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设Ω⊂
$\mathbb{R}$ N(N≥3)是具有光滑边界∂Ω的有界域，考虑一类带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型方程其中a≥b>0，p∈C(Ω)，
$1 < p^{-}=\inf\limits _{x \in \bar{\varOmega}} p(x) \leqslant p^{+}=\sup\limits _{x \in \bar{\varOmega}} p(x) < N$ ，f，g，α，β∈C(Ω)，对于所有的x∈Ω，f(x)，g(x)>0，Δp(x)2u=Δ(|Δu|p(x)－2Δu)为p(x)-双调和算子.近年来，涉及p(x)-拉普拉斯算子的椭圆方程及变分方法的研究，受到了许多学者的关注[1-8]. 特别地，文献[1]研究了涉及凹凸非线性项的p(x)-双调和方程
针对q(x)，r(x)和p(x)满足不同的条件，分别应用强制弱下半连续性、Ekeland’s变分原理及山路引理等变分方法获得了方程(2)非平凡弱解的存在性. 然而，关于带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型方程的研究结果相对较少[9-11]. 受以上文献的启发，本文讨论方程(1)非平凡弱解的存在性.
定理1 假设a≥b>0，p(x)，α(x)，β(x)∈C(Ω)，f(x)，g(x)>0满足
则方程(1)至少有一个非平凡弱解.
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令
Lp(x)对应的范数为
其中γ=(γ1，…，γN)为多重指标，
$|\gamma|=\sum\limits_{i=1}^N \gamma_i, W^{k, p(x)}$ 对应的范数为由文献[12]知，Lp(x)和Wk，p(x)(Ω)为可分的自反Banach空间. 用W0k，p(x)(Ω)表示C0∞(Ω)在Wk，p(x)(Ω)中的闭包，记
其范数为
令
由文献[12]知，在X中‖ ‖与‖ ‖X等价，X是可分的自反Banach空间.
命题1[13](Hölder不等式) 若p(x)，q(x)∈C+(Ω)满足
$\frac{1}{p(x)}+\frac{1}{q(x)}=1$ ，则对所有的u∈Lp(x)(Ω)，v∈Lq(x)(Ω)，有命题2[14] 令
$\rho(u)=\int_{\varOmega}|\Delta u|^{p(x)} \mathrm{d} x$ ，u∈X. 若‖u‖≥1，则有‖u‖p－≤ρ(u)≤‖u‖p+；若‖u‖≤1，则有‖u‖p+≤ρ(u)≤‖u‖p－；‖u‖=0当且当ρ(u)=0.命题3[14] 假设q(x)∈C+(Ω)且
$q(x) < p^*(x)=\frac{N p(x)}{N-2 p(x)}$ ，x∈Ω. 则X到Lq(x)(Ω)的嵌入是连续且紧的.命题4[15] 设
$\psi(u)=\int_{\varOmega} \frac{1}{p(x)}|\Delta u|^{p(x)} \mathrm{d} x$ ，则且满足：
(ⅰ) ψ′(u)是连续且有界的严格单调算子；
(ⅱ) ψ′(u)是S+型的，即若un⇀u且
$\lim \sup\limits _{n \rightarrow \infty} \psi^{\prime}\left(u_n\right)\left(u_n-u\right) \leqslant 0$ ，则有un→u；(ⅲ) ψ′(u)是同胚的.
定义1 如果对任意的v∈X，有
则称u∈X为方程(1)的弱解. 显然，方程(1)的弱解与泛函
的临界点等价.
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在证明主要结果前，先证明泛函J满足(PS)c条件.
引理1 当定理1的条件成立时，泛函J满足(PS)c条件，其中
$c < \frac{a^2}{2 b}$ .证 设{un}⊂X为J的(PS)c序列，即
且在X*中J′(un)→0(n→∞). 其中X*是X的对偶空间.
首先证明序列{un}在X中有界. 令
$\theta \in\left(p^{+}, \min \left\{\alpha^{-}, \frac{2\left(p^{-}\right)^2}{p^{+}}\right\}\right)$ ，则由(3)式和(4)式，有由p－>1知，{un}在X中有界.
接下来证明在X中un→u. 由于X是自反Banach空间，且{un}在X中有界，所以存在子列(仍用{un}表示)和u∈X，使得当n→∞时，
由(6)式和Hölder不等式可知，当n→∞时，
类似地，当n→∞时，
因此
由(4)式可知，〈J′(un)，un－u〉→0，即
综上所述，可得
因为{un}在X中有界，所以存在子列(仍用{un}表示)和u∈X，使得当n→∞时，
如果
$t_0=\frac{a}{b}$ ，则由(6)式和Hölder不等式，对任意v∈X，有
因为
且当n→∞时，〈J′(un)，v〉→0，故
因此
根据变分法基本原理[16]可得
又因为f(x)，g(x)>0，所以u=0. 因此
综上所述，当
$t_0=\frac{a}{b}$ 时，有这与
$J\left(u_n\right) \rightarrow c < \frac{a^2}{2 b}$ 矛盾，故$t_0 \neq \frac{a}{b}$ . 因此由(9)式可得
根据命题4，当n→∞时，在X中有un→u. 因此，当
$c < \frac{a^2}{2 b}$ 时，J满足(PS)c条件.下面验证泛函J满足山路引理.
引理2 当定理1的条件成立时，泛函J具有如下山路几何结构：
(ⅰ) 存在ρ，δ>0，使得对任意u∈X且‖u‖=ρ，有J(u)≥δ>0；
(ⅱ) 存在w∈X满足‖w‖>ρ且J(w) < 0.
证 由紧嵌入X↺Lα(x)(Ω)知，存在C>0，使得|u|α(x)≤C‖u‖.
设‖u‖=ρ < 1，则
注意到p+ < 2p－且p+ < α－，故存在ρ，δ>0，使得对任意u∈X且‖u‖=ρ，有J(u)≥δ>0.
令φ∈C0∞(Ω)，φ>0，且t>1，则
由(3)式可得，当t→+∞时，有J(tφ)→－∞. 则当t>1足够大时，令w=tφ，使得‖w‖>ρ且J(w) < 0.
定理1的证明 由引理2知，J具有山路几何结构. 定义
注意到对于所有的u∈X\{0}，有
$\max\limits _{t>0}\left\{a t-\frac{b}{2} t^2\right\}=\frac{a^2}{2 b}$ ，则因此
$c < \frac{a^2}{2 b}$ . 设{un}是J的一个(PS)c序列，由引理1知，J满足(PS)c条件. 由山路引理[17]可得方程(1)有一个解$\tilde u$ ，且$J(\stackrel{\sim}{u})=c$ . 由$J(\tilde{u})=c>0=J(0)$ ，可得$\tilde u$ 是方程(1)的一个非平凡弱解. 定理1得证.
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