了条件弱鞅的另外一些形式的最大值不等式和矩不等式.

定义3^[9]  称随机变量X₁，X₂，…，X_n是条件相协的($ \mathscr{F}$-associated)，如果

其中f，g是任意的分量不减的函数且使上述条件协方差有意义.称{X_n，n≥1}是条件相协随机变量序列，如果对每个n≥1，随机变量X₁，X₂，…，X_n是条件相协的.

由条件相协随机变量的定义知，均值为零的条件相协随机变量序列的部分和是一个条件弱鞅.

Dai^[12]利用弱鞅的性质，给出了非负弱鞅的极小值不等式.受其启发，本文在文献[12]的基础上，利用条件弱鞅的性质，得到了条件弱鞅的一类极小值不等式.

引理1^[10]  设{S_n，n≥1}是一个条件弱鞅或条件弱下鞅，如果f是一个不减凸函数，那么{f(S_n)，n≥1}是一个条件弱下鞅.

引理2^[10]  设{S_n，n≥1}是一个条件弱鞅或条件弱下鞅，则{S_n⁺，n≥1}和{S_n^-，n≥1}是一个条件弱下鞅.

引理3^[11]  设{S_n，n≥1}是一个条件弱鞅，且g(·)是$ \mathbb{R}$上的一个不减凸函数，满足E^{$ \mathscr{F}$}[g(S_i)]＜∞ a.s.，i≥1，则对任意的$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

推论1  设{S_n，n≥1}是条件弱鞅，S₀=0，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  在引理3中，令g(x)=x，就得到了上述结论.

设g是$ \mathbb{R}$上的一个凸函数，凸函数g的左导数定义如下：

因此，h(x)是一个不减函数，并且有

定理1  设{S_n，n≥1}是非负条件弱(下)鞅，S₀=0，g(·)是$ \mathbb{R}$上的一个不减凸函数，且满足g(0)=0，{c_n，n≥1}是一负的不增的且关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量序列，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  对固定的n≥1，令

则A可以写为

其中

当i≠j时，

且

由于{c_n，n≥1}不增，有

注意到

因为h(S₁)I_A1是关于S₁的非负不减函数，由条件弱(下)鞅的定义可知，

从而有

又因为{c_n，n≥1}是负值，有

所以，我们可以得到

注意到

因为

h(S₂)I_A1∪A2是非负的且关于{S₁，S₂}的每个分量不减的函数，因此，有

从而有

由(2)式和(3)式，注意到c_n，n≥1是负值，就有

重复上述步骤，可以得到

因为

并且

所以I_{A1∪A2∪…∪An-1}是非负的且关于{S₁，S₂，…，S_n-1}的每个分量不减的函数，又因为{S_n，n≥1}是非负条件弱(下)鞅，{c_n，n≥1}是一负的不增的随机变量序列，故

结合(4)式和(5)式，就有

证毕.

推论2  设{S_n，n≥1}是非负条件弱(下)鞅，S₀=0，{c_n，n≥1}是一负的不增的且关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量序列，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  在定理1，令g(x)=x就可以得到推论2的结果.

在定理1中，若取g(x)=x⁺，则g(x)是一个非负的凸函数，因此，就有下面的推论.

推论3  设{S_n，n≥1}是非负条件弱(下)鞅，S₀=0，且{c_n，n≥1}是一负的不增的且关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量序列，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

定理2  设{S_n，n≥1}是非负条件弱鞅，S₀=0，{c_n，n≥1}是一负的不减的且关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量序列，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  对固定的n≥1，令

则A可以写成

其中

当i≠j时，

且

根据{c_n，n≥1}的单调性，有

因为I_A1是关于S₁的非负不减函数，由条件弱鞅的定义可知，

注意到c_n，n≥1是负值，就有

而且，由条件弱鞅的定义可知，

所以，可以得到

因为

I_A1∪A2是非负的且关于{S₁，S₂}的每个分量不减的函数，因此，有

又{c_n，n≥1}是负值，就有

从而就有

重复以上步骤，就得到

证毕.

上面的定理1，2及推论2，3，给出了非负条件弱(下)鞅的最小值不等式，采用同样的方法，可以得到非正条件弱鞅类似的结果.

定理3  设{S_n，n≥1}是非正条件弱鞅，S₀=0，{c_n，n≥1}是一正的不减的且关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量序列，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  与定理1的证法类似.

在定理3中，令c_k=1，a.s.，k≥1，可得下面的推论.

推论4  设{S_n，n≥1}是条件弱鞅，S₀=0，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

定理4  设{S_n，n≥1}是条件弱鞅，S₀=0，则对任何关于$ \mathscr{F}$可测的随机变量ε＞0 a.s.，有

证  令

因为，

所以，有

因此，就有

证毕.