Multi-Attribute Group Decision Making Based on Hesitant Degree Priority Weighted Average Operator under Interval Hesitation Fuzzy Linguistic Information

定义1^[19](语言术语集)  语言术语集S={s_i|i=0，1，…，2τ}，满足如下运算：

1) 有序性：如果i＞j，则s_i＞s_j，反之亦然；

2) 逆运算：如果i+j=2τ，则s_i=neg(s_j).

其中语言术语的个数2τ+1称为该术语集的粒度，neg函数见定义5.

定义2^[27](语言尺度函数)  语言尺度函数f是语言术语到正实数上的一个映射，定义一个连续语言下标到正实数上的语言尺度函数f：f(s_i)=ε_i(i∈[0，2τ]，ε_i∈ℝ⁺)，这里的f为严格单调递增函数且存在反函数，原函数及其反函数表达如下：

函数f随着语言术语从中间扩展到两端，相邻语言下标之间的绝对偏差增大(a为由主观确定的值). 假设指标A比指标B重要得多，且重要性比为m，那么得到$a=\sqrt[k]{m}$(其中k表示语言集的粒度). 目前，一般认为m上限为9，所以当语言集粒度为7时，我们可以得到$a=\sqrt[7]{9}\approx 1.37$.

定义3^[23]  设X={x₁，x₂，…，x_n}为给定对象集，s_θ(x)∈S为描述对象x的语言术语，则IVHFLS定义为

这里Γ_A(x)是(0，1]上的有限子集的集合，表示对象x满足语言术语s_θ(x)的所有可能的模糊区间.

定义4^[5]  设A是X={x₁，x₂，…，x_n}上的一个IVHFLS，α=〈x_i，s_θ(xi)，Γ_A(x_i)〉是其中的一个元素，称为区间犹豫模糊语言数(IVHFLN)，为了方便书写，我们也将IVHFLN记为α=〈s_θ(α)，Γ_α〉. l(α)表示Γ_A(x_i)中模糊区间的个数，则IVHFLN和IVHFLS的犹豫度分别定义为：

定义5^[23]  设α=〈s_θ(α)，Γ_α〉，β=〈s_θ(β)，Γ_β〉是两个IVHFLN，其基本运算如下：

1) $\operatorname{neg}(\alpha )=\left\langle {{f}^{-1}}\left( f\left( {{s}_{2\tau }} \right)-f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right) \right), \bigcup\limits_{r=\left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{a}}}{\left\{ \left[ 1-{{r}^{l}}, 1-{{r}^{u}} \right] \right\}} \right\rangle $；

2) $\alpha \ \ \ \oplus \ \ \ \beta \ \ \ =\ \ \ \left\langle {{f}^{-1}}\left( f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)\ \ \ +\ \ \ f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right) \right) \right., $$\bigcup\limits_{{{r}_{l}}=\left[ r_{1}^{l}, r_{1}^{u} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}, {{r}_{2}}=\left[ r_{2}^{l}, r_{2}^{u} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\beta }}}{\left\{ \left[ \frac{f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)r_{1}^{l}+f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right)r_{2}^{l}}{f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)+f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right)}, \frac{f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)r_{1}^{u}+f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right)r_{2}^{u}}{f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)+f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right)} \right] \right\}}$；

3) $\lambda \alpha =\left\langle {{f}^{-1}}\left( \lambda f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right) \right), {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }} \right\rangle $；

4) $\alpha \otimes \beta =\left\langle {{f}^{-1}}\left( f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right)f\left( {{s}_{\theta (\beta )}} \right) \right), \right.\left. \bigcup\limits_{{{r}_{1}}=\left[ r_{1}^{l}, r_{1}^{u} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}, {{r}_{2}}=\left[ r_{2}^{l}, r_{2}^{u} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\beta }}}{\left\{ \left[ r_{1}^{l}r_{2}^{l}, r_{1}^{u}r_{2}^{u} \right] \right\}} \right\rangle $；

5) ${{\alpha }^{\lambda }}=\left\langle {{f}^{-1}}\left( {{\left( f\left( {{s}_{\theta (\alpha )}} \right) \right)}^{\lambda }} \right), \bigcup\limits_{r=\left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}}{\left\{ \left[ {{\left( {{r}^{l}} \right)}^{\lambda }}, {{\left( {{r}^{u}} \right)}^{\lambda }} \right] \right\}} \right\rangle $.

