On Commuting Toeplitz Operators

DING Xuanhao; LIANG Huanchao; LI Yongning

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2022.02.006

Inspired by related research work on Toeplitz operators in different spaces, then the research on the commutativity of Toeplitz operators has been launched. By means of Brown-Halmos' theorem, applying Coburn's lemma and mathematical induction, the necessary and sufficient conditions for the commutativity of any finitely many Toeplitz operators have been obtained, and through further research, the necessary and sufficient conditions for the commutativity of any finite Toeplitz operator modulo the finite rank operators been obtained.

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设D为复平面上的单位开圆盘，且$\partial D$是单位圆周，dσ(z)表示单位圆周$\partial D$上的正规化的Lebesgue测度. 设L²为单位圆周上的Lebesgue平方可积函数，Hardy空间H²是由L²中的解析多项式线性张成的闭子空间. 记L^∞为单位圆周上本质有界函数构成的空间，H^∞表示单位圆盘上有界解析函数的全体构成的空间^[1]. 对任意的f∈L²，关于f的Fourier展开式为$f\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{a_n}{z^n}} $，其中关于f的Fourier系数为${a_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {f\left( {{{\rm{e}}^{ {\rm{i}}\theta }}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}n\theta }}{\rm{d}}\theta } \left( n\in \mathbb{Z} \right)$. 设$\left\{ {{a_n}} \right\}_{n = - \infty }^\infty $为复数序列，${{a}_{n}}\in \mathbb{C}, {{l}^{2}}={{l}^{2}}\left( \mathbb{N} \right)$，其中$\mathbb{N}$为{0，1，2，…}，则矩阵

为l²上的一个有界算子当且仅当{a_n}为某个函数f∈L^∞的Fourier系数. 在这种情况下，由(1)式给出的算子范数等于${\left\| f \right\|_\infty } = \mathop {{\rm{ess}}\sup }\limits_{t \in D} \left| {f\left( t \right)} \right|$. 矩阵A称为Toeplitz矩阵，其特征是平行于主对角线上的元素为常数.

记P是从L²到H²的正交投影，对$\phi \in {L^\infty }$和任意的f∈H²，以$\phi $为符号的Toeplitz算子${T_\phi }$：${H^2} \to {H^2}$定义为${T_\phi }f = P\left( {\phi f} \right)$. Toeplitz算子作为函数空间上算子理论中的一类重要算子，是众多学者一直以来的研究对象^[1]. 更多关于Toeplitz算子的知识，可参见文献[2-13]，关于投影的知识，可参见文献[14]. 算子的可交换性是算子的一个重要性质，是一种广义的对称性，在物理学和数学等领域中均起着突出作用，例如物理学家主要是从初始条件、对称性和物理上的规律这3个方面来观察世界，物理中涉及到的方程及变换许多都是具有对称性的.

在函数空间上的算子理论中，我们主要关注的是不同函数空间上的Toeplitz算子的交换性问题，例如Hardy空间、Bergman空间、Dirichlet空间、Fock空间等. 文献[7]给出了经典Hardy空间上两个Toeplitz算子可交换的充分必要条件，树立了Toeplitz算子理论研究的典范.

引理 1^[7]  设f，g∈L^∞，则T_fT_g=T_gT_f当且仅当下列条件之一成立：

(ⅰ) f，g均是解析的，即f∈H^∞且g∈H^∞；

(ⅱ) f，g均是余解析的，即f∈H^∞且g∈H^∞；

(ⅲ) f，g的非平凡线性组合是常数，即存在a，b，c∈$\mathbb{C}$且|a|+|b|＞0，使得af+bg=c.

文献[8]给出了T_fT_g-T_gT_f是紧算子的充分必要条件. 文献[2]完全刻画了T_fT_g-T_gT_f是有限秩的情况. 文献[3]应用Berezin变换和调和延拓的方法进行研究，给出了双圆盘Hardy空间上的两个Toeplitz算子可交换的充分必要条件. 由两个Toeplitz算子的乘积到n个Toeplitz算子的乘积，曾经有一个历时很久的公开问题，即当n个Toeplitz算子的乘积为0时，是否必有一个Toeplitz算子为0? 该问题称为Toeplitz算子的零积问题. 文献[7]证明了：两个Toeplitz算子的乘积为0，其中必有一个为0. 文献[9]用巧妙的方法证明了：5个Toeplitz算子的乘积为0，其中必有一个为0. 文献[10]证明了6个Toeplitz算子的乘积的情况也成立. 最终，文献[11]对n个Toeplitz算子的零积问题给出了肯定的回答. 受Toeplitz算子的零积问题的启发，很自然地，我们想知道n个Toeplitz算子的乘积在什么条件下是可交换的. 本文借助Brown-Halmos定理，应用Coburn引理^[4]，得到了n个Toeplitz算子可交换的充要条件.

