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本文研究如下一类Kirchhoff型方程组：
其中Ω是
$\mathbb{R}$ N中的光滑区域，N≤3，V(x)是位势函数，ai，bi，λi，μi(i=1，2)是正数，k，β是耦合项系数. 为了研究方程组(1)解的存在性，假定位势函数V(x)连续且满足如下条件：(V1)
$\underset{x \in {\mathbb{R}^N}}{\sup }$ V(x)=$\lim\limits_{|x| \rightarrow \infty}$ V(x)=Λ>0；(V2)
$\underset{x \in {\mathbb{R}^N}}{\inf }$ V(x)≥0.方程组(1)中u和v表示位移，bi是初始张力，而ai与弹性弦的固有性质有关[1].如果V≡0，那么方程组(1)变为
如果v≡0，k=0，β=0，那么方程组(2)可以化简为如下Kirchhoff型方程：
方程(3)是文献[2]首次提出的，用来描述弹性弦的自由振荡问题. 随后，文献[3]用变分法研究了Kirchhoff型方程，很多学者也对此产生兴趣，获得了一些重要成果[4-7]. 对于不含非局部项的相关结果可参见文献[8-10].
由于存在非局部项∫Ω|▽u|2dx和∫Ω|▽v|2dx等，方程组(1)-(2)以及方程(3)都被称为非局部问题. 如果没有非局部项，方程组(2)可以转化为非线性Schrödinger方程组
文献[11]用Nehari流形证明了方程组(4)基态解的存在性.k=0时的一些成果见文献[12-16].
近年来，一些学者开始关注Kirchhoff型方程组解的存在性问题[17-20]. 文献[17]研究了小正参数对具有耦合项的Kirchhoff型方程组解的存在性和多解性的影响；文献[18]研究了一类临界的和次临界的情形下Kirchhoff型方程组解的存在性和多解性；文献[19]讨论了具有耦合项的非线性Kirchhoff型方程组正向量解的存在性和渐近性；文献[20]采用新的方法更加方便地证明了自治Kirchhoff型方程或方程组解的存在性. 与上述文献不同，本文研究了一类具有线性和非线性耦合项的Kirchhoff型方程组(1)和(2)解的存在性问题，而且证明了变号解的存在性. 在本文的研究中需要克服两个困难，其一是对两个非局项的处理，其二是证明PS序列的收敛性. 首先研究方程组(2). 用Nehari流形得到了PS序列. 如果Ω有界，用Sobolev嵌入定理证明了基态解的存在性；如果Ω=
$\mathbb{R}$ N，运用Lions紧性引理证明了基态解的存在性. 应注意到，尽管受到文献[11]的启发，但是由于非局部项∫Ω|▽u|2dx和∫Ω|▽v|2dx的存在，文献[11]的方法不能直接应用于我们的问题，需要更加细致的工作. 之后，研究方程组(1)，我们得到了方程组(1)解的存在性.
定理1 设Ω是
$\mathbb{R}$ N中的光滑有界区域或者Ω=$\mathbb{R}$ N，β∈$\mathbb{R}$ ，k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )，那么方程组(2)存在一个基态解(u，v).另外，若k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)，那么u>0，v>0；若k∈(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )，那么u>0，v < 0，或者u < 0，v>0.定理2 设Ω=
$\mathbb{R}$ N，β∈(-$\sqrt{\mu_{1} \mu_{2}}$ ，+∞)，k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ). 若条件(V1)-(V2)成立，那么方程组(1)存在一个基态解(u，v). 另外，若k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)，那么u>0，v>0；若k∈(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )，那么u＞0，v＜0，或者u＜0，v＞0.
