Global Existence of Solutions to Semilinear Fractional Reaction-Diffusion Equation

为证明定理1，先引入引理1、引理2，其证明过程与文献[12]中的相关结论的证明类似，此处省去证明.

引理1   $d=\frac{p-1}{2(p+1)} \vartheta^{-\frac{2(p+1)}{p-1}}$，其中$\frac{1}{\vartheta}=\inf\limits_{\substack{U \in H_{0, L}^{s}\ (D) \\ U \neq 0}}\ \frac{h^{\frac{1}{2}}(U)}{g^{\frac{1}{p+1}}(U)}$.

由分数阶Sobolev迹嵌入不等式(证明见文献[17])，设$\frac{1}{\vartheta_{1}}$是最好的嵌入指数，由于|a(x)|∈[m，M]，则有

引理2   若1 < p≤p^*，$p^{*}=\frac{N}{N-2 s}$，令ρ_n(x)=min{ |x|^-2s，n}，β_n(x)=min{a(x)u^p，n}，则对任意的T>0和任意$u_{n_{0}} \in C_{0}^{\infty}(\mathit{\Omega}), a(x) \in C(\mathit{\bar{\Omega}}), u \in H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})$，方程

存在整体解u_n∈C([0，T]；H₀^s(Ω))，使得$\dot{u}_{n} \in L^{2}\left([0, T] ; H_{0}^{s}(\Omega)\right), \dot{u}_{n}=\frac{\partial u_{n}}{\partial t}$.

定理1的证明.

证   由引理2可知，方程(5)存在弱解$u_{n} \in C\left([0, T] ; H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})\right) \text {. 在 } H_{0}^{s}(\mathit{\Omega})$中，$u_{n_{0}} \in C_{0}^{\infty}(\mathit{\Omega}), u_{n_{0}} \rightarrow u_{0}$，且存在ε₀>0使得$I\left(u_{n_{0}}\right) \leqslant I\left(u_{0}\right)+\varepsilon_{0}<d$. 在方程$\rho_{n}(x) \dot{u}_{n}+A_{s} u_{n}=a(x) u_{n}^{p}$两边同乘$\dot{u}_{n}$，再在Ω×(0，t)上积分，可得

下证∀t∈[0，T]，u_n(t)∈Σ₁. 用反证法，设存在最小时间t^*，使得$u_{n}\left(t^{*}\right) \notin \mathit{\Sigma}_{1}$. 因为u_n∈C([0，T]；H₀^s(Ω))，且E(U(t))关于t单调递减，则u_n(t^*)∈∂Σ₁，即I(u_n(t^*))=d或$\int_{\mathit{\Omega}}\left|A_{\frac{s}{2}} u_{n}\left(t^{*}\right)\right|^{2} \mathrm{~d} x=\int_{\mathit{\Omega}} a(x) u_{n}\left(t^{*}\right)^{p+1} \mathrm{~d} x$. 显然第一种情况与(6)式矛盾. 将第二种情况代入I(u_n)，再结合$\vartheta $的定义和引理1，可得

这也与(6)式矛盾. 所以∀t∈[0，T]，u_n(t)∈Σ₁. 由Σ₁的定义，有

即有

由(7)式，可得

令

由引理1和I(u₀)+ε₀ < d，可知当ε₀取足够小时，有

令γ=1－δ∈(0，1)，则有

方程$\rho_{n}(x) \dot{u}_{n}+A_{s} u_{n}=a(x) u_{n}^{p}$两边同乘u_n，再在Ω×{0}上积分，得

其中$C_{1}=1-\frac{M}{m}(1-\gamma)>0$，C是与n，T无关的常数. 所以$\left\{{u}_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$在L²([0，T]；H₀^s(Ω))中一致有界. 综上所述，对任意的T≥0，序列{u_n}都存在一个u，使得

所以方程(1)存在整体解.

在本节中，为证明定理2和定理3，先引入引理3，其证明过程参见文献[12].

引理3   Σ₁=Σ₁^*∪{0}，其中$\mathit{\Sigma}_{1}^{*}=\left\{U \mid U \in H_{0, L}^{s}(D), E(U)<d, H(U)=h(U)-g(U)>0\right\}$.

定理2的证明.

由引理3，对∀t≥0，有H(U(t))≥0. 则

由分数阶Sobolev迹嵌入不等式，有

与定理1中证明过程相似，令$\delta=\vartheta^{p+1}\left(\frac{2(p+1)}{p-1} E\left(U_{0}\right)\right)^{\frac{p-1}{2}}$，同样选适当的U₀使得0 < δ < $\frac{m}{M}$ < 1. 再令γ=1－δ∈(0，1)，则

构造$f(t)=\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \int_{\mathit{\Omega} \times\{0\}} \frac{|U|^{2}}{|x|^{2 s}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau$，计算得

在(11)式中，对任意的T>t₀，由Hardy不等式^[18]有

所以，当t∈[t₀，T)时，结合(9)式和(12)式有

由(10)式知，当t∈[t₀，∞)时，有

结合(9)式和(14)式可知，当t∈[t₀，T)时，有

由(13)式和(15)式可知

则对任意的T₀>t₀，若T₀满足C₂≤T₀，当t≥t₀时，有$\int_{t}^{\infty} E(U(\tau)) \mathrm{d} \tau \leqslant T_{0} E(U(t))$.

令$y(t)=\int_{t}^{\infty} E(U(\tau)) \mathrm{d} \tau>0$，则$y^{\prime}(t) \leqslant-\frac{1}{T_{0}} y(t)$. 由Gronwall不等式和E(U(t))的单调性可得

及

由(16)式可得，对∀t>T₀，有$E\left(U\left(T_{0}+t\right)\right) \leqslant E\left(U\left(t_{0}\right)\right) \mathrm{e}^{1-\frac{t}{T 0}}$. 结合(9)式，可得

其中$C=\frac{2 \mathrm{e}(p+1)}{p-1} E\left(U\left(t_{0}\right)\right), \alpha=\frac{1}{T_{0}}$.

定理3的证明   对任意序列t_n→∞，令U_n=U(x，y，t_n；U₀). 由于自反巴拿赫空间的有界序列都是弱紧的，所以存在一个序列{U_n}和函数U，使得

令测试函数

其中$\psi \in H_{0, L}^{S}(D), \rho \in C_{0}^{2}(0, 1), \rho \geqslant 0, \int_{0}^{1} \rho(s) \mathrm{d} s=1$. 由弱解的定义，有

对(17)式等号左边第二项用分部积分法，结合ρ(0)=ρ(1)=0，令δ=t－t_n，得

因为U(t_n+δ)(0≤δ≤1)在H_0，L^s(D)中一致有界，所以存在序列{t_n}和函数ω_δ，ω，使得

下证在Ω×{0}中几乎处处有ω_δ=ω. 结合能量等式和Hölder不等式，当t_n→∞时，有

因为0≤δ≤1，当t_n→∞时，有‖U(t_n+δ)－U(t_n)‖_L²(Ω×{0})→0，即在Ω×{0}中几乎处处有ω_δ=ω. 重新整理(18)式，可得

由勒贝格控制收敛定理可知，当t_n→∞时，(19)式后3项趋近于0. 对第二项，有

又因为$\int_{0}^{1} \rho(\delta) \mathrm{d} \delta=1$，所以(19)式可简化为

故U(t_n)在弱意义上趋近于一个稳定解.