An Analysis of a Discrete-Time SIS Epidemic Model and Its Flip Bifurcation

考虑感染者恢复后不具有免疫力的疾病传播问题，将总人口N(t)分为易感者S(t)和染病者I(t)，且满足N(t)=I(t)+S(t).我们忽略所考虑的国家或者地区人口的迁入和迁出.假设人口输入的唯一方法是生育，并且为了阻断垂直传播，假设只有易感者可以生育，人口生育为常数Λ.

我们用p表示单位时间内个体的存活概率，γI反映单位时间内社会对于染病者的治愈能力.其中0＜p＜1和0＜γ＜1.随着疾病的发展，产生的染病者在一定时间内会越来越多，这就会导致一个易感者不能被感染的概率越来越小，因此我们用$\rm{e}^{ - \frac{{\mathit{\beta I}\left( \mathit{t} \right)}}{{\mathit{N}\left( \mathit{t} \right)}}}$来刻画单位时间内一个易感者不能被感染的概率.也就是，$ \rm{1-e}^{- \frac{{\mathit{\beta I}\left( \mathit{t} \right)}}{{\mathit{N}\left( \mathit{t} \right)}}}$表示单位时间内一个易感者被感染的概率.又因为t时刻发生的感染一定与t-1时刻的染病者人数有关系，因此在本文中，我们采用$\rm{1-e}^{ - \frac{{\mathit{\beta I}\left( {\mathit{t}{\rm{ - 1}}} \right)}}{{\mathit{N}\left( {\mathit{t}{\rm{ - 1}}} \right)}}}$来刻画一个易感者被感染的概率.尽管文献[6]中采用过类似的指数发生率，但是与本文中的发生率有着很大的不同.文献[6]中作者采用的是传统的双线性发生率βI(t)S(t)，而e^{-kI(t-1)S(t-1)}是用来刻画社会对于疾病所采取的一系列有效控制措施对于感染概率β的影响.由此本文建立离散SIS模型如下：

将模型(1)中的两个方程相加得：

显然方程(2)存在唯一的一个渐近稳定的正平衡点

也就是说

这说明模型(1)在$ {{\mathbb{R}}_{+}^{2}}$中的正向不变集是：

利用极限系统理论可以得到模型(1)的极限系统如下：

由于模型(1)和模型(4)具有相同的动力学性态，所以下面我们对模型(4)作进一步研究.利用再生矩阵的方法^[11]定义模型(1)的基本再生数为：

基本再生数R₀是传染病动力学研究中最重要的概念之一，它表示所有个体均为易感者时一个染病者在其平均染病期内成功感染的个体数.人们可以利用R₀的大小来估计传染病在整个人群中的发展趋势.一般情况下，当R₀＜1时，表示疾病将会在人群中最终消失；而当R₀＞1时，疾病将会在人群中持续下去.当R₀大到一定程度，表明疾病很难控制，并有重大疫情可能会爆发，可利用R₀的值来判断疾病在人群中是持久流行还是趋于灭绝.

将S(t)=N^*-I(t)带入模型(4)的第二个方程中化简得：

由于模型(6)是一个具有滞后性的限制系统，需要进一步进行简化.令x₁(t)=I(t)，y₁(t)=I(t-1)，N=N^*得：

化简(7)式得：

构造新的变量

设a=p，b=β，c=pγ，模型(8)可化简成：

模型(9)比模型(1)更便于分析，根据流行性病学的特点，在0＜y(t)＜1和0＜x(t)＜1条件下，参数a和c存在的范围为：

在下面的讨论中，我们将重点研究模型(9).模型(9)的稳定性和分支分析同样适用于模型(1).

本节研究模型(9)平衡点的存在性，E₀(0，0)是一个平衡点，设E(x，y)为模型(9)正平衡点，当a＞c时，R₀＞1，满足以下条件：

定义函数：

显然f(0)=a，对式(12)进行求导得：

定义g₁(x)=bx-b-1，x∈[0, 1]，易知函数g₁(x)是单调递增的.当x∈[0, 1]时，g₁(x)＜0.由于

当x∈[0, 1]时，f″(x)＞0，这说明函数f(x)是凹函数.因为函数f′(x)是单调递增的，并且f′(0)=1+c-a-ab＜0，f′(1)=1+c-ae^-b＞0，故存在x^*∈[0, 1]，使得f′(x^*)=0.根据上述一系列的计算，得到以下结论：

定理1  模型(9)存在一个正平衡点E₁(x^*，x^*)，满足x^*∈[0, 1]，并且

a) 当x∈[0，x^*]时，f′(x)＜0，即f(x)是减函数；

b) 当x∈[x^*，1]时，f′(x)＞0，即f(x)是增函数.