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若N＞2，记2*=
$\frac{2 N}{N-2}$ ；若N=1，2，记2*=∞.定义C1，C2，C3，C4＞0.若Ω⊆$\mathbb{R}$ N是光滑区域，在H1(Ω)×H1(Ω)上定义内积和范数
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假定ai，bi，λi，μi＞0，i=1，2，β∈
$\mathbb{R}$ ，k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ).若Ω是$\mathbb{R}$ N中的光滑有界区域，设若Ω=
$\mathbb{R}$ N，设定义
$\mathscr{H}$ 上的内积如(5)式，范数如(6)式.对∀(u，v)∈$\mathscr{H}$ ，设方程组(2)的能量泛函为其中L(s)=∫Ω|▽s|2dx. 设
令
易知，方程组(2)的非平凡解(u，v)∈
$\mathscr{N}$ .下面先证明方程组(2)存在一个半平凡解，从而可得$\mathscr{N}$ ≠Ø.引理1[18] 设方程(3)的泛函为Iλ1(u).设
$\mathcal{N}_{{\mathit{\lambda}}_{1}}$ ={u∈H01(Ω)\{0}：〈I′λ1(u)，u〉=0}. 通过讨论极小化问题$\inf\limits_{u \in \mathscr{N}_{{\mathit{\lambda}}_{1}}}$ (u)，证得方程(3)存在一个正解.如果Ω=
$\mathbb{R}$ N，a1=1，b1=0，则方程(3)可以简化为引理2[20] 如果方程(7)有唯一解Q(x)，且代数方程M(cN-2||Q||2)=c2有唯一正根c||Q||2*，其中M：
$\mathbb{R}$ +→$\mathbb{R}$ +是一个映射，那么u(x)∈{${Q\left({\frac{x}{{c_{||Q||{^2}}^*}} + t} \right)}$ ：t∈$\mathbb{R}$ N}是方程(3)的唯一解.注1 若|Ω| < ∞，由引理1知方程组(2)存在一个半平凡解；若Ω=
$\mathbb{R}$ N，由引理2知方程组(2)存在一个半平凡解. 无论哪种情形，方程组(2)都存在一个半平凡解，于是得到$\mathscr{N}$ ≠Ø.引理3
$\mathscr{N}$ 是$\mathscr{H}$ 的一个光滑子流形.证 对∀(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，易见，引理3成立.
引理4 对∀(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，$\left.I\right|_{\mathcal{N}}(u, v)$ =$\frac{1}{4}$ ||(u，v)||2.并且存在正数C1>0，使得对∀(u，v)∈$\mathscr{N}$ ，||(u，v)||≥C1＞0.证 若(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，那么即
因此，对∀(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，由Sobolev嵌入定理得
既然||(u，v)||≠0，那么存在C1＞0，使得对∀(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，||(u，v)||≥C1＞0.引理5 若(u，v)是
$\left.I\right|_{\mathscr{N}}$ 的临界点，那么(u，v)也是I的临界点.证 若(u，v)是
$\left.I\right|_{\mathscr{N}}$ 的临界点，那么I′(u，v)=η$\mathscr{J}'$ (u，v)，其中η∈$\mathbb{R}$ 是一个Lagrange乘子.于是由(8)式和(9)式得η=0.引理5成立.
引理6 若{(un，vn)}⊆
$\mathscr{H}$ 是$\left.I\right|_{\mathscr{N}}$ 的PS序列，那么{(un，vn)}是I的PS序列. 而且，若Ω有界，那么存在(u，v)∈$\mathscr{N}$ ，使得{(un，vn)}在$\mathscr{H}$ 上有一个收敛于(u，v) 的子列.证 不妨假定
$\left\{I\left(u_{n}, v_{n}\right)\right\}$ 有界, 则$\left.I\right|_{\mathscr{N}} ^{\prime}\left(u_{n}, v_{n}\right) \rightarrow 0$ . 再由引理4得,$\left\{\left(u_{n}, v_{n}\right)\right\}$ 在$\mathscr{H}$ 上有界. 从而, 存在$(u, v) \in \mathscr{H}$ , 使得$\left(u_{n}, v_{n}\right) \rightarrow(u, v)$ . 若Ω有界, 则在$L^{4}({\mathit{\Omega}}) \times L^{4}({\mathit{\Omega}})$ 上$\left(u_{n}, v_{n}\right) \rightarrow(u, v)$ . 于是存在序列$\left\{\eta_{n}\right\} \subseteq$ $\mathbb{R}$ , 使得那么
