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文献[1]于1982年提出了弱鞅的概念，之后很多学者对这一概念进行了深入研究[2-6]. 后来，文献[7]给出了双指标弱(下)鞅的概念.
设
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ 表示二维正整数序列. 对于n，m∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ ，有n =(n1，n2)，m =(m1，m2). 如果ni≤mi，i=1，2，则记为n ≤ m. 如果ni≤mi，i=1，2，并且这两个不等式中至少有一个是满足严格小于的，则记为n＜m. 另外，若k =(k1，k2)，则k →∞表示$ \mathop {\min }\limits_{1 \le j \le 2} {k_j} \to \infty $ .文献[8]提出了相协随机变量序列的概念. 文献[7]将相协的概念推广到双指标随机变量序列中.
定义1[7] 一个由双指标随机变量构成的集合{Xi，i ≤ n}被称为是相协的，如果对任意两个分量不减的函数f和g，有
这里假设上述协方差存在. 如果一个无限序列的有限子集是相协的，则称这个无限序列也是相协的. 满足上述条件的随机变量构成的集合也被称为一个相协随机域.
定义2[7] {Xn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个双指标随机变量序列，如果对∀i，j∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ ，当i ≤ j时，有其中f是使上述期望存在且分量不减的任意函数，那么称{Xn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个双指标弱鞅. 另外，进一步假设f是非负的，那么称{Xn，n∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个双指标弱下鞅.有关双指标随机变量序列以及双指标弱(下)鞅，很多学者进行了研究[9-13]. 本文主要将文献[14-15]中关于弱鞅的极小值不等式分别推广到双指标弱鞅的情形，给出了双指标弱鞅的一类极小值不等式..
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定理1 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱(下)鞅，当k1k2=0时，Yn=0. 进一步假设{cn，n∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是不减的正数序列，g(·)是$ {\mathbb{R}}$ 上的不减凸函数，且g(0)=0. 则对任意ε＞0，有证 我们设
并且
由集合A和Bij的定义，可知
$ A = \bigcup\limits_{(i, j) \le \left( {{n_1}, {n_2}} \right)} {{B_{ij}}} $ . 又因为{cij，i≥1，j≥1}是不减的正数序列，则由于B2j⊂B1jc，则有
因此
我们设
由于g(·)是不减凸函数，则h(x)是一个非负不减函数，并且有
故有
又因为I(B1jc)是关于Y1j的非负不减函数，所以I(B1jc)h(Y1j)也是关于Y1j的非负不减函数. 因此由{Yij，i≥1，j≥1}双指标弱(下)鞅的性质可得
由(1)式和{cij，i≥1，j≥1}的不减性可得
由于B3j⊂B1jc∩B2jc，则有
因此
同理，由于g(Y3j)-g(Y2j)≥(Y3j-Y2j)h(Y2j)，I(B1jc∩B2jc)是关于{Y1j，Y2j}的一个非负且分量不减的函数，则h(Y2j)I(B1jc∩B2jc)也是关于{Y1j，Y2j}的非负分量不减的函数. 所以由双指标弱(下)鞅的性质可得
因此
重复相同步骤，可得
同理可得
结合(2)式和(3)式，可证得结论
如果在定理1中取g(x)=x，就可以得到以下推论.
推论1 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱(下)鞅，假设{cn，n∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是不减的正数序列. 则对任意ε＞0，有进一步，若令cn≡1，则有下面的推论.
推论2 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱(下)鞅，且g(0)=0，则对任意ε＞0，有定理2 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱鞅，当k1k2=0时，Yn=0. 进一步假设{cn，n∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个不增的正数序列，g(·)是$ {\mathbb{R}}$ 上的不减凸函数，且g(0)=0. 则对任意ε＞0，有证 设
并且
由集合A和Bij的定义可知
$ A = \bigcup\limits_{(i, j) \le \left( {{n_1}, {n_2}} \right)} {{B_{ij}}} $ . 因此由于I(B2j)=I(B1j∪B2j)-I(B1j)且{cij，i≥1，j≥1}为不增的正数序列，所以
我们设
由于g(·)是不减凸函数，则h(x)是一个非负不减函数，并且
所以
由于I(B1j)是关于Y1j的不增函数，所以-I(B1)是关于Y1j的不减函数，h(Y2j)(-I(B1j))也是关于Y1j的不减函数，因此由双指标弱鞅的定义可知
因此
又因为I(B3j)=I(B1j∪B2j∪B3j)-I(B1j∪B2j)，{cij，i≥1，j≥1}是不增序列，可得
由于-I(B1j∪B2j)是关于{Y1j，Y2j}的分量不减函数，故h(Y3j)(-I(B1j∪B2j))也是关于{Y1j，Y2j}的分量不减函数，由(4)式及双指标弱鞅的定义可得
因此
重复相同步骤可得
同理有
结合(5)式和(6)式，该定理得证.
若在定理2中取g(x)=x，则有下面的推论.
推论3 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱鞅，假设{cn，n∈$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是不增的正数序列. 则对任意ε＞0，有进一步，若令cn≡1，则有下面的推论.
推论4 设{Yn，n∈
$ {{\mathbb{N}}^{2}}$ }是一个非负的双指标弱鞅，则对任意ε＞0，有注1 由于EY1j=EYn1j，EYi1=EYin2，所以推论2与推论4是等价的.
注2 由于零均值的双指标相协随机变量序列的部分和序列是一个双指标弱鞅，故定理1与定理2及相关推论均适用于零均值的双指标相协随机序列的部分和序列.
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