2-Dimensional Hyperbolic Yamabe Equation in Form of Warped Products

设B=(B^m，g_B)和F=(Fⁿ，g_F)是两个黎曼流形，考虑乘积流形B× F及自然射影ρ：B×F→B和η：B× F→F.

定义1   如果乘积流形M=B× F上的度量g满足

其中X，Y是乘积流形上任意一对向量场，则称g为扭曲乘积度量，函数φ是B上正的光滑函数，称为扭曲函数. 我们将此度量简记为g=g_B+φ²g_F，将具有此度量的乘积流形称为扭曲乘积流形，记为B×_φF.

特别地，当B是${{\mathbb{R}}_{\text{+}}}$上的开区间I，F是${{\mathbb{R}}^{n}}$中标准单位球面S^n-1时，扭曲乘积流形I×_φS^n-1上的度量

称为旋转对称度量.

设φ=sn_k(t)是方程组

的唯一解，以sn_k(t)为扭曲函数，可得旋转对称度量的一组单参数族$d t^{2}+\operatorname{sn}_{k}^{2}(t) \mathrm{d}S_{n-1}^{2}$^[13].

当k=0时，sn_k(t)=t，流形$\mathbb{R}$₊×_tS^n-1与欧氏空间($\mathbb{R}$ⁿ，ξ)等距，其中ξ为标准欧氏度量.

当k=1时，sn_k(t)=sint，考虑映射

可以验证G是一个等距映射，因此流形$\mathbb{R}$₊×_sintS^n-1与标准单位球面(Sⁿ，h)等距，其中h是球面Sⁿ上的标准度量^[13].

当k=-1时，sn_k(t)=sinht，可以证明流形$\mathbb{R}$₊×_sinhtS^n-1与双曲空间(Hⁿ，h¹)等距，其中h¹为双曲空间上的标准度量(引理1).

流形(Mⁿ，g) 上的拉普拉斯算子定义为

对任意的函数f∈C^∞(M)，在局部坐标图下，有

设S_g，${S_{\tilde g}}$分别表示在度量g和$\tilde g$下的数量曲率，当n=2时，设$\tilde{g}=\mathrm{e}^{u} g, u \in C^{\infty}(M)$，则

当n≥3时，设$\tilde{g}=v^{\frac{4}{n-2}} g, v \in C^{\infty}(M), v>0$，则

取球面上的北极点N(0，…，0，1) 为投影中心，通过球极投影

球面上标准度量h表示为^[14]

设ϕ是(Sⁿ，h)到它自身的共形微分同胚，则$\psi=\pi \circ \phi \circ \pi^{-1}$是($\mathbb{R}$ⁿ，ξ)上的共形微分同胚，从而可写为

其中A∈O(n)，B是平移变换，记B(x)=π(x)+a，C是伸缩变换，记C(x)=λπ(x)，λ≠0. 通过计算可得

因此得球面上的共形变换^[3]

我们知道，标准双曲空间(Hⁿ，can)有3个常用的模型，分别为双曲面模型(Hⁿ，h¹)、庞加莱球模型(Bⁿ，h²)和庞加莱半空间模型(Uⁿ，h³). 取$\mathbb{R}$ⁿ⁺¹中双叶双曲面下半支的顶点S(0，…，0，-1)为投影中心，通过双曲球极投影

双曲空间Hⁿ上的度量h¹表示为^[14]

取(Hⁿ，h¹)作为我们所用的模型，它是在坐标(τ，ξ¹，…，ξⁿ)中由方程τ²-|ξ|²=1定义的$\mathbb{R}$ⁿ⁺¹中的双叶双曲面的上半支，具有度量

其中ι：Hⁿ→$\mathbb{R}$ⁿ⁺¹是包含映射，m=-(dτ)²+(dξ¹)²+…+(dξⁿ)²是$\mathbb{R}$ⁿ⁺¹上的Minkowski度量.

引理1   映射

是一个等距映射.

证   设z=(z₁，z₂，…，z_n)为标准单位球面S^n-1上的任意一点，由z₁²+z₂²+…+z_n²=1得

从而

引理1得证.

下面我们要写出扭曲乘积流形上的Yamabe方程，为此，先给出扭曲乘积形式下的拉普拉斯算子.