定义6^[23]  设$\alpha =\left\langle {{s}_{\theta (\alpha )}}, {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle {{s}_{\theta (\alpha )}}, \bigcup\limits_{r=\left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}}{\left\{ \left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right] \right\}} \right\rangle $是一个IVHFLN，E_r(Γ_α)为Γ_α的期望函数,${{E}_{r}}\left({{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }} \right)=\frac{\sum\limits_{\left[{{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}}{\left({{r}^{l}}+{{r}^{u}} \right)}}{2l(\alpha)}, {{D}_{r}}\left({{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }} \right)$为Γ_α的方差函数，

则α的得分函数和精确函数分别定义为

l(α)表示Γ_α中子集的个数.

设α=〈s_θ(α)，Γ_α〉和β=〈s_θ(β)，Γ_β〉是两个IVHFLN，其比较规则如下：

1) 如果E(α)＞E(β)，则α＞β；

2) 如果E(α)=E(β)且D(α)＞D(β)，则α＞β；

3) 如果E(α)=E(β)且D(α)=D(β)，则α=β.

IVHFLN的比较是一个重要问题，文献[23]中区间犹豫模糊语言数的比较规则考虑了语言术语的大小和犹豫区间的均值，我们考虑到犹豫度对得分函数的影响定义了新的得分函数，同时考虑了信息的犹豫度、区间期望和语言术语的大小，得到综合得分函数，给出如下定义.

定义7  设$\alpha =\left\langle {{s}_{\theta (\alpha )}}, {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle {{s}_{\theta (\alpha )}}, \bigcup\limits_{r=\left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right]\in {{{\mathit{\Gamma}} }_{\alpha }}}{\left\{ \left[ {{r}^{l}}, {{r}^{u}} \right] \right\}} \right\rangle $是一个IVHFLN，犹豫区间的期望函数为

则考虑犹豫度的新的得分函数定义如下：

其中l(α)表示Γ_α中子集的个数.

文献[28]提出优先集结算子，它的核心思想是用优先关系来计算权重，其属性的优先关系由决策者直接给出，本文研究优先关系也未知的问题，根据犹豫度计算优先关系，得到基于犹豫度的优先加权平均算子，并将其应用于区间犹豫模糊语言集，定义区间模糊犹豫语言集基于犹豫度的优先加权平均算子，表达形式如下：

定义8  对n个区间犹豫模糊语言数，根据犹豫度将其划分为具有优先关系的q类G_i(x)(i=1，2，…，q)，且满足G₁(x)≻G₂(x)≻…≻G_q(x)，即当j＜k时G_k(x)优先于G_j(x)考虑. 令$\left. {{G}_{i}}(x)=\left\{ {{C}_{i1}}(x) \right., {{C}_{i2}}(x), \cdots , {{C}_{i{{n}_{i}}}}(x) \right\}, n=\sum\limits_{i=1}^{q}{{{n}_{i}}}$，则区间犹豫模糊语言集基于犹豫度的优先加权平均(IVHFLHDPWA)算子定义为

其中ω_i表示类别G_i(x)的权重，由优先关系计算得到，${\omega _i} = \frac{{{T_i}}}{{\mathop {\mathop \sum \limits^q }\limits_{i = 1} {\kern 1pt} }}{T_i},(i = 1,2, \cdots ,q), $$ \sum\limits_{i=1}^{q}{{{\omega }_{i}}}=1, {{T}_{1}}=1, {{T}_{i}}={{T}_{i-1}}\max \left\{ E\left( {{C}_{i-1, 1}}(x) \right), E\left( {{C}_{i-1, 2}}(x) \right), \right.$$\left. \cdots , E\left( {{C}_{i-1, {{n}_{i-1}}}}(x) \right) \right\}(i=2, 3, \cdots , q), E\left( {{C}_{i1}}(x) \right)$表示C_i1(x)的得分函数.