由(8)式和引理4得〈
$\mathscr{J}'$ (un，vn)，(un，vn)〉≤-C4. 因此ηn=o(1). 既然{(un，vn)}有界，那么{$\mathscr{J}'$ (un，vn)}有界. 因此，当n→∞时，因为I′(un，vn)→0和(un，vn)
$⃑$ (u，v)，那么I′(u，v)=0和$\mathscr{J}$ (u，v)=0. 若Ω有界，那么因此(un，vn)→(u，v)∈
$\mathscr{H}$ . 由引理4得||(u，v)||2≥C12，即(u，v)≠(0，0). 那么(u，v)∈$\mathscr{N}$ .设
若Ω有界，由Sobolev紧嵌入定理，c1和c2是存在的.或者若Ω=
$\mathbb{R}$ N，由集中紧性原理可得c1和c2是存在的.由引理4得定理1的证明 由c＞0和文献[11]的引理2.2，存在某个序列{(un，vn)}⊆
$\mathscr{N}$ ，使得{(un，vn)}是$\left.I\right|_{\mathscr{N}}$ 的(PS)c序列. 因此，由引理6得{(un，vn)}是I的(PS)c序列. 根据对Ω的假定，拟分两种情形讨论方程组(2)解的存在性.情形1 假设Ω有界. 由引理6，考虑其子列，存在(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，在$\mathscr{H}$ 上，(un，vn)→(u，v). 因此，I′(u，v)=0和I(u，v)=c.情形2 假定Ω=
$\mathbb{R}$ N.若$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in \mathbb{R}^N}$ ∫B1(x)un2(y)dy=0和$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in \mathbb{R}^N}$ ∫B1(x)vn2(y)dy=0，那么，由文献[21]中的引理1.21得，在L4($\mathbb{R}$ N)×L4($\mathbb{R}$ N)上(un，vn)→(0，0). 因此，当n→∞时，设A=
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{\mathbb{R}^{N}}$ |▽un|2dx和B=$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{\mathbb{R}^{N}}$ |▽vn|2dx，那么，当n→∞时，与||(un，vn)||2≥C12相矛盾. 所以，不失一般性，存在一个正数α，使得
$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty}\sup\limits_{x \in \mathbb{R}^N}$ ∫B1(x)un2(y)dy=α.考虑其子列，可假定存在某个序列{xn}⊆$\mathbb{R}$ N，使得由引理4有
则{(un(· -xn)，vn(· -xn))}有界. 取某个子列，对某些(u，v)∈
$\mathscr{H}$ ，在$\mathscr{H}$ 上，(un(· -xn)，vn(· -xn))$⃑$ (u，v)；在Lloc2($\mathbb{R}$ N)×Lloc2($\mathbb{R}$ N)上，(un(· -xn)，vn(· -xn))→(u，v). 由(14)式得∫B1(0)u2(y)dy≥$\frac{\alpha}{2}$ ，这表明u≠0.因为$\mathscr{N}$ 是平移不变的，故{(un(· -xn)，vn(· -xn))}∈$\mathscr{N}$ . 类似地，可得||un(· -xn)，vn(· -xn)||2=||(un，vn)||2，和I(un(· -xn)，vn(· -xn))=I(un，vn). 则||I′(un(· -xn)，vn(· -xn))||=||I′(un，vn)||. 因此{(un(· -xn)，vn(· -xn))}是I的(PS)c序列. 那么I′(u，v)=0，$\mathscr{J}$ (u，v)=0. 在上述讨论中知u≠0，则(u，v)∈$\mathscr{N}$ .由范数的弱下半连续性和(10)式得故有I(u，v)=c. 综上所述，在两种情形下都有(u，v)∈
$\mathscr{N}$ ，I(u，v)=c，I′(u，v)=0. 因此，u≠0和v≠0. 接下来，讨论k取不同范围值时，u和v的符号.首先，设k＜0.则
由
$\mathscr{J}$ (u，v)=0得对t≥0，定义一个C1函数φ(t)=I(t|u|，t|v|)，即
令t0=
$\frac{\|(|u|, |v|)\|}{\|(u, v)\|}$ ∈(0，1].显然，φ(t)在(0，t0)上严格单调递增，在(t0，+∞)上严格单调递减. 另外，注意到(t0|u|，t0|v|)∈$\mathscr{N}$ . 由(10)式得因此，||(|u|，|v|)||2=||(u，v)||2，(|u|，|v|)∈
$\mathscr{N}$ ，I(|u|，|v|)=c. 不失一般性，可假设u≥0，v≥0. 由引理5知，(u，v)是I的一个临界点. 因此(u，v)是方程组(2)的一个基态解.由椭圆正则性定理知，||u||L∞＜+∞，||v||L∞＜+∞. 由于(u，v)是方程组(2)的解，即