引理2   在扭曲乘积流形(Mⁿ，g)=($\mathbb{R}$₊×S^n-1，dt²+φ²(t)dS_n-1²)上，对任意的函数f∈C^∞(M，$\mathbb{R}$)，有

证   首先，黎曼度量g在局部坐标图下可表示为

其中

从而$g^{i j}=g_{t}^{i j}=\frac{1}{\varphi^{2}} h^{i j}$. 由(1)式可得

再由

可得

因为∂_iφ=0，则

整理即得

引理2得证.

特别地，当n=2时，在标准单位圆周S¹的极坐标下，$\Delta_{h} f=-\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}$，故扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_φS¹上的拉普拉斯算子为

引理3^[13]   (Mⁿ，g)=($\mathbb{R}$₊×S^n-1，dt²+φ²(t)dS_n-1²)的数量曲率为

根据(2)，(6)，(7)式，扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_φS¹上的Yamabe方程可写为

其中μ为常数.

下面讨论当φ取特殊的函数sn_k(t)时，扭曲乘积流形($\mathbb{R}$₊×S¹，dt²+sn_k²(t)dS₁²)上的Yamabe方程及其解.

当k=0时，扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_tS¹是与$\mathbb{R}$²等距的，而$\mathbb{R}$²的数量曲率为0，设$\tilde g=\mathrm{e}^{u} g$是该扭曲乘积流形上的共形变换，那么Yamabe方程可写为

我们知道，($\mathbb{R}$²，ξ)上的共形变换即为相似变换，共形因子为常值函数，而常值函数恰好是我们所给方程的一组解.

当k=1时，扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_sintS¹是与标准单位球面S²等距的.

定理1   扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_sintS¹上的Yamabe方程为

该方程在μ=2时具有如下形式的解：

其中λ∈$\mathbb{R}$₊，a∈$\mathbb{R}$²，z∈S¹.

证   设$\tilde{g}=\mathrm{e}^{u} g$是$\mathbb{R}$₊×_sintS¹上的共形变换，将φ(t)=sint代入方程(8)可写出$\tilde g$具有常数量曲率2的Yamabe方程

考虑等距映射

令z=(cosθ，sinθ)表示单位圆周S¹上的任意一点. 那么x=(sintcosθ，sintsinθ，cost)表示S²上的任意一点，由(4)式可得共形因子

即

它是我们所给的Yamabe方程的解，定理1得证.

当k=-1时，扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_sinhtS¹是与双曲空间(H²，h¹)等距的. 在双曲球极投影π：H²→B²下，$\left(\pi^{-1}\right)^{*} h^{1}=\frac{4}{\left(1-|\pi(x)|^{2}\right)^{2}} \xi$，这样的度量形式与上述标准单位球面的度量形式是类似的，且双曲空间的扭曲乘积形式与一般形式之间的等距和球面的情形也是类似的，因此我们可以仿照扭曲乘积形式下标准单位球面的Yamabe方程及其解的形式写出扭曲乘积形式下2维双曲Yamabe方程及其特解.

定理2   扭曲乘积流形$\mathbb{R}$₊×_sinhtS¹上的Yamabe方程为

该方程在μ=-2时具有如下形式的解：

其中λ∈$\mathbb{R}$₊，a∈$\mathbb{R}$²，λ²+|a|² < 1，z∈S¹.

证   设$\tilde{g}=\mathrm{e}^{u} g$是$\mathbb{R}$₊×_sinhtS¹上的共形变换，将φ(t)=sinht代入方程(8)可写出$\tilde g$具有常数量曲率-2的Yamabe方程

仿照标准单位球面上的共形变换(4)，我们构造双曲空间上的共形变换为

考虑等距映射

令z=(cosθ，sinθ)表示单位圆周S¹上的任意一点. 那么x=(sinhtcosθ，sinhtsinθ，cosht)表示H²上的任意一点，由(9)式可得共形因子

即

可以验证它是我们所给方程的一组解，定理2得证.

我们利用扭曲乘积流形研究了2维双曲Yamabe方程及其特解，但要推广到更高维的双曲空间，甚至更一般的扭曲乘积流形还需要进一步地开展研究.