The Existence of Global Solutions for a Chemotaxis-Navier-Stokes System

与具有直接信号产生机制的趋化-流体方程组相比，具有间接信号产生机制的趋化-Navier-Stokes方程组的研究才刚刚起步，许多问题有待解决. 本文考虑如下具有间接信号产生机制的趋化-Navier-Stokes模型：

其中：$\mathit{\Omega } \subset \mathbb{R}^{2}$是一个具有光滑边界的有界凸区域，φ∈W^2，∞(Ω)，χ∈C²([0，∞))且存在χ₀≥0，α＞0使得

我们将考虑此系统经典解的整体存在性和有界性. 假设初始值满足

其中：$\vartheta \in(0, 1), \beta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$. 这里假设A：=-PΔ表示L²(Ω；$\mathbb{R}^{2}$)中的Stokes算子，其定义区域为

并且

其中P表示L²(Ω；$\mathbb{R}^{2}$)映射到L_σ²(Ω)上的Helmholtz投影.

在上述假设条件下，我们的主要结论如下：

定理1   假设$\mathit{\Omega } \subset \mathbb{R}^{2}$是一个有光滑边界的有界凸区域，φ∈W^2，∞(Ω)，χ∈C²([0，∞))且满足(6)式，(n₀，v₀，w₀，u₀)满足(7)式，则对于$\alpha \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$，存在函数

使得(n，v，w，u，P)是初边值问题(5)的经典解，其中n，v，w是非负的. 此外，对于任意的$\beta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，p＞2，q＞2，存在C＞0使得

对任意t＞0成立.

在灵敏度函数|χ(s)|≤χ₀(1+s)^-α中，由于α越大，衰减越快，越有利于解的整体存在，所以在下文中不妨假设$\alpha < \frac{1}{2}$.

在这一部分中，我们将提供一些基本的先验估计. 首先，给出解的局部存在性结论.

引理1   设$\mathit{\Omega }\subset {{\mathbb{R}}^{2}}$是一个具有光滑边界的有界区域，φ∈W^2，∞(Ω)，(n₀，v₀，w₀，u₀)满足初值条件(7)，则存在函数(n，v，w，u)及T_max∈(0，+∞]使得

其中n，v，w是非负的，而且(n，v，w，u)在Ω×(0，T_max)上为初边值问题(5)的经典解. 此外，如果T_max＜∞，则

其中：p，q＞2；$\beta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.

证  此引理中局部存在性结论可利用Banach不动点定理和压缩映像原理证得，具体过程可参见文献[21]引理2.1.

引理2  对于所有t∈[0，T_max)，有

并且

证  首先，对(5)式中第一个方程关于空间变量积分，利用▽·u=0和分部积分公式，得到

所以

同样，(5)式中第3个方程也对空间变量积分，再次用分部积分公式和▽·u=0，有

根据比较原理，可得到(13)式成立. 此外，(14)式也可用类似于(13)的证明方法得到.

接下来对n，v，w做以下估计，这将在后续分析中经常使用. 并且在后续的分析中，始终取t₀∈(0，min{T_max，1}).

引理3   设$\alpha \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$，则存在C＞0使得对所有t∈(0，T_max)，有

以及对所有t∈(t₀，T_max)，有

证  这里不妨取

对(5)式中的第1个方程和第3个方程作一些估计(可参看文献[10]，引理5.1)，存在C₁＞0，C₂＞0以及C₃＞0使得

为了消除不等号右边的前两项，用v乘以(5)式中的第2个方程，结合Young不等式，得到

用4C₁乘(19)式并加上(18)式得到不等式

由假设(17)式可知

再次用Young不等式，可以找到C₄＞0使得

也就是

因此可以令

那么，根据(20)式可以得到

由于$\alpha < \frac{1}{2}$保证了g(t)的非负性，所以不等式(21)可以写为

通过比较原理，有

下面对(21)式关于时间变量积分，得到

通过Hölder不等式和(12)式可以计算出

因此

从而得到了(15)式和(16)式.

根据Gagliardo-Nirenberg不等式和质量守恒性质，结合引理3可推导出以下结论.

引理4   对所有p＞1，$\alpha \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$，存在C(p)＞0使得

特别地，存在C＞0使得

证  该引理的证明可参看文献[10]引理5.2.

