Maximal Numerical Range of the Generalized Aluthge Transform

设H为复可分无限维Hilbert空间，B(H)为H上全体有界线性算子. N(A)，ρ(A)，σ(A)，σ_p(A)，W(A)，R(A)分别表示B(H)中算子A的核、豫解集、谱、点谱，数值域以及值域. M，M^∧分别表示M的范数闭包及闭凸包.

设A∈B(H)，A=U|A|是它的极分解，其中U是具有起始空间$\overline{R(|\boldsymbol{A}|)}$和终空间$\overline{R({\boldsymbol A})}$的部分等距算子，$|\boldsymbol{A}|=\left(\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}\right)^{\frac{1}{2}}$.文献[1]定义了两个新算子：

分别称为A的Aluthge变换及^*-Aluthge变换.之后这两个算子被进一步推广，即对任意的t∈(0，1)，$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}=|\boldsymbol{A}|^{t} \boldsymbol{U}|\boldsymbol{A}|^{1-t}, \widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}=\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{t} \boldsymbol{U}\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{1-t}$分别称为A的广义Aluthge变换及广义^*-Aluthge变换^[2].

近年来，关于算子$\widetilde{\boldsymbol A}$及$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}$的研究涉及到各种谱、不变子空间、数值域、本性数值域^[3-9]、平移性质等^[10].文献[11]研究了$\widetilde{\boldsymbol{A}}$及$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}$的数值域，证明了$\overline{W(\tilde{\boldsymbol{A}})}=\overline{W\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}\right)}$.文献[[12]进一步证明了$W(\widetilde{\boldsymbol{A}})=$$W\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}\right)$依然成立.文献[13]着重对$\widetilde{\boldsymbol{A}}$及$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}$的本性数值域、极大数值域展开讨论，给出$W_{0}(\widetilde{ \boldsymbol A}-\lambda)=$$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(*)}-\lambda\right)$对任意复数λ成立，其中W₀(A)表示A的极大数值域.本文主要借助算子分块的技巧，利用逼近思想研究了广义Aluthge变换的极大数值域，证明了对任意的t∈(0，1)，$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right)=W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right)$成立，将文献[13]的结论进行了推广，并给出$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda$与$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{(t *)}-\lambda$的范数以及$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}$和$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}$内导子的关系.

定义1^[14]   设A∈B(H)，$W_{0}(\boldsymbol{A})=\{\lambda \in \mathbb{C}$：存在单位向量列{x_n}⊂H，且‖Ax‖→‖A‖，(Ax_n，x_n)→λ}称为算子A的极大数值域.

文献[14]证明了W₀(A)是复平面上的非空闭凸集，且对任意复数λ₁≠λ₂，有

引理1^[13]   设T∈B(H)，M为H的闭子空间，$H=M \oplus M^{\perp}, \boldsymbol{T}=\left(\begin{array}{ll}{\boldsymbol{A}} & {\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{B}}\end{array}\right)$，则：

(ⅰ)若‖A‖=‖B‖，则W₀(T)=[W₀(A)∪W₀(B)]^∧；

(ⅱ)若‖A‖＞‖B‖，则W₀(T)=W₀(A).

引理2^[15]   设A∈B(H)，对任意t∈(0，1)，有$\sigma(\boldsymbol{A})=\sigma\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}\right)=\sigma\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}\right)$.

引理3^[16]   设U为B(H)中的非酉等距算子，${D}=\{\lambda \in \mathbb{C} :|\lambda| \leqslant 1\}$为复平面上的单位圆盘，则$D \subseteq \sigma_{p}\left(\boldsymbol{U}^{*}\right)$.

设A=U|A|为B(H)中算子A的极分解，则在空间分解H=N(A)⊕N(A)^⊥下有：

设t∈(0，1)，容易计算$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}=\left(\begin{array}{ll}{\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{X}}\end{array}\right)$，其中$\boldsymbol{X}=\left(\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^{*} \boldsymbol{C}\right)^{\frac{1}{2}} \boldsymbol{U}_{2}\left(\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^{*} \boldsymbol{C}\right)^{\frac{1-t}{2}}$为N(A)^⊥上的有界线性算子.

注意到U为部分等距算子，故存在U₀：N(A)^⊥→N(A^*)^⊥为酉算子，使得

则$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}=\boldsymbol{U} \widetilde{\boldsymbol{A}}^{t} \boldsymbol{U}^{*}=\left(\begin{array}{ll}{\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{Y}}\end{array}\right)$，其中Y=U₀XU₀^*.

定理1   设A∈B(H)，则对任意复数λ有$\left\|\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right\|=\left\|\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right\|$.

证   对任意复数λ，由于：

且Y-λ与X-λ酉等价.以下我们分情形来讨论.

情形1   若N(A)≠{0}，N(A^*)≠{0}，则

情形2   若N(A)={0}，N(A^*)={0}，则$\left\|\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right\|=\|\boldsymbol{X}-\lambda\|=\|\boldsymbol{Y}-\lambda\|=\left\|\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right\|$.

情形3   若N(A)={0}，N(A^*)≠{0}，则$\left\|\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right\|=\|\boldsymbol{X}-\lambda\|=\|\boldsymbol{Y}-\lambda\|$.

以下只需要证明‖Y-λ‖|λ|即可.

若‖Y-λ‖＜|λ|，则-λ∈ρ(Y-λ)，Y是可逆的，故X可逆，这样就有$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}=\boldsymbol{X}$可逆.由引理2知A及A^*均可逆，这显然与N(A^*)≠{0}矛盾.

情形4   若N(A)≠{0}，N(A^*)={0}，与情形3类似.

