On Existence of Multiple Solutions for a Class of Nonlinear Third Order Differential Equations with Boundary Value Problems

设E={u∈C²[0, 1]：u(0)=u′(0)=u′(1)=0}是按范数‖u‖=‖u‖₀+‖u′‖₀+‖u″‖₀构成的实Banach空间，其中‖u‖₀=$\max\limits_{t∈[0， 1]} $|u(t)|，显然对u∈E有‖u‖₀≤‖u′‖₀≤‖u″‖₀.令P={u∈E：u(t)≥0，t∈[0, 1]}，同时定义算子K，F和A为

其中

注2  通过简单的计算可知，G(t，s)≥0.

引理1   对任意f∈C[0, 1]，u∈C³[0, 1]是下面问题

的解，当且仅当u∈C[0, 1]，并且u(t)= $\int_0^1$G(t，s)f(s)ds.

证  对方程-u'''(t)=f(t)在t∈[0, 1]上连续积分3次，可得

将u(0)=u′(0)=u^′(1)=0代入可得

从而

注意到

因此

且在边界上成立u(0)=u′(0)=u′(1)=0.

显然算子K，A：E→E全连续，通过引理1我们得到边值问题(1)在C³[0, 1]中的解等价于算子方程Au=KFu在E中的不动点.

引理2  假设(H₁), (H₃)成立，则算子A=KF在θ和∞点是Fréchet可导的，进一步有A′(θ)=α₀K，A′(∞)=α₁K.

证  由$\alpha_{0}=\lim \limits_{u \rightarrow 0} \frac{f(t, u)}{u}$关于t在[0, 1]上一致，即对任意ε>0，存在δ>0使得∀t∈[0, 1]，0 < |u| < δ，有|f(t，u)-α₀u|≤ε|u|，注意到f(t，0)=0，因此对于u∈E，当‖u‖ < δ时，有|(Au-Aθ-α₀Ku)(t)|=|K(Fu-α₀u)(t)|≤‖K‖$\max\limits_{s∈[0， 1]}$ |f(s，u(s))-α₀u(s)|≤‖K‖‖u‖ε，从而$\lim\limits_{ ‖u‖→0} \frac{{ ‖Au-Aθ-α_0 Ku‖}}{{‖u‖}} =0$，即A′(θ)=α₀K.

再由$α_{1}=\lim\limits_{ |u|→∞ } \frac{{f(t， u)}}{{ u}}$关于t在[0, 1]上一致，即对任意ε>0，存在R>0使得∀t∈[0, 1]，|u|>R，有|f(t，u)-α₁u|≤ε|u|.令σ=$\max\limits_{ |u|≤R} |f(t， u)|$，则|Fu(t)-α₁u(t)|=|f(t，u(t))-α₁u(t)|≤σ+α₁R+ε‖u‖.因此|(Au-α₁Ku)(t)|=|K(Fu-α₁u)(t)|≤‖K‖(σ+α₁R+ε‖u‖)，从而$\lim\limits_{ ‖u‖→+∞} \frac{{ ‖Au-α_{1}Ku‖ }}{{‖u‖ }}≤ε‖K‖$，即A′(∞)=α₁K.

引理3  假设(H₁)成立，若u∈P\{θ}是边值问题(1)的解，则u∈P°.

证  由于u∈P\{θ}及u(t)=$∫^{1}_{0}G(t， s)f(s， u(s)){\rm d}s$，显然$u(t)>0， u″(0)=∫^{1}_{0}(1-s)f(s){\rm d}s>0$，故u∈P°.

注3  类似的，若u∈(-P)\{θ}是边值问题(1)的解，则u∈-P°.

引理4  假设(H₂)成立，则线性算子K的所有正的特征值为$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}>\frac{1}{\lambda_{2}^{3}}>\cdots \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}>\cdots>0$，且每个特征值$\frac{1}{\lambda_{n}^{3}}$的代数重数为1.