引理 2  ^[4](Coburn引理) 设f∈L^∞，且f不是几乎处处为0的，则Ker T_f={0}或Ker T_f^*={0}.

命题 1  若$f \in {L^\infty },f\left| {_E} \right. = 0,f\left| {_{\partial D - E}} \right. \ne 0,E \subset \partial D$，E的测度大于0且小于1，则Ker T_f={0}.

证  设x∈H²使得T_fx=0，则有

即有y|_E=0. 由于y∈H²，根据F.M.Riesz定理^[4]可得y≡0. 又由f·x=0，有$x\left| _{\partial D-E} \right.=0$. 再次应用F.M.Riesz定理^[4]可得x=0，即有Ker T_f={0}. 证毕.

依据Ker A=(Ran A^*)^⊥对任意有界线性算子A成立，再由命题1，我们有下面的Coburn引理的变形：

引理 3(Coburn引理的变形)  设f∈L^∞且f为非零函数，则Ker T_f={0}或cl(Ran T_f)=H²，这里cl(Ran T_f)表示T_f的值域的闭包.

1. 可交换性

在本节当中，通过应用Brown-Halmos定理^[7]和数学归纳法得到了Hardy空间上任意有限多个Toeplitz算子任意次序可交换的充要条件.

定理 1  设f_i∈L^∞为非零函数(i=1，2，…，n)，则对所有的置换σ∈S_n，T_{f_σ(1)}T_{f_σ(2)}…T_{f_σ(n)}=T_f₁T_f₂…T_{f_n}当且仅当下列条件之一成立：

(ⅰ) 当i=1，2，…，n时，每个f_i都是解析的；

(ⅱ) 当i=1，2，…，n时，每个f_i都是余解析的；

(ⅲ) 对任意的1≤i，j≤n，且i≠j时，f_i与f_j的非平凡线性组合是常数.

证  利用引理1，充分性显然成立，因此只需证明结论的必要性，我们将通过数学归纳法证明.

当n=2时，由引理1的结果可知结论成立，下面进入归纳步骤. 假设当n=k＞2时结论成立，即由

必有条件(ⅰ)—(ⅲ)之一对f_i(i=1，2，…，k)成立，其中σ是集合{1，2，…，k}到其自身上的一个置换.

需证任意k+1个Toeplitz算子可交换，则条件(ⅰ)—(ⅲ)之一成立. 设k+1个Toeplitz算子可交换.

若f₁，f₂，…，f_k，f_k+1当中有一个为常数，则k+1个Toeplitz算子相乘就转变成了至多k个Toeplitz算子相乘，由归纳假设，结论成立.

若f₁，f₂，…，f_k，f_k+1都不为常数，由k+1个Toeplitz算子可交换，则有

以及

根据引理3可知：若Ker T_{f_k+1}={0}，由等式(2)推出

若cl(Ran T_{f_k+1})=H²，则由等式(3)仍可推出

由归纳假设，f₁，f₂，…，f_k满足条件(ⅰ)—(ⅲ)之一.

同样由T_f₁，…T_{f_k}，T_{f_k+1}可交换，则有

以及

其中σ′是集合{2，3，…，k+1}到其自身上的一个置换. 类似地，可得

由归纳假设，f₂，f₃，…，f_k+1满足条件(ⅰ)—(ⅲ)之一.

下面分3种情形讨论：

情形1  由f₁，f₂，…，f_k都解析，可推出f_k+1也解析.

若f₂，…，f_k，f_k+1解析，当然f_k+1也解析.

若f₂，…，f_k，f_k+1共轭解析，则f₂，f₃，…，f_k既解析又共轭解析，那么f₂，f₃，…，f_k都为常数，与前提不符.

若f₂，…，f_k，f_k+1两两非平凡的线性组合为常数，即有af₂+bf_k+1=c且a，b，c∈ $\mathbb{C}$，因为f₂不是常数，所以b≠0，从而${f_{k + 1}} = - \frac{1}{b}\left( {a{f_2} + c} \right)$，故f_k+1也解析.

情形2  由f₁，f₂，…，f_k都共轭解析，类似于情形1的讨论可推出f_k+1也共轭解析.

情形3  由f₁，f₂，…，f_k两两非平凡线性组合为常数，可推出f₁，f₂，…，f_k，f_k+1满足条件(ⅰ)—(ⅲ)之一.