定理2   设A∈B(H)，则对任意复数λ，有$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right)=W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right)$.

证   由于$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda=\left(\begin{array}{cc}{-\lambda} & {\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{X}-\lambda}\end{array}\right): N(\boldsymbol{A}) \oplus N(\boldsymbol{A})^{\perp}$，而当H=N(A^*)⊕N(A^*)^⊥时，有

其中Y-λ与X-λ酉等价.不妨先假设$t \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$，我们分情况讨论.

情形1   N(A)={0}，N(A^*)={0}.由引理1知

情形2   N(A)≠{0}，N(A^*)≠{0}.

若‖X-λ‖=‖Y-λ‖=|λ|，则

若‖X-λ‖=‖Y-λ‖＞|λ|，则

若‖X-λ‖=‖Y-λ‖＜|λ|，则

情形3   N(A)={0}，N(A^*)≠{0}.此时$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda=\boldsymbol{X}-\lambda, W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right)=W_{0}(\boldsymbol{X}-\lambda)$.

因$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda=\left(\begin{array}{cc}{-\lambda} & {\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{Y}-\lambda}\end{array}\right):N\left(\boldsymbol{A}^{*}\right) \oplus N\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\perp}$，以下只要证明‖Y-λ‖＞|λ|即可.

如果‖Y-λ‖＜|λ|，则-λ∈ρ(Y-λ)，即Y可逆.而X与Y酉等价，故X可逆，因此$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}=\boldsymbol{X}$可逆.由引理2知A及A^*均可逆，这与N(A^*)≠{0}矛盾.

如果‖Y-λ‖=|λ|，由于对任意非零复数λ有$(\lambda \widetilde{\boldsymbol{A}})^{t}=\lambda \widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}$，不失一般性，假设λ=1，显然

则对任意单位向量x∈H，有$\left\|\left\langle\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-1\right) \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\right\rangle\right\| \leqslant 1$，即

注意到U为非酉等距算子，由引理3知单位圆盘D中的非零点均为U^*的特征值.令μ∈(-1，0)，y₀为单位向量且满足U^*y₀=μy₀.由于|A|^t有稠值域，故存在{y_n}⊂H，有$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}|\boldsymbol{A}|^{t} \boldsymbol{y}_{n}=\boldsymbol{y}_{0}$成立，故

而事实上，由(1)式及极限的性质有

这显然矛盾，因此‖Y-λ‖=|λ|不成立.

特别地，若λ=0，显然$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}\right)=W_{0}(\boldsymbol{X})=W_{0}(\boldsymbol{Y})=W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}\right)$.因此对任意复数λ，有

情形4   N(A)≠{0}，N(A^*)={0}.则$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda=\boldsymbol{Y}-\lambda, W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right)=W_{0}(\boldsymbol{Y}-\lambda)$.此时

只要证明‖X-λ‖＞|λ|即可.

与情形3类似可知‖X-λ‖＜|λ|不成立.以下只需证明‖X-λ‖≠|λ|即可.

如果‖X-λ‖=|λ|，由于$(\lambda \widetilde{\boldsymbol{A}})^{t(*)}=\lambda \widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}$对于任意非零复数λ成立，故假设λ=1，显然

则对任意单位向量x∈H，有$\left\|\left\langle\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-1\right) \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\right\rangle\right\| \leqslant 1$，即

由于此时U为非酉余等距算子，故单位圆盘D中的非零点均为U的特征值.令μ∈(-1，0)，y₀为单位向量且满足Uy₀=μy₀.注意到此时|A^*|^1-2t有稠值域，故存在{y_n}⊂H，使得$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left|\boldsymbol{A}^{*} \quad\right|^{1-2 t} {\boldsymbol y}_{n}={\boldsymbol y}_{0}$，故

也就有

若$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{\frac{1-2 t}{2}} \boldsymbol{y}_{n}\right\|=0$, 则$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\quad\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{1-2 t} \boldsymbol{y}_{n}\right\|=0$.但事实上

显然矛盾，因此$\lim\limits _{n \rightarrow \infty}\left\|\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{\frac{1-2 t}{2}} \boldsymbol{y}_{n}\right\| \neq 0$，故

则一定存在自然数N₀，当n＞N₀时，〈U|A^*|^1-2ty_n，y_n〉＜0.

又由于|A^*|^t有稠值域，因此对于上述n＞N₀的每一个y_n，存在向量列{x_nm}_m满足$\lim\limits _{m \rightarrow \infty}\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|^{t} \boldsymbol{x}_{n_{m}}=\boldsymbol{y}_{n}$，则

也就有

这显然与(2)式矛盾.因此‖x-λ‖≠|λ|.

特别地，若λ=0，显然$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}\right)=W_{0}(\boldsymbol{Y})=W_{0}(\boldsymbol{X})=W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}\right)$.因此当N(T)≠{0}，N(T^*)={0}时，有$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right)=W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}-\lambda\right)$成立.

注意到当$t \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$时，有：

因此对$t \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，依然有$W_{0}\left(\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}-\lambda\right)=W_{0}\left(\widetilde{A}^{t(*)}-\lambda\right)$成立.

对算子A∈B(H)，δ_A(T)=AT-TA称为算子A的内导子，其中T∈B(H)为任意算子，文献[14]定义了A的内导子的范数为‖δ_A‖=inf{‖T-λ‖：λ∈ $\mathbb{C}$}.由定理1，可以得到$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}$及$\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}$内导子范数的关系.

推论1   设A∈B(H)，对任意t∈(0，1)，有$\left\|\delta_{\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t}}\right\|=\left\|\delta_{\widetilde{\boldsymbol{A}}^{t(*)}}\right\|$.