由于f(0)=a＜f(1)=1+c，可以得到，当x^*∈[0, 1]时，模型(9)只有一个正平衡点E₁(x^*，x^*).

若点E(x，x)是模型(9)的平衡点，利用Jacobian矩阵分析研究平衡点的稳定性.对于动力系统x(t+1)=F(x(t))，F：$ {{\mathbb{R}}^{\mathit{n}}}\to {{\mathbb{R}}^{\mathit{n}}}$，如果F(x₀)=x₀，那么x₀是一个驻点，系统接近驻点时的性态通常可以由其雅克比矩阵J(x₀)的特征方程的特征值决定.

矩阵

对应的特征方程为：

我们有如下的结论：

a) 当|λ₁|＜1且|λ₂|＜1时，E(x，x)称为焦点，是局部渐近稳定的；

b) 当|λ₁|＞1且|λ₂|＞1时，E(x，x)称为结点，是不稳定的；

c) 当|λ₁|＞1和|λ₂|＜1或|λ₁|＜1和|λ₂|＞1，E(x，x)称为鞍点；

d) 当|λ₁|=1且|λ₂|≠1(或|λ₁|≠1且|λ₂|=1)，E(x，x)称为非双曲的.

对于模型(9)，当0＜x(t)＜1和0＜y(t)＜1时，得到以下结论：

定理2  如果(c，a)∈p₊，且R₀＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的.

证  当0＜c＜a＜1时，有R₀＜1成立.令E(x，x)=E₀(0，0)，则：

对应的特征方程为

求解后得，

易知，|λ₁|＜1，|λ₂|＜1，利用Jury判据^[12]可知当R₀＜1时，E₀(0，0)是局部渐近稳定的.

为了便于证明无病平衡点的全局稳定性，将模型(9)改写成：

由0＜x(t)＜1可知

令

则函数

可得

因此，方程(16)的无病平衡点在0＜c＜a＜1的条件下是全局渐近稳定的，从0＜c＜a＜1和R₀＜1的等价性可知，当R₀＜1时，模型的无病平衡点是全局渐近稳定的，即定理2成立.

取a=0.86，b=1.34，c=0.95，当取初值分别为x₁=0，x₂=2，x₃=4，x₄=6，x₅=8时得到数值模拟结果如图 1，当R₀＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的.

下面我们利用

简化模型(9)的Jacobian矩阵A，对于平衡点E(x，x)，则：

故矩阵A的特征方程为

讨论矩阵A特征方程的根，引用文献[9]中的引理如下：

引理1^[9]  令F(λ)=λ²+Bλ+C.假设存在λ₁和λ₂，使得F(λ₁)=F(λ₂)=0，并且F(1)＞0.则有下面的结论成立：

a) F(-1)＞0，C＜1，当且仅当|λ₁|＜1且|λ₂|＜1；

b) F(-1)=0，B≠0，或B≠2，当且仅当|λ₁|=-1且|λ₂|≠1；

c) F(-1)＜0，当且仅当|λ₁|＜1且|λ₂|＞1；

d) F(-1)＞0，C=1，当且仅当|λ₁|＞1且|λ₂|＞1；

e) B²-4C＜0，C=1，当且仅当|λ₁|=|λ₂|=1.

定理3  当R₀＞1时，模型(9)的正平衡点是局部渐近稳定的.

证  令λ=1代入h(λ)，定义函数

易得：

当x∈[0, 1]时，因为F(1)＞0，所以g₂(x)＞0.函数g₂(x)的判别式

当Δ＞0时，有1＜R₀＜M，其中

由

得函数g₂(x)在x∈[0, 1]上的零点为$ {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}=\frac{\mathit{b}\left( 1+\mathit{a}+\mathit{c} \right)+\sqrt{\mathit{\Delta }}}{2\mathit{b}\left( 1+\mathit{c} \right)}$，对称轴为$ \mathit{x}=\frac{1+\mathit{a}+\mathit{c}}{2\left( 1+\mathit{c} \right)}$，为确定对称轴的位置，讨论以下两种情况：

a) 当$ \frac{1+\mathit{a}+\mathit{c}}{2\left( 1+\mathit{c} \right)}>1$，则有a＞1+c，显然不符合假定条件R₀＞1；

b) 当$ \frac{1+\mathit{a}+\mathit{c}}{2\left( 1+\mathit{c} \right)}<1$，则有a＜1+c，符合假定条件R₀＞1.

