Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff-Type Equations with Hardy-Sobolev Critical Exponent

本文考虑如下一类具有Hardy-Sobolev项的Kirchhoff方程的多解性问题：

这里的$\varOmega \subset \mathbb{R}^{3}$是具有光滑边界的有界区域，$0 \in \varOmega, a, b \geqslant 0$且$a+b>0, \lambda>0, 1 <q <3$，并且4是Hardy-Sobolev临界指数. 关于Kirchhoff方程解的存在性和多重性已有很多的结果^[1-8]. 特别地，文献[1]考虑了方程(1)在$0 <q<1, a, b, \lambda>0$时的情形. 当$b <\frac{1}{A_{1}^{2}}$时，通过变分法，可以得到方程(1)有两个正解; 当$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$时，通过临界点定理，可以得到方程(1)无穷多对不同的解. 当$a=1, b=0$时，方程(1)变成了具有Hardy-Sobolev项的半线性椭圆方程，许多论文已经研究过这类方程^{[2, 9-11]}. 文献[4]研究了下面的方程：

其中0 < q < 1，通过变分法得到了方程(2)的两个正解. 根据上述文献的启发，我们将考虑方程(1)解的多重性.

方程(1)的能量泛函I为

这里的$H_{0}^{1}(\varOmega)$是Sobolev空间，它的范数为$\|u\|=\left(\int_{\varOmega}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \cdot L^{p}(\varOmega)(1 \leqslant p <+\infty)$是Lebesgue空间，它的范数为$|u|_{p}=\left(\int_{\varOmega}|u|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{p}}$. 我们用$H^{-1}(\varOmega)$来表示$H_{0}^{1}(\varOmega)$的对偶空间，用$S_{q}$表示$H_{0}^{1}(\varOmega)$嵌入到$L^{q}(\varOmega)\left(1 <q <2^{*}\right)$的最佳Sobolev常数. 对任意的$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，有

u是方程(1)的解当且仅当u是泛函I的临界点，即对任意的$v \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，有

设$A_{s}(0 \leqslant s <2)$是最佳Sobolev-Hardy常数，即

特别地，当s=0时，

是最佳Sobolev常数.

定理1 对于$1 <q <3, b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$，存在$\lambda^{*}>0$，使得当$\lambda>\lambda^{*}$时，方程(1)至少有两个正解.

注1 文献[1]考虑的是$0 <q <1$的情况，而本文考虑的是$1 <q <3$的情况，是对文献[1]的一个推广.

引理1 设$a, b>0, 1 <q <3, b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$，则I的有界(PS)序列都有一个强收敛子列.

证  设$\left\{u_{n}\right\}$是I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中的有界(PS)序列，即

取一个子列，仍记为$\left\{u_{n}\right\}$，则存在$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得

设$v_{n}=u_{n}-u$，下面需要证明：当$n \rightarrow \infty$时，$\left\|v_{n}\right\| \rightarrow 0$. 定义$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|v_{n}\right\|=l$. 由(6)式可以得到

由文献[12]，有

由(5)式和(7)式，可以得到

因此，由(8)-(10)式可得

再根据(5)式得

由(11)式和(12)式可得

再由(4)式，可以得到

结合(13)式，当$n \rightarrow \infty$时可得

又因为$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$，从而l=0，即当$n \rightarrow \infty$时，在$H_{0}^{1}(\varOmega)$上$u_{n} \rightarrow u$.

引理2^[13]   设在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中，$I \in C^{1}\left(H_{0}^{1}(\varOmega)\right., \mathbb{R})$有下界且满足(PS)条件，则I能达到全局极小值，即存在$u_{*} \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得$I\left(u_{*}\right)=\inf \limits_{u \in H_{0}^{1}(\varOmega)} I(u)$.

定理1的证明 首先对方程(1)的第一个解进行证明. 对任意$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，由Hölder不等式和(4)式可以得到

于是

因为$b>\frac{1}{A_{1}^{2}}$，$1 <q <3$，所以I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中强制且有下界. 在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中取一点u₀≠0，使得存在

当$\lambda>\lambda^{*}$时，有

由引理1、引理2，以及I在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中是有下界的，则I存在一个临界点$u_{1} \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得

从而u₁是方程(1)的一个非平凡解. 又因为$I\left(\left|u_{1}\right|\right)=I\left(u_{1}\right)$，不失一般性，我们可以假设$u_{1} \geqslant 0 .$由强极大值原理^[14]，可以得到在Ω上u₁>0. 因此，u₁是方程(1)的一个正解，并且I(u₁) < 0.

下面对第二个正解进行证明. 由(14)式，可得存在ρ，δ>0且$\rho <\left\|u_{1}\right\|$，使得对任意的$u \in H_{0}^{1}(\varOmega)$，当‖u‖=ρ时，$I(u) \geqslant \delta>0$. 由山路定理可知，存在$\left\{u_{n}\right\}$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得

其中

又因

由(14)式可知$\left\{u_{n}\right\}$在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中有界，再结合引理1可知，存在一个收敛的子序列，记为$\left\{u_{n}^{\prime}\right\}$，和$u_{2} \in$ $H_{0}^{1}(\varOmega)$，使得当$n \rightarrow \infty$时，在$H_{0}^{1}(\varOmega)$中$u_{n}^{\prime} \rightarrow u_{2}$. 因此$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} I\left(u_{n}^{\prime}\right)=I\left(u_{2}\right)=c>0$且$I^{\prime}\left(u_{2}\right)=0$. 因此，u₂是方程(1)的一个非零解，与u₁是正解的证明方法相同，可得u₂是方程(1)的另一个正解.