On L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$) Estimations for Solutions of a Class of Schrödinger Equations

量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它是研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础. 量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用. 在量子力学中，一个物理体系的状态由状态函数表示，而状态函数满足Schrödinger波动方程，于是经典物理量的量子化问题就归结为Schrödinger波动方程的求解问题^[1].

近几十年来，许多物理和数学学者掀起了对如下一类具有物理意义的Schrödinger波动方程的研究热潮：

其中$\hbar $>0是普朗克常数，W是实值外部位势，f∈C(${{\mathbb{R}}^{N}}\times \mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)是非线性项且N≥ 1. 我们注意到，驻波ψ=ue^-iωt是方程(1)的解当且仅当u满足如下Schrödinger方程：

其中V=W-ω，非线性项f(x，ψ)=f(x，u)e^-iωt. 方程(2)的解的存在性在数学上也引起了广泛关注，尤其是利用变分方法考虑位势函数V和非线性项f在不同条件下其解的存在性^[2-10]. 文献[3]得到了基态解存在性的同时，证明了基态解是径向的且指数衰减. 文献[4-5]分别在有界区域和无界区域上证明了解是属于L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)的，N≥3. 文献[7-9]还考虑了解的集中行为. 近几年，不光解的存在性得到了极大关注，解的性质也引起了学者们巨大的研究兴趣. 文献[11]在强制位势的条件下，利用变分方法、Nehari-流形和各种分析技巧，对耦合参数的范围进行了讨论，得到了一类耦合非线性Schrödinger-KdV方程非平凡基态解的存在性结果. 文献[12]应用山路定理和一些引理，证明了一类带有凹凸非线性项的Kirchhoff方程多个解的存在性. 文献[13]研究了一类带有分数拉普拉斯算子的抛物方程，在任意初始能量的条件下，证明了解在有限时刻爆破，且得到了爆破时间的上界估计.

本文的主要目的就是研究解的性质，即：若方程有解，则其解是否都属于L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)，N≥1? 我们的主要结论对这一问题给出了答案.

定理1   若inf V(x)=V₀>0且非线性项f∈C(${{\mathbb{R}}^{N}}\times \mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)满足条件(F₁)：

(F₁) 对x一致有$\lim\limits _{t \rightarrow 0}\left|\frac{f(x, t)}{t}\right|=\lim\limits _{t \rightarrow \infty}\left|\frac{f(x, t)}{t^{p-1}}\right|=0$，p∈(2，2^*)，其中2^*是Sobolev空间H¹(${{\mathbb{R}}^{N}}$)嵌入到空间L^p(${{\mathbb{R}}^{N}}$)的临界指数，当N=1，2时，2^*=+∞，当N≥3时，$2^{*}=\frac{2 N}{N-2}$.

如果u是方程(2)的解，则u∈L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)，N≥1.

注1  定理1在全空间${{\mathbb{R}}^{N}}$(N≥1)上研究了u∈L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)，所以它在某种程度上推广了文献[4-5]的结果. 此外，定理1可以看作方程(2)存在性结果的补充，进而对方程(2)后续的研究有一定的借鉴意义.

本文使用如下记号：

H¹(${{\mathbb{R}}^{N}}$)是Sobolev空间，具有范数$\|u\|_{H}^{2}=\int_{\mathbb{R}^{N}}\left(|\nabla u|^{2}+u^{2}\right) \mathrm{d} x$.

L^p(${{\mathbb{R}}^{N}}$)是Lebesgue空间，具有范数$|u|_{p}^{p}=\int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{p} \mathrm{~d} x, p \in[1, +\infty), |u|_{\infty}=\operatorname{ess} \sup \limits_{x \in \mathbb{R}^{N}}|u(x)|$.

C，C_i(i=1，2，…)表示正常数，且在不同的地方有可能是不同的.

不失一般性，我们设$\hbar $=1，V₀=1. 注意到，由条件(F₁)易得，存在C>0使得对x一致有

定理1的证明  设u是方程(2)的解. 如果u=0，显然u∈L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)，N≥1. 下证u≠0时的情况，我们将证明分成两种情形，即N≥3和N=1，2的情形.

情形1  N=1，2. 类似文献[4-5]的方法，对于任意k>0，定义

对任意β>1，我们直接计算可得

结合(3)式，我们有

将检验函数φ_k=|u_k|^2(β-1)u代入方程(2)得到

注意到

由(5)-(7)式得

结合Sobolev嵌入，由(8)式得

令(9)式中k→∞，我们有

此时，令

将(10)式不断地迭代，得到

因为$\beta_{1}=\frac{p+2}{2}>1$且β_i=β₁ⁱ(i≥1)，我们可以得到

在(10)式中令n→∞，可得|u|_∞≤C.

情形2  N≥3. 我们的证明与情形1是类似的，只需要将(8)式修正成

结合Sobolev嵌入，由(14)式得

令(15)式中k→∞，我们有

令

将(16)式不断地迭代，类似地得|u|_∞≤C. 则方程(2)的解都属于L^∞(${{\mathbb{R}}^{N}}$)空间.