定理1  设有优先关系的q个集合G_i(x)(i=1，2，…，q)为一个IVHFLS，${{G}_{i}}(x)=\left\{ {{C}_{i1}}(x), {{C}_{i2}}(x), \cdots , \right.\left. {{C}_{i{{n}_{i}}}}(x) \right\}, n=\sum\limits_{i=1}^{q}{{{n}_{i}}}\text{;记}{{C}_{ij}}(x)=\left\langle {{s}_{\theta \left( {{c}_{ij}} \right)}}, {{{\mathit{\Gamma}} }_{{{c}_{ij}}}} \right\rangle $，则IVHFLHDPWA算子集结结果仍然为一个IVHFLN，且有如下形式：

证  根据定义5中区间犹豫模糊语言数的运算得：

从而

所以

定理2  对n个IVHFLN，基于犹豫度将其划分为具有优先关系的q类G_i(x)(i=1，2，…，q)，且满足G₁(x)≻G₂(x)≻…≻G_q(x)，令

我们记

则对任意的r＞0，有

证  C_ij(x)=〈f^-1(rf(s_θ(cij)))，Γ_cij〉，一方面，根据公式(8)

另一方面

性质1(幂等性)  对n个区间犹豫模糊语言数α_i(i=1，2，…，n)，如果对所有i都有α_i=α，则IVHFLHDPWA(α₁，α₂，…，α_n)=α.

证  因为每个区间犹豫模糊语言数相等，则它们的优先关系一样，由定义8权重计算方法可知其权重相等，再由定义5中的运算得到：

性质2(交换性)  设有n个区间犹豫模糊语言数α_i(i=1，2，…，n)，(β₁，β₂，…，β_n)是(α₁，α₂，…，α_n)的任意一个置换，则有IVHFLHDPWA(α₁，α₂，…，α_n)=IVHFLHDPWA(β₁，β₂，…，β_n).

证  对α_i的任意一个置换，集结时先根据犹豫度计算出优先关系，处于同一优先级则有相同的权重，因而集结结果与区间犹豫模糊语言数的排列顺序无关.

性质3(有界性)  对一个区间犹豫模糊语言集{α₁，α₂，…，α_n}，基于犹豫度划分为具有优先关系的q类，G_i(x)(i = 1,2, …,q)，其中${{G}_{i}}(x)=\left\{ {{C}_{i1}}(x), {{C}_{i2}}(x), \cdots , {{C}_{i{{n}_{i}}}}(x) \right\}, n=\sum\limits_{i=1}^{q}{{{n}_{i}}}$.令${{\alpha }_{m}}=\underset{i}{\mathop{\min }}\, \left\{ {{\alpha }_{1}}, {{\alpha }_{2}}, \cdots , {{\alpha }_{n}} \right\}, {{\alpha }_{M}}=\underset{i}{\mathop{\max }}\, \left\{ {{\alpha }_{1}}, {{\alpha }_{2}}, \cdots , {{\alpha }_{n}} \right\}$，则有α_m≤IVHFLHDPWA(α₁，α₂，…，α_n)≤α_M.

证  由性质1可以得到：

对一个多属性群决策问题，有m个方案A={A₁，A₂ …，A_m}、n个属性C={C₁，C₂，…，C_n}和s个专家D={D₁，D₂，…，D_s}，每个专家D_k根据自己的专业知识和偏好关系对每个方案A_i的每个属性C_j进行评价，评价结果用区间犹豫模糊语言数表示，则基于新的得分函数的区间犹豫模糊语言集多属性群决策基本步骤如下：

1) 建立区间犹豫模糊语言群决策矩阵并将其标准化.