若f₂，…，f_k，f_k+1解析，则有af₁+b₂=c且a，b，c∈ $\mathbb{C}$. 又由f₁，f₂都不为常数，则有a≠0，即有${f_1} = \frac{1}{a}\left( {c - b{f_2}} \right)$，故f₁解析.

若f₂，…，f_k，f_k+1共轭解析，类似地可得f₁也共轭解析.

若f₂，…，f_k，f_k+1两两非平凡的线性组合为常数，即有a₁f₁+b₁f₂=c₁，a₂f₂+b₂f_k+1=c₂且a_i，b_i≠0(i=1，2). 从而$ - \frac{{{a_1}{a_2}}}{{{b_1}}}{f_1} + {b_2}{f_{k + 1}} = {c_2} - \frac{{{a_2}{c_1}}}{{{b_1}}}$，即f₁，f_k+1非平凡的线性组合也为常数.

由此可得，对所有的f_i(i=1，2，…，k，k+1)，这k+1个函数一定满足条件(ⅰ)—(ⅲ)之一.

综上所述，通过数学归纳法，对任意正整数n，定理1成立.

2. 模去有限秩算子后的交换性

文献[2]刻画了两个Toeplitz算子模去有限秩算子可交换的条件. 下面，通过进一步研究得到了任意有限个Toeplitz算子模去有限秩算子可交换的刻画，结论如下：

定理 2  设f_i∈L^∞为非零函数(i=1，2，…，n)，则对所有的置换σ，有

成立当且仅当对任意的1≤i，j≤n且i≠j，T_{f_i}T_{f_j}=T_{f_j}T_{f_i}mod(F)，其中F为有限秩算子全体.

证  充分性显然，因此只需要证明结论的必要性. 下证必要性. 当n=3时，对所有置换σ，有

则

从而有

其中F₁为有限秩算子. 又由引理3知有以下两种情况发生：

情形1  若Ker T_f₁={0}，则T_f₁为单射. 由

得(T_f₃T_f₂-T_f₂T_f₃)H²为有限维的. 从而

情形2  若cl(T_f₁H²)=H²，根据

其中F₂为有限秩算子，则有

记cl(f₂H²)=M，则M为闭的有限维空间. 对任意的x∈H²，因T_f₁有稠值域，则存在x_n∈H²，使得${T_{{f_1}}}{x_n} \to x$(这里的收敛是按H²中的范数收敛)，从而有

由于M为闭的，故有

因此可得

故T_f₂T_f₃-T_f₃T_f₂=0 mod(F)，即T_f₂T_f₃=T_f₃T_f₂ mod(F).

同理，根据

以及

分别可推出

因此，结论成立.

假设当n=k＞3时结论成立，即如果

其中σ″是集合{1，2，…，k}到其自身上的一个置换，则有

当n=k+1时，由于${T_{{f_{\sigma (1)}}}} \cdots {T_{{f_{\sigma (2)}}}} \cdots {T_{{f_{k + 1}}}} = {T_{{f_1}}}{T_{{f_2}}} \cdots {T_{{f_{k + 1}}}}\, \bmod \, (F)$，则有

从而有

其中，F₃为有限秩算子，这里$\sigma '''$为{2，3，…，k+1}到其自身上的一个置换.

再次应用引理3，同理可得${T_{{f_{\sigma '''(2)}}}} \cdots {T_{{f_{\sigma '''(k + 1)}}}} - {T_{{f_2}}} \cdots {T_{{f_{k + 1}}}}$为有限秩算子. 又由n=k时结论成立知

这里2≤i，j≤k+1，且i≠j.

类似n=3的情况，同理可证：对任意的1≤i，j≤k+1且i≠j，T_{f_i}T_{f_j}=T_{f_j}T_{f_i}mod(F)成立.

综上所述，对所有的自然数n，定理2成立.

3. 结束语

针对Hardy空间上Toeplitz算子的交换性问题，通过借助Brown-Halmos定理，应用Coburn引理和数学归纳法得到了n个Toeplitz算子可交换的充要条件，并对任意有限个Toeplitz算子模去有限秩算子可交换的充分必要条件进行了刻画. 文献[8]给出了T_fT_g-T_gT_f是紧算子的充分必要条件. 对于何种条件下，任意有限多个有界Toeplitz算子的乘积模去紧算子可交换的问题，也是一个有趣的问题，有待进一步的研究.

问题设f_i∈L^∞为非零函数(i=1，2，…，n)，则对所有的置换σ，

成立的充分必要条件是什么？其中K为紧算子全体.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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