那么，由最大值原理知
再者，设k＞0. 由上述类似的讨论，易知||(|u|，-|v|)||2=||(u，v)||2，(|u|，-|v|)∈
$\mathscr{N}$ ，I(|u|，-|v|)=c. 因此，不妨设u≥0和v≤0. 由引理6知，(u，v)是I的一个临界点. 因此，(u，v)是方程组(2)的一个基态解. 与(16)式的证明类似，由椭圆正则原理和最大值原理得u＞0，v < 0.命题1 若k∈(-
$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )，则c＜min{c1，c2}.证 由注1知，存在u1＞0和v1＞0，使得(u1，0)，(0，v1)∈
$\mathscr{N}$ ，c1=I(u1，0)，c2=I(0，v1). 因此设g(t，s)=
$\mathscr{J}$ (tu1，tsv1). 显然由函数g的光滑性和隐函数存在定理知，存在一个足够小的正数s0和函数t(s)∈
$\mathscr{C}$ 1(-s0，s0)，使得对s∈(-s0，s0)，t(0)=1，g(t(s)，s)=0，t′(s)=-$\frac{g_{s}(t, s)}{g_{t}(t, s)}$ .从而，(t(s)u1，t(s)sv1)∈$\mathscr{N}$ ，并且t′(0)=$\frac{k \int_{{\mathit{\Omega}}} u_{1} v_{1} \mathrm{~d} x}{\int_{{\mathit{\Omega}}}\left(a_{1}\left|\nabla u_{1}\right|^{2}+\lambda_{1} u_{1}^{2}\right) \mathrm{d} x}$ . 设α=t′(0)，则因此，对∀s∈(-s0，s0)，有
当k∈(-
$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)时，存在s＞0和s≪1，使得sk∫Ωu1v1dx+o(s)＜0. 那么c＜c1. 类似地，当k∈(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )时，亦有c＜c1. 总之，当k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )时，c＜c1. 同理，当k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )时，c＜c2. 于是可得命题1的结论.
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假定β∈(-
$\sqrt{\mu_{1} \mu_{2}}$ ，+∞)，k∈(-$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ ，0)∪(0，$\sqrt{\lambda_{1} \lambda_{2}}$ )，位势函数V(x)满足条件(V1)-(V2). 若V(x)≡Λ，那么方程组(1)可以转化为方程组(2). 故假定V(x)≢Λ. 定义空间V=H1($\mathbb{R}$ N)×H1($\mathbb{R}$ N)，其内积为范数为||(u，v)||V=((u，v)，(u，v))
$^{\frac{1}{2}}$ .方程组(1)的极限情形是
设方程组(1)的能量泛函为
类似地，定义方程组(17)的能量泛函为
设
定义Nehari流形
定义cV=
$\inf\limits_{(u, v) \in \mathcal{N}_{V}}$ IV(u，v)，其中cΛ和第2节中的c有关，只需将λ1，λ2替代为λ1+Λ，λ2+Λ.引理7 假定V(x)满足条件(V1)-(V2)，那么cV＜cΛ.
证 设β＞-
$\sqrt{\mu_{1} \mu_{2}}$ .由文献[21]的章节4，定义cV=$\mathop {\inf }\limits_{r \in \mathit{\Gamma }} \mathop {\max }\limits_{t \in \left[{0, 1} \right]}$ IV(γ(t))，其中设(u，v)为方程组(17)的基态解. 因为V(x)≤Λ，V(x)≢Λ，u≠0，v≠0，那么存在正数t0，使得
故有cV＜cΛ.
接下来，我们将用集中紧性原理和引理7证明定理2.
定理2的证明 类似于(13)式的证明，有cV＞0. 由文献[11]的引理2.2知，存在某个序列{(un，vn)}⊆
$\mathscr{N}_V$ ，使得{(un，vn)}是$I_{V}||_{\mathcal{N}_{V}}$ 的(PS)cV序列.类似于引理5，{(un，vn)}是IV的(PS)cV序列. 显然地，{(un，vn)}有界. 考虑其子列，存在(u，v)∈H1($\mathbb{R}$ N)×H1($\mathbb{R}$ N)，使得在H1($\mathbb{R}$ N)×H1($\mathbb{R}$ N)上(un，vn)$⃑$ (u，v).运用反证法和定理7，可证得u≠0或v≠0.下面类似于定理1的证明，可分Ω为有界区域以及Ω=$\mathbb{R}$ N两种情形证明(u，v)是方程组(1)的基态解，同时还可如定理1那样，依据k的符号讨论u以及v的符号，从而可得定理2的结论.
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