用一个IVHFLN表示专家D_k对方案A_i的属性C_j的评价值并记为$\tilde{h}_{i j}^{k}$，这里$\tilde{h}_{i j}^{k}=\left\langle\tilde{s}_{\theta\left(h_{i j}^{k}\right)}, \tilde{{\mathit{\Gamma}}}_{h_{i j}^{k}}\right\rangle$，从而s个专家对m个方案的n个属性的评价结果用决策矩阵表示为：

由于属性可以分为效益型和成本型，为了便于计算，首先对决策矩阵标准化. 对成本型属性$h_{ij}^k = {\mathop{\rm neg}\nolimits} \left( {\tilde h_{ij}^k} \right)$，对效益型属性$h_{ij}^k = \tilde h_{ij}^k$，得到标准化群决策矩阵${\mathit{\boldsymbol{\tilde H}}^k} = {\left( {h_{ij}^k} \right)_{m \times n}}(k = 1, 2, \cdots , s)$.

2) 根据犹豫度计算专家集优先关系.

与传统的给定专家优先关系不同，根据专家对方案属性评价值的犹豫度来得到属性下专家的优先关系，犹豫度越小说明专家在该属性下的认知程度越高，优先级也就越高，每个专家在各属性下的犹豫度由公式(3)得到：

其中：l(h_ij^k)表示Γ_hi^kj中子集的个数；k=1，2，…，s；j=1，2，…，n.

3) 集结群决策矩阵.

运用IVHFLHDPWA算子对多个专家的评价信息进行集结，得到一个综合决策矩阵H=(h_ij)_m×n：

4) 根据公式(3)计算犹豫度，进而得到综合决策矩阵在每个方案下的属性优先关系.

其中l(h_ij)表示Γ_hij中子集的个数.

5) 集结方案的属性值.

在4)的基础上，基于属性优先关系运用IVHFLHDPWA算子对综合决策矩阵每个方案的属性值进行集结，得到方案的综合评价值，即：

6) 根据公式(6)计算方案A_i的得分值S(h_i).

7) 由得分值从大到小对方案进行排序.

火灾应急方案的选择是处理突发火灾事故的一项重要工作，能够有效保障生命财产安全. 假设某公司有5个待决策的火灾应急方案{x₁，x₂，x₃，x₄，x₅}，一个有3名专家的决策团队对这5种应急方案进行评估，选出最好的应急方案. 考虑火灾应急的4个主要属性：c₁为预测能力；c₂为救援能力；c₃为响应速度；c₄为指挥能力. 每个专家对每种方案的每一个主要属性进行评价，其评价值用区间犹豫模糊语言数表示，其中语言术语采用7值语言集S={s₀，s₁，…，s₆}来刻画^[29]. 其具体步骤如下：

1) 3位专家分别对5种火灾应急方案基于4个属性指标进行评价，评价结果见表 1.

因为4个属性指标均为效益属性，所以标准化结果不变.

2) 对于得到的群决策矩阵，由公式(3)计算专家在每个属性下的犹豫度，从而得到专家优先关系见表 2.

3) 基于专家优先关系用IVHFLHDPWA算子集结各专家决策矩阵得到综合决策矩阵(表 3).

4) 根据犹豫度计算综合决策矩阵在每个方案下的属性优先关系，得到的综合决策矩阵属性优先关系从高到低为：指挥能力、响应速度、预测能力、救援能力.

5) 基于属性优先关系运用IVHFLHDPWA算子对综合决策矩阵每个方案的属性值进行集结，得到方案的综合评价值(表 4).

这里，区间数后面的数字表示犹豫集中该区间数的个数.

6) 计算每个方案的得分值(表 5).

7) 由得分值得到方案排序从高到低依次为x₅，x₄，x₃，x₂，x₁，最优方案为x₅.

本文提出区间犹豫模糊语言集基于犹豫度的优先加权平均算子来处理专家和属性权重完全未知的多属性群决策问题，让专家在自己熟悉的领域更有决策权. 选取区间犹豫模糊语言集描述决策者对方案的评价，可以同时体现决策者的犹豫心理和对象的不确定性. 与已有的决策方法相比，用定义的基于犹豫度的优先加权平均算子作决策，不仅考虑了犹豫度大小对决策的影响使得结果更加符合决策者心理，而且计算过程简单. 本文所提出的方法也可以运用到工程选址、企业风险投资和绩效评定等其他决策问题中.