下列引理5已经在文献[10](引理5.3和引理6.1)中得到了详细地证明，这里不加证明地给出具体结论.

引理5 ^[10]  存在C＞0，C(p)＞0使得

此外，对任意p≥2，有

引理6   对所有p≥2，可以找到一个常数C(p)＞0使得

证  用v^p-1乘以(5)式中第二个方程，结合Young不等式得到

因此

由于

是非负的，可以得到

由(25)式和比较原理可以得到(26)式成立.

引理7   存在C＞0使得对所有t∈(t₀，T_max)，有

并且对所有t∈(0，T_max)，有

证   根据文献[10]中引理6.2可知，利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式，经过一系列推导，可以找到常数C₁＞0，C₂＞0和C₃＞0使得

在(5)式的第3个方程两边同时乘以-Δw，利用分部积分公式有

对(28)式等号右边第2项用Hölder不等式，Gagliardo-Nirenberg不等式以及Young不等式推导出存在常数C₂＞0使得

对所有t∈(0，T_max)成立. 此外，再次使用Cauchy不等式可以得到

所以从(28)式中可以推导出对所有t∈(0，T_max)，有

同样地，在(5)式的第二个方程两边乘-Δv，对得到的方程做类似于(28)，(29)，(30)的运算，可以得到

令$k: =\frac{1}{16 C_{1}}$，将(27)，(28)和(29)式线性组合，根据(25)式，当p=2时，有$\int_{\mathit{\Omega }} w^{2} \leqslant C^{\prime}$，所以存在C₄＞0使得

记

由于对所有m＞0有$m \ln m \geqslant-\frac{1}{\mathrm{e}}$，由(33)式可知

利用引理3-5，存在常数C₅＞0以及C₆＞0使得

并且

因此，对每个固定的t∈(0，T_max-t₀)，可以找到t′＞0使得t′∈(t，t+t₀)并且

由于对所有m＞0，都有

则存在C₈＞0使得

则有

由于g是非负的，因此利用Gronwall不等式和(35)式，由(34)式得到

由于对所有t∈(0，T_max)，都有

对(34)式关于时间变量积分，由(35)式可得

引理8   ^[10]  存在常数C＞0使得

此外，对所有p＞1，可以找到C(p)＞0满足

证  该引理的证明可参看文献[10]引理6.3与6.4.

本节主要推导n，v，w和u在t∈(0，T_max)上的有界性，以达到我们证明定理1的目的.

引理9  对所有p，p′＞1，存在C(p)，C(p′)＞0使得

以及

证  假设p≥2，由于α＞0，可取$q>\frac{3}{2}$ 使得$q \geqslant \frac{p}{2}$ 以及

由于区域Ω具有凸性，对(5)式的第1个方程做一系列估计(具体过程参看文献[10]引理7.1)，得到

根据文献[10]引理7.1知由(5)式中第2个方程可得

用同样的方法可以计算出

将(42)，(43)，(44)式相加得到

其中C₆：=C₁+C₂+C₃+C₄+C₅. 将不等式(45)整理化简后得到

接下来，利用Gagliardo-Nirenberg不等式和(12)式，存在C₇＞0和C₈＞0使得

根据Young不等式和(25)式，存在C₉＞0和C₁₀＞0使得

由于$q \geqslant \frac{p}{2}$，有

所以

其中

定义函数

满足

根据比较原理可以由(46)式推导出不等式

记p′=2q，得到(38)-(40)式成立.

下面通过引理8和引理9来推导‖n(·，t)‖_L^∞(Ω)在(0，T_max)上的有界性.

引理10   存在C＞0使得对所有t∈(0，T_max)，有

证   引理9和引理8保证了对任意参数p＞1，存在C₁，C₂＞0使得

以及

因此，通过用Moser-type迭代^[22]的方法就可以直接得到(47)式.

通过前面的相关结论，可以直接对流体速度场进行估计.

引理11  对任意参数$\beta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，存在常数C(β)＞0使得

证   根据引理9的结果和▽φ在Ω中的有界性可知存在C₁＞0使得

所以根据文献[10]引理3.4可得到(48)式成立.

结合引理9，10和11，根据爆破准则，可以得到T_max=∞. 从前面的证明过程和结论可以看出，对于任意的t＞0，我们都可以得到(9)式. 至此，解的存在性和有界性都得到了证明.