当x∈[0, 1]时，h(-1)＞1和C=b(1+c)x-ab＜1成立.当x∈[0，x^*]时，f′(x)＜0.当x∈[min(x₁，x^*)，1]时，F(1)＞0，从而引理1 a)成立，则模型(9)的正平衡点是局部渐近稳定的.

取a=0.72，b=2.38，c=0.69，取初值分别为x₁=0，x₂=5，x₃=7，x₄=10，x₅=12时，得到数值模拟结果如图 2，当R₀＞1时，正平衡点是渐近稳定的.

在离散传染病动力学模型中，随着参数取值的变化，可能会导致模型产生不同的分支，模型也会表现出不同的动力学现象.一般来讲，当离散传染病模型的平衡点的稳定性发生变化时，可能会产生各类不同的分支出现.本节将讨论flip分支的动力学现象.

在R₀＞1的情况下，本节研究模型(9)的flip分支.定理1表明，模型(9)在x∈[0, 1]范围内只有一个正平衡点E₁(x^*，x^*).引理1表明，当正平衡点E₁(x^*，x^*)失去稳定性时，当其雅克比矩阵对应的特征方程存在特征根λ₁=-1和λ₂≠1，模型(9)可能存在flip分支.当b＞2，$ \mathit{c=a}{{\rm{e}}^{-\frac{1}{2}\mathit{b}}}\left( 1-\frac{\mathit{b}}{2} \right)+1$时，正平衡点E₁(x^*，x^*)的雅克比矩阵的特征根满足λ₁=-1和λ₂≠1，其中E₁(x^*，x^*)=E₁ $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$.因为方程(11)，当$ \mathit{c=a}{{\rm{e}}^{-\frac{1}{2}\mathit{b}}}\left( 1-\frac{\mathit{b}}{2} \right)+1$时, $ \frac{4\left( \mathit{a}-\mathit{c} \right)}{2\mathit{a}+\mathit{c}-1}=\mathit{b}$.通过计算和中心流行理论证明，得到在E₁ $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$处存在flip分支，且通过matlab数值模拟得到flip分支是2周期稳定的.

模型(9)的平衡点E₁$ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$对应的矩阵A为：

特征方程为

取

令

则

方程(17)有两个根分别为λ₁=-1和λ₂= $ \frac{1}{2}\mathit{ab}{{\rm{e}}^{-\frac{1}{2}\mathit{b}}}$，则模型(9)在平衡点E₁$ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$可能存在flip分支.

定理4  当$ \mathit{c=a}{{\rm{e}}^{-\frac{1}{2}\mathit{b}}}\left( 1-\frac{\mathit{b}}{2} \right)+1$，并且b＞2时，模型(9)将会在平衡点E₁ $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$处产生flip分支，且其2周期分支是稳定的.

证  设μ为一个变量，对模型(9)做变换，令$ \mathit{\tilde{x}=x-}\frac{1}{2}, \mathit{\tilde{y}=y-}\frac{1}{2}, $ $ \mathit{\tilde{\mu }=\beta -}\frac{4\left( \mathit{a}-\mathit{c} \right)}{2\mathit{a}+\mathit{c}-1}$：

模型(18)在($ {\mathit{\tilde{x}}}$，$ {\mathit{\tilde{y}}}$，$ {\mathit{\tilde{\mu }}}$)=(0，0，0)处进行泰勒展开，得：

其中，

令

则

对模型(19)进行如下变换：

则模型(19)为

其中：

根据离散系统的中心流形理论，知道模型(19)存在一个局部流形.设局部流形有以下展开形式：

将模型(20)变换成(21)后，利用局部流形的不变性，可得到：

从模型(20)的第二个方程可知，μ(t)的值是恒定的.因此，三维模型(20)引起的中心流形为：

其中：

经计算，

并且

以上的计算表明模型(9)在E $ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$处有flip分支，且是渐近稳定的.给定参数b=5，a=0.98，对应的flip分支数值模拟见图 3.

本文主要以差分方程理论^[13]为基础建立了一类离散SIS传染病模型，并讨论了该模型的平衡点的存在性、稳定性以及平衡点不稳定时出现的flip分支问题.本文借助传染病动力学的一个重要指标——基本再生数讨论了模型平衡点的存在性，得到所讨论模型只存在一个正平衡点和一个无病平衡点，利用Jury判据和全局渐近稳定性定义得到无病平衡点的稳定性，再利用二次函数的性质等基础知识证明了唯一的正平衡点是渐近稳定的，在正平衡点出现不稳定状态.该模型存在flip分支，对flip分支进行了详细地计算和推导，得出2周期flip分支是稳定的.这一结果将丰富复杂的离散流行病模型^[14]的动力学研究内容.