证  显然，$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}>\frac{1}{\lambda_{2}^{3}}>\cdots \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}>\cdots>0$.下设μ是线性算子K的任一正特征值，u∈E\{θ}为对应于μ的特征函数，则有

通过计算，线性微分方程边值问题(15)的特征方程的特征根是$-\lambda, \frac{1}{2} \lambda(1+\sqrt{3} i), \frac{1}{2} \lambda(1-\sqrt{3} i)$，其中λ=$ \frac{1}{\sqrt[3]{\mu}}$，所以其通解为

于是

由边界条件u(0)=u′(0)=0，有C₁=-C₂，C₃= $\sqrt{3}$C₁，C₁≠0.再由边界条件u′(1)=0，有

结合(H₂)不难看出，$\lambda=\frac{1}{\sqrt[3]{\mu}}$为λ₁，λ₂，…，λ_n，…中一个，从而$\frac{1}{\lambda_{1}^{3}}, \frac{1}{\lambda_{2}^{3}}, \dots, \frac{1}{\lambda_{n}^{3}}, \dots$为线性算子K的特征值，且对应于特征值$ \frac{{1}}{{ λ^{3}_{n} }}$的特征函数是

其中C是非零常数，据此有

以下证明

首先ker(I-λ_n³K)⊂ker(I-λ_n³K)²显然成立，故只需要证明ker(I-λ_n³K)²⊂ker(I-λ_n³K).任给u∈ker(I-λ_n³K)²，若(I-λ_n³K)²u≠θ，则(I-λ_n³K)u就是属于K的特征值$ \frac{{1}}{{ λ^{3}_{n}}}$的特征函数，由式(19)，则存在非零常数γ使得

通过直接的计算，有

边值问题(23)对应的齐次方程的通解为

进而式(23)的通解为

其中$u*_{1}(t)=- \frac{{1}}{{ 3}} γλ_{n}t{\rm e}^{-λ_{n}t}$是方程u'''(t)+λ_n³u(t)=-γλ_n³e^-λ_nt的特解，$u^{*}_{2}(t)= \frac{{2}}{{ 3}} γλ_{n}t{{e}}^{ \frac{{1}}{{ 2}} λ_{n}t}\cos( \frac{{π}}{{ 3 }}- \frac{{\sqrt{ 3}}}{{ 2}} λ_{n}t)$是方程$u'''(t)+λ^{3}_{n}u(t)=γλ^{3}_{n}{ {e}}^{ \frac{{1}}{{ 2}} λ_{n}t} \cos( \frac{{\sqrt{ 3 }}}{{2}} λ_{n}t)- \sqrt{3} \sin( \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} λ_{n}t)$的特解.不难得出

代入边界条件u(0)=u′(0)=0，有C₁=-C₂，C₃= $\sqrt{3}$ C₁.再由边界条件u′(1)=0，有

又经计算(u₀)^′(1)=0，从而式(28)可化为

化简即得$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda_{n}}=\cos \frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{n}$，这与$-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \lambda_{n}}=\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{n}+\frac{2}{3} \mathsf{π}\right)$矛盾.所以(I-λ_n³K)²u=θ，即ker(I-λ_n³K)²ker(I-λ_n³K)，故ker(I-λ_n³K)=ker(I-λ_n³K)²，从而每个特征值$\frac{{1}}{{λ^{3}_{n}}} $的代数重数为1.

下面是有关Leray-Schauder度和锥中的不动点指数理论的有关结论.在下述引理中，设E是一个实Banach空间，P是E中的锥，Ω是E中的有界开集，B(x₀，r)表示E中以x₀为中心，以r为半径的球.

引理5   设(H₁)—(H₄)成立，则

1) 存在r₀∈(0，M)，使得对所有的r∈(0，r₀]，有i(A，P∩B(θ，r)，P)=0，i(A，(-P)∩B(θ，r)，-P)=0.

2) 存在R₀>M，使得对所有的R≥R₀，有i(A，P∩B(θ，R)，P)=0，i(A，(-P)∩B(θ，R)，-P)=0.

证明   由条件(H₁)显然有A(P)⊂P，A(-P)⊂-P.由引理2、引理4和(H₃)知$\frac{{α_{0}}}{{ λ^{3}_{1}}} >1$是线性算子A′(θ)=α₀K的特征值，并且相应的特征函数为$u(t)=\mathrm{e}^{-\lambda_{1} t}-{e}^{\frac{1}{2} \lambda_{1} t} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{1} t\right)+ \sqrt{3} {e}^{\frac{1}{2} \lambda_{1} t} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \lambda_{1} t\right)$，显然u(t)≥0，由文献[13]可知，存在τ₀>0，使得对任意0 < r < τ₀，i(A，P∩B(θ，r)，P)=0.同理可得，存在τ₁>0，使得0 < r < τ₁，i(A，-P∩B(θ，r)，-P)=0.令r₀=min{τ₀，τ₁}，则引理5的第1个结论成立.引理5的第2个结论类似可证.

引理6^[14]   设A是E上的全连续算子，u₀∈E是A的一个不动点，假定A在u₀的一个邻域内有定义，在u₀处Fréchet可微，若1不是线性算子A′(u₀)的特征值，则u₀是全连续场I-A的孤立的单重零点，且对充分小的r>0，有

其中，k是A′(u₀)在(1，+∞)所有实特征值的代数重数之和.

引理7^[14]  设A是E上的全连续算子，若1不是线性算子A′(∞)的特征值，则对充分大的ρ>0，有

其中，k是A′(∞)在(1，+∞)所有实特征值的代数重数之和.

引理8^[15]   设P是实Banach空间E中的体锥，Ω是P中的相对有界开集，A：P→P是一个全连续的算子.若A在Ω中的任意不动点都是P的内点，则存在E的有界开集O⊂Ω，使得O包含A在E中的所有不动点，且deg(I-A，O，θ)=i(A，Ω，P).

定理1   设条件(H₁)—(H₄)成立，则边值问题(1)至少存在2个正解，2个负解，2个变号解.

证  由引理1，u∈C³[0, 1]是边值问题(1)的解，当且仅当u∈E是算子A的不动点.由(H₄)知对任意∀u∈E，t∈[0, 1]，且‖u‖=M时，有

即‖Au‖₀ < $\frac{{2 }}{{17}}$ M.同理可以证明，对任意∀u∈E，t∈[0, 1]，且‖u‖=M时，有‖(Au)′‖₀ < $\frac{{3 }}{{17}}$ M，‖(Au)″‖₀ < $\frac{{12 }}{{17}}$ M，所以‖Au‖=‖Au‖₀+‖(Au)′‖₀+‖(Au)″‖₀ < M.

由文献[16]可知

由于算子A′(θ)=α₀K大于1的所有特征值为$\frac{\alpha_{0}}{\lambda_{1}^{3}}, \frac{\alpha_{0}}{\lambda_{2}^{3}}, \dots, \frac{\alpha_{0}}{\lambda_{n}^{3}}, \dots , $因此由引理4和引理6，存在r₁∈(0，r₀]，使得

同理，由引理7和(H₃)知，存在R₁>R₀，使得

由引理5知

所以根据式(31)、式(36)、式(38)有

这意味着算子A至少有2个不动点u₁∈P∩(B(θ，R₁)\B(θ，M))和u₂∈P∩(B(θ，M)\B(θ，r₁)).显然，u₁和u₂是边值问题(1)的正解.类似的，根据式(32)、式(37)和式(39)有

这意味着算子A至少有2个不动点u₃∈-P∩(B(θ，M)\B (θ，r₁))和u₄∈-P∩(B(θ，R₁)\B (θ，M)).显然，u₃和u₄是边值问题(1)的负解.

由引理3和引理8，结合式(40)-式(43)，存在E的开集O₁，O₂，O₃，O₄，使得

以及

由式(33)、式(34)、式(45)、式(46)

由此可知算子A至少有1个不动点u₅∈B(θ，M)\(O₂∪ O₃∪ B(θ，r₁)).同理，由式(33)、式(35)、式(44)和式(47)，有deg(I-A，B(θ，R₁)\(O₁∪ O₄∪ B(θ，M))，θ)=2，则算子A至少存在1个不动点u₆∈B(θ，R₁)\(O₁∪ O₄∪ B(θ，M))，显然u₁，u₂是边值问题(1)的2个变号解.

注4   对式(44)-式(47)的推导过程进行了简化，一定程度上改进了文献[6]的证明.

推论   如果定理1的条件满足，且对每个t∈[0, 1]，f(t，·)是奇函数，则边值问题(1)至少存在2个正解，2个负解，4个变号解.

证明   由定理1知，u_i∈E，i=1，2，…6，满足u₁，u₂∈P°，u₃，u₄∈-P°，u₁，u₂∉P∪(-P)且r₁ < ‖u₅‖ < M < ‖u₆‖ < R₁，又因为f(t，-u)=-f(t，u)，(t，u)∈[0, 1]×R，知-u₅，-u₆也是边值问题(1)的变号解